Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Решение этого уравнения, соответствующее решению (П.79), имеет вид г з «- l » Г(,г) = — ~ Х"' ДР. (П.84) 4й г дельного случая точечного источника (г, -+ 0) решение этого уравнения имеет вид Математические и физические дополнения 32б Р = 4(9 )ЧйзК(йз) (П.8б) Для каждой из функций получаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Постоянные интегрирования находят из удовлетворения граничным условиям. Только в декартовой системе координат лапласиан от скаляра (П.8) и проекция векторного лапласиана (П.11) имеют один и тот же вид. В общем случае криволинейной системы координат это не так. Проекции векторного лапласиана на оси координат содержат не одну проекцию вектора и только в цилиндрической системе координат проекция векторного лапласиана на ось г будет содержать только одну л-проекцию вектора. В цилиндрической системе координат уравнение Гельмгольца (П.85) для этой составляющей имеет вид ЛА +к~А =О или 1 д ( дА, 1 1 д А, д А, — ~г — *) + — *+ — '+ «'А, = О.
гдг(, дг) г~ до~ де~ (П.87) Решение этого уравнения согласно метода Фурье представляется в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит от одной переменной А, = Я(г)Ф(а)У(е) = ЯФУ. (П.88) Подставляя (П.88) в (П.87) и поделив на (П.88), получим 1 б ( оЯ"1 1 о~Ф 1 б~У вЂ” г — + — + — — +й' =О. гЯог бг гФба Лог (П.89) Величина 8 является постоянной величиной, независимой от г, а и г. При фиксированных г и г первое и третье слагаемые в уравнении (П.89) будут постоянными и, следовательно, 1зФ Ф да' где и — постоянная величина.
При )( = О уравнение (П.83) переходит в однородное волновое уравнение, называемое уравнением Гельмголъиа о,Г+к~г" = О. (П.85) При решении задач электродинамики уравнения в каждом конкретном слУчае записываютсЯ в той системе кооРдинат дь дь Оз, в котоРой гРаничные поверхности совпадают с координатными поверхностями. При этом согласно методу Фурье частные решения этих уравнений представляются в виде произведения трех функций, каждая из которых является функцией только одной переменной, т. е. П.5. Спеииальные уравнения и их решения 327 Решение этого уравнения 1,0 ф А е-/па+ 1 сапа 1 г 0,8 0,6 Если п — действительная величина, то 0,2 Ф = А, сов па+ А, в[п ла.
0 Аналогично 0,2 ~2Р— = — Усе (П.91) 0 6 Упг 08 и 1,0 У = В, е ' '+ Вз ев ". Рис. П.13, ГРафики фУнкций Бессела Если 4 — действительная величина, то е, = В, совУгег+ Вз в]пУгег. С учетом (П.90) и (П.91) уравнение (П.89) имеет вид 1 ДУ Дж л2 2 — — ~г — ) — — +у =О, гЯ дг дг г где у.
=/( -Уг,. з Обозначив уг = х, получим пг ) ,1~В=О бх бх 1, х' У вЂ” уравнение Бесселя, решением которого является Л С1уи (х) + Сзун (х)1 где,У„(х) — функция Бесселя п-го порядка (рис П.13), Ф„(х) — функция Неймана п-го порядка ( рис. П.14). Таким образом, решение (П.88) уравнения (П.87) имеет вид А, = [СгУ„(х)+ С,Ф„(х)][А, созна+ А, в1ппа][В, сов Ус,е+ В, в(п1,х], или А, = [С,,У„(х)+ С У„(х)] х х [А, сов па+ А, вш па] х х [В, е '""+ В, е'"']. Рис. П.14. Графики функций Неймана 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Постоянные интегрирования находятся из граничных условий.
При х=О (г=О),Ув(0)=1, ,У„(0)=0 при и~О; гУ„(0)=-се при любом п. Поэтому, если в Матемотические и физические дополнения 328 рассматриваемую область входит значение х = 0 (г = 0), а по физическому смыслу решение должно иметь конечное значение, то функция Неймана из решения исключается. Значения А„-корней уравнения,)„(х) = 0 и В„-корней уравнения,)„'(х) = 0 приведены в табл. П.2 и П.З. Штрих означает производную по аргументу х. Таблица П.2 Корин А„ Таблица ПЗ Корни В„„ з + езлх + Лх) Г(Е) д х й' (П.92) где)(х) — малая по значению нелинейная функция переменной х. В линейном приближении это уравнение имеет вид: Способы решения нелинейных волновых уравнений более трудоемки, чем линейных.
Если влияние нелинейности невелико, то можно найти приближенные аналитические решения. При значительной нелинейности решения находят численными или графическими методами. При этом используют численные значения параметров и начальных условий. Полученное решение справедливо лишь для одной определенной системы условий. Решение, полученное в аналитической форме, удобно для исследования в широких пределах изменения параметров. Наиболее результативным методом для исследования нелинейных электромагнитных процессов в установившемся режиме является метод последовательных приближений ~итерации). Этот метод заключается в нахождении по известному приближенному решению уравнения следующего более точного приближения.
