Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Естественная ширина линии определяет тот предел, меньше которого ширина спектральной линии быть не может, Согласно квантовой механике естественная ширина спектральной линии Ла и время жизни частицы на энергетическом уровне Ь| связаны соотношением неопределенностей (П,112) ГпаЛГ а 1. Конечность времени жизни частицы на энергетическом уровне учитывается затуханием волновой функции. В этом случае и — состояние частицы характеризуется волновой функцией Уе1 1р уюе юе ю Вероятность перехода с уровня и на уровень и определится выражением, аналогичным (П.153), где е " ' заменяется на е '"'"' ~п а+ Уп+Уа + .Уп+Уа Я 2 "" 2 и аналогично (П.154) Р.,(,) -- - !1 «> — г«,' «з+ «>'„ Рассмотрим первое слагаемое, характеризующее поглощение, полагая 1 т» (установившийся режим).
Прн этом У» +Уа 12 Рппп»( ) рппа (г««ю ) + Множитель 2 (Г« '«па ) + Математические и физические дополнения 358 и, учитывая условие нормировки ~ 8(юз) доз = 1, получаем форм-фактор лоренцевой линии в виде 1 1 8(ы) =— 2я, у' (сз — юз ) +— ЮИ (П.161) 1 1 2л (юз юзла ) + (П.1б2) где Люз = у — естественная ширина линии.
Форма линии симметрична. Естественная ширина линии определяет тот предел, меньше которого ширина спектральной линии быть не может. В диапазоне СВЧ естественная ширина линии составляет 10 з...10 Гц, в оптическом — около 10" Гц. Наблюдаемые спектральные линии могут являться суперпознцией нескольких неразрешенных спектральных линий — это неоднородно уширенная линия. Если такой суперпознции нет и частица излучает нли поглощает энергию в пределах всей спектральной линии, то линию называют однородно уширенной Естественная ширина линии является однородно ушнренной.
В действительности ширина спектральной линии гораздо больше естественной ширины. В газах уширение происходит за счет эффекта Доплера. Частицы газа находятся в хаотическом тепловом движении. Излучение частицы, движущееся со скоростью и, из-за эффекта Доплера смеЮз (юз) щена по частоте на величину юзю —, где гсю — час- щюз ) с ю 1 — -- — —— тота неподвижного излучателя; с — скорость света.
Ьюз Так как частицы движугся с различными скоростями, то частотные сдвиги излучения разных частиц о различны. Доплеровский сдвиг частоты пропорционален частоте перехода, и уширение линии Рнс. П.18. Лоренпева форма наиболее значительно в оптическом диапазоне. На спекзральной линни определяет форму линии поглощения (рис. П.18), связанную с конечностью времени жизни частицы на энергетических уровнях и называемую лоренцевой (то же будет и для линии излучения). Обозначим П.
18. Устойчивость стационарных решений 359 ширину линии влияют столкновения частиц друг с другом и со стенками сосуда, при которых энергия частиц уменьшается, что эквивалентно уменьшению времени жизни частицы на данном уровне или уширению линии. В твердых средах уширение линии связано с неоднородностью кристаллической решепси, что приводит к неоднородности ее поля и сдвигу энергетических уровней атомов на неодинаковую величину. Тепловые колебания решетки вызывают изменения внугрикристаллического электрического поля и колебания его относительно некоторого постоянного значения. Спектральная линия при этом смещается, что эквивалентно ее ушнрению. П.18.
Устойчивость стационарных решений Электромагнитный процесс в среде описывается системой нелинейных уравнений, которые можно свести к системе уравнений первого порядка дх, — = Ях„хз, ..., х„), дх2 — = Ях„хз,...,х„), <М (П.163) дх„ —" = Ях„х,, ..., х„), где~(х,) — нелинейные функции.
Условие стационарности дх, дх бх„ йг йг йг (П.164) Это условие определяет собой точки, в которых система находится в положении равновесия. Линейная система имеет одно единственное положение равновесия, нелинейная может иметь их несколько. Решением нелинейной системы уравнений (П.163) при условии (П.164) являются группы значений хи, хь, ..., х„„соответствующие положениям равновесия.