Метод можно применять, если последовательность полученных приближенных решений сходится. Электромагнитный процесс в слабонелинейных средах можно описать уравнением вида П.5. Специальные уравнения и их решения 329 о + озох — Р(г). д х з Ю Допустим, что это уравнение имеет решение хо. Это решение называется порождающим и может рассматриваться как приближенное решение нелинейного уравнения (П.92). Подставляя решение хо в выражение для функции Ях) в уравнение (П.92), получим 2 + осах Р(г) ((хо)~ д х й' Интегрируя последнее уравнение, получаем решение хь которое является решением нелинейного уравнения (П.92) в первом приближении: х~ =хо+ поправка.
Следующее приближение получаем, подставляя в уравнение (П.92) первое приближение решения х1.' дох —, + оз,х = г"(г) — ('(х,). Получейное решение хг =х1+ поправка является решением уравнения (П.92) во втором приближении, Аналогично можно найти последующие приближения хь х4, хо и т. д. Метод медленно меняющихся амплитуд и фаз применяется в тех случаях, когда заранее известно, что форма колебаний близка к синусоидальной. Рас- смотрим нелинейное уравнение дх з ( дх1 —,+со',х+ф'~х,— ~ =О, дг' ' ~ 'а1 (П.93) дх'~ где (' х, — ) — функция, определяющая нелинейность и потери; р — безраз' дг) мерный параметр, указывающий на малость нелинейности и потерь.
Решение уравнения (П.93) при )х = О представляет собой гармоническое колебание. Очевидно, при малом р решение близко к гармоническому и его можно представить в виде х = А (г) соз(во(+ р(г)) = А (г) соз ф(г), (П.94) где А (() и ср(г) — соответственно амплитуда и фаза, медленно изменяющиеся во времени, Ф(ю) = ао(+ ор(г). Условие медленного изменения амплитуды и фазы заключается в том„что они мало изменяются за период колебания Т = 2к(оз„т. е. г1 з «.
гоо Математические и физические дополнения 330 ~~ ао» ~~ ао. (П.95) Производные величины х определяются выражениями дх дА ( дор1 — = — совФ-~ао+ — )А вшФ, дг дг ' Й (П.9б) — — — ~а«+ — ~ А ~созФ вЂ” ~2~ао+ — ) — "+ — А япФ. (П.97) ~ о др) '"~ ~~ о дг) дг ( дх1 Нелинейная функция (~х,— ) мала, что подчеркивается множителем р в Й ( х,— )=((А„созФ,-аоА„в1пФ) дх1 ,(' х, ) = Р„Ясов(а«(+аР)= Р„(г)соз»Р, (П.98) дх1 Й ( дх1 где Ч»=Ф+(у — ~р), у-гр — фазовый сдвиг функции ~'~х,— ) относительно Й функции х(г), определяемой (П.94). Подставляя выражения (П.94), (П.97) и (П.98) в уравнение (П.93), пренебрегая вследствие малости согласно условию (П.95) вторыми производными амплитуд и фаз, а также произведениями этих производных и учитывая соотношение соз Ч' = сов(у — 9) сов Ф вЂ” вш(д — у) яп Ф, получим дор дА 2а, — А сов Ф+ 2ао — в(пФ = Р„(соз(ц-р)созФ-з1п(у-~р)вшФ1 (П 99) Й Й Приравнивая коэффициенты при совФ и япФ в правой и левой частях уравнения (П.99), получаем Фр Р„сов(у — <р) Й 2аоА„ ддА„Р„в1п(ц~ — <р) Проинтегрировав эти выражения по времени, определим амплитуду А„(г) и фазу ~р(г).
Затем подставим их в (П.94) и найдем решение уравнения (П.93). дх уравнении (П.93). Поэтому среди слагаемых производной —, определяемой дг выражением (П.96), имеет значение лишь наибольшее а,А ял Ф и П.б. Энергетические уровни атомов и молекул 331 П.б. Энергетические уровни атомов и молекул Согласно теории Бора атом или молекула не могут находиться в состояниях с произвольной энергией, они могуг находиться лишь в некоторых дискретных состояниях, называемых устойчивыми или стационарными.
Уровни энергии атомов водорода определяются выражением пЗ о=1 Рис. П.15. Уровни энергии атома водорода и волоро- доподобных ионов Р ч 2 ~ и (П.100) те где и = 1, 2, 3, ... — главное квантовое число; Я = — — постоянная Ридберйй'во га; т — масса электрона; е — заряд электрона; й = 6,6 1О " Дж с — постоянная Планка', ев — электрическая постоянная. Согласно (П.100) энергия зависит только от главного квантового числа и отрицательна для всех устойчивых состояний. Состояние с самой низкой энергией соответствует и = 1 и движению электрона по самой близкой к ядру орбите.
Это состояние называется основным или нормальным. С увеличением и энергия растет и приближается к нулю, уровни сближаются (рис. П.15), орбиты движения электрона удаляются от ядра. Когда электрон удален на бесконечное расстояние (и = со) и находится в покое, энергия атома предполагается равной нулю. Электрон, удаленный от ядра, может находиться в движении, приближаться или удаляться от ядра. Кинетическая энергия двух частиц, приближающихся друг к другу или удаляющихся друг от друга, положительна и может принимать любые значения (не кванту- ется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