Чтобы выяснить, является ли какое-либо конкретное состояние равновесия устойчивым, систему, находящуюся в этом состоянии, возмущают, отклоняя из состояния равновесия на величину Ьх,. При этом необходимо следить, чтобы величина возмущения бх, была достаточно малой, с тем, чтобы система осталась в области, близкой к рассматриваемому положению. Если начальные возмущения велики, то система может оказаться в области, соответствующей какой-либо другой точке равновесия. Если при г -+ ю переменные х, возвращаются к исходным равновесным значениям х„, то систему называют асимптатически устойчивой, если при г -ь чо переменные х, удаляются от исходных равновесных значений, то систему назы- Математические и физические дополнения 360 вают неустойчивой.
Если прн возмущении переменные х, не удаляются н не возвращаются к исходным значениям, то систему называют безразлично устойчивой. Неустойчивой называют систему, в которой возмущения нарастают даже по истечении довольно долгого времени. Исследуем стационарные решения х„на устойчивость, задавая малые отклонения бх,. Подставляя х„+ бх, в систему уравнений (П.163) прн условии (П.164), получаем Ж~, 61 .~~(бх1»бхз»- «бхк>х|»» хз»»- » х»«»)» дй~„ о1 Ул(бх1» бхз»" бхл> х1», хз»» ...> х»»»). Разлагая нелинейные функции в ряд Тейлора в окрестности точек равновесия и удерживая первый линейный член, получаем линейную систему обх1 — ' = Спбх, + Спбх, + ...
+ С,„бх„, о1 <~бх, Спбх~ +С2збхз + +Сз>бх»»» (П.!65) —" = Смбх, + С збхз + ... + С бх~ ббх„ бх, =А,е", (П.166) где А, — постоянные, определяемые начальными условиями. Подставляя (П.166) в (П.165), получаем оА, =СпА, +С„А, +...+С,„А„, пАз =СпА, +СмА, +...+СНА> (П.167) пАи = Сю, А, + С>аА2 + ... + СвуАл.
, Чтобы все А, не равнялись тождественно нулю, необходимо, чтобы определитель системы (П.167) был равен нулю, т. е. где См — постоянные, зависящие от хи. Естественно предположить для бх; зкспоненциальную зависимость от времени вида е~, т. е. 361 П. 18. Устойчивость стационарных решений Сп -а С„... С,„ фф-а ... С,„ =О или С,а" +С,а" '+...+С„,а=О. (П.168) Корни уравнения (П.168) определяют поведение системы. Если вещественная часть хотя бы одного корня положительна, то система неустойчива; любое отклонение в такой системе со временем возрастает.
Если вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то система безразлично устойчива. Если вещественные части всех корней отрицательны, то система устойчива. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Ансамбли квантовые 340, 341 Баланс амплитуд 260 - мощности 260 - фаз 29 Вектор Герца 36 - Пойнтинга 26 Вектор-потенциал четырехмерный 44 Вероятность индуцированного - - излучения 355 - - поглощения 355 Волна необыкновенная 139 - неоднородная 144, 152, 158, 163 - обыкновенная 140 - однородная!44 - отраженная 145 - падающая 145, 147 - плоская 71, 144 - поверхностная 162 - прошедшая 145 Волновод биконический 213, 220 - квазипирамидальный 213, 221 - клиновидный 213, 226 - коаксиальный 207 - - конический 213, 220 - конический 213, 219 - прямоугольный 187, 193, 198 - радиальный 213, 227 - секториальный 213, 226 - сферический 213, 222 - цилиндрический 201 Вращение плоскости поляризации 138 Время релаксации ! 2, 90, 91 Диамагнетик! 3 Диполь Герца 68 - электрический 11 -магнитный !3 Диэлектрик 1! Длина волны в среде 73 - - - волноводе 184 Добротность 238, 252 Закон Ампера 15 - Кулона 16 - Ома 10, 11, 20 - Снеллиуса 148 - - модифицированный 155 - Фарадея 16 Инвариантность заряда 43 Излучение индуцированное 86 - спонтанное 86 Индукция магнитного поля 9, 13 - электрического поля 9, 12 Интервал когерентиости 102 Коэффициент бегущей волны 167 - отражения по магнитному полю! 49 - - - электрическому полю 149 - прохождения по магнитному полю 149 - - - электрическому полю 149 - квантового усиления 256, 273 - - - пороговый 260 - стоячей волны 167 - Эйнштейна для индуцированного излучения 87 - - - -поглощения 87 - - - спонтанного излучения 86 Линия спектральная, естественная ширина 357 - - неоднородно уширениая 358 - - однородно ушнренная 358 Лучепреламление двойное 140 364 Предметный указатель Магнетик 13 Магнитодиэлектрик 1ЗЗ Матрица плотности 350 - электрического дипольного момента 347 - энергии 349 Метод медленно меняющихся амплитуд и фаз 329 - последовательных приближений 328 - символический 54, 319 - Фурье 326 Намагниченность среды 13 Напряженность магнитного поля 9 - электрического поля 9 Населенность инверсная 273, 275 - - пороговая 273, 275, 285, 287 - уровня 88, 335 Отражение полное 160 Оператор энергии 343 - импульса 344 Парамагнетик 13, 14, 119 Переходы квантовые излучательные 85, 336 - - безизлучательные 85, 336 Плазма 109 - в магнитном поле 140 Плоскость падения 145 - поляризации !!5 Плотность тока 10 Поле в медленно движущейся среде 49 - квазистационарное 38 - нестационарное 9, 38 - потенциальное 302 - соленондальное 303 - статическое 40 - стационарное 39 - электростатическое 40 Поляризация поля 115 - - вертикальная 146 - - горизонтальная 146 - - линейная 115 - - круговая 116 - - эллиптическая 1 ! 7 Поляризация среды 11, !2 - - электронная 12, 93 - - ионная 12, 104 - - ориентационная 12, 104 Постояннаямагнитная 10 - электрическая 10 - распространения 59, 76 Постулаты Бора 334 Проницаемость магнитная 13 - диэлектрическая 12 Принцип неопределенности 340 - относительности Эйнштейна 309 - Паули 333 - суперпозиции 20 Потенциал векторный! О, 303 - запаздывающий 37 - скалярный 10, 303 Поток вектора 301 Преобразования Лоренца 312, 315 Проводимость ! 0 Прохождение полное 159 Процесс линейный 20 - нелинейный 21, 22 - параметрический 22 Распределение Больцмана 88, 336 Резонанс парамагнитный 125 - ферромагнитный 129 Резонатор объемный прямоугольный 229 - - цилиндрический 235 - открытый конфокальный 248 - - плоский 241 Релаксация спин-решеточная 121 - спин-спиновая 122 Самоканализация энергии 106 Самофокусировка 106 Сегнетозлектрик !3, 105 Система координат инерциальная 309 -- криволинейная 304 -- цилиндрическая 307 - - сферическая 307 Среда активная 82, 89 - диэлектрическая 11, 12 - квантовая двухуровневая 84 - линейная 14, 20 - нелинейная 14, 2! - параметрическая 22 - парамагнитная 12, 14 пассивная 82, 89 - ферромагнитная 14, 126 Предметный укшатель 365 Скорость групповая78 - фазовая 73, 79 Теюор 293 - индукции 46 - напряженности 45 - поляризации 49 - эрмнтов 296 Теорема Гаусса 18 - Остроградского — Гаусса 302 - Стокса 30! - Умова — Пойнтинга 26, 64 Ток намагниченности 31, 32 - поляризации 17 - проводимости 1О, 11 - смещения!7 Угол Брюстера 160 - отражения 146 - падения 145 - полярюации 115, 116 - преломления 146 Уравнение Бесселя 203, 208, 327 - волновое для вектора Герца 36, 61 - - - векторного и скалярного потенциалов 35, 60 - - - движущихся сред 44 - - - диэлектрика 93 - - - магнетика 119 - - - напряженностей поля 32, 33, 34, 59 - - - плазмы 109 - Гельмгольца 72, 75 - Максвелла 19, 50, 57, 58, 59 - - для квазисиционарного поля 38 - - - магнитостатического поля 40 - - - монохроматического поля 58, 59 - - - стационарного поля 39 - - - электростатического поля 40 - непрерывности 19, 20 - - для движущихся сред 41 - скоростные 275, 283, 286 - состояниа среды 15 - Шредингера 337 - электромагнитного пола интегральные 17, 18 Уровни энергии атомов 331 - - молекул 335 Условия волнового синхронюма 103, 158„ 290 - генерирования 259 - граничные 23, 61, 175 - самовозбуждения 260 - усиления 257 -- регенеративиого259,262 Формулы Френеля 149, ! 50, 157 Функция волновая 338 Циркуляция вектора 300 Частота резонансная 235, 236 - квантового перехода 337 Число Френеля 248 Эффект Доплера 169 - Зеемана 126, 129, 335, 337 - поверхностный 172 - Штарка 335, 337 .