Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Функции комплексной переменной. Символическийметод 319 сову+ 1'в(пу = ем г=ре~, где р =чх + у — модуль числа г; <р— Гг в аргумент числа г. Все вычисления с комплексными числами производятся по обычным правилам алгебры. Комплексные числа Ввщвсгнввнная ась к Рис. ПЛО.
Плоскость комплексного переменного Ф г = х + 1у и г = х — 1у Дифференцирование комплексного числа г = ре'" по аргументу соответствует умножению на1 или повороту отрезка ОМ на угол я/2, т. е. — тв 2 )резв ре 2 ЙЦ) Интегрирование г по аргументу соответствует умножению на -1 или повороту отрезка ОМ на угол -к/2, т. е. к) тат ябмах-1рем жре ~ При изучении линейных электромагнитных процессов, изменяющихся во времени по гармоническому закону (по закону синуса или косинуса), описывающие эти процессы уравнения, а, следовательно, и их решения, значительно упрощаются при использовании символического метода. Сущность этого метода заключается в следующем.
Пусть некоторая электрическая величина (напряженность электромагнитного поля, ток илн напряжение) изменяются по закону синуса или косинуса Е = Е„соз(гвг+ ср) (П.бб) или 1 Е = Е,„в1п(аг + (р). (П.67) й е , 'в~~ ,,в 'Фр вн+ Р Введем вектор, имеющий длину Е„и вращающийся с угловой скоростью гв около начала координат (рис. П.11).
В момент г = О В сов(вя+ц) ке этот вектор образует с вещественной осью угол у, а в момент г и Π— угол у' = ай+ ~р. толу называются сопряженными. Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел есть вещественные числа г+г = 2х, гг = х'+у~. Математические и физические дополнения 320 Проекция вектора на вещественную ось определяет мгновенное значение величины (П.бб), а проекция на мнимую ось — мгновенное значение величины (П.67). Таким образом, процесс, определяемый выражениями (П.бб) или (П.67), можно характеризовать комплексной величиной Е = Е (соз(ел+ (р)+ уз(п(вг+ у)1 = Е ел"""~ нли Е=Е е', (П.бба) где Е„= Е„е'~ — комплексная амплитуда.
Линейные дифференциальные уравнения, переписанные в символической (комплексной) форме, имеют более простой вид, так как в этом случае первая производная по времени от Е соответствует умножению на7а, вторая — на -е: к дŠ— = /аЕ, дг д'Е 2 ~в Е дР (П.67а) а интегрирование по времени соответствует делению на7ох (П.676) Символический метод применим во всех случаях, когда векторы напряженности поля (или ток и напряжение) связаны линейной зависимостью, однако непосредственно он не применим для вычисления энергетических характеристик, которые определяются квадратами и произведениями значений напряженности полей, токов и напряжений.
К квадратичным соотношениям относятся: а,Е +р,Н' в = ' ' — плотность электромагнитной энергии; 2 Если комплексная величина удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению, то этому уравнению удовлетворяет ее вещественная и мнимая части.
Решив уравнение в комплексной форме и взяв от полученного результата действительную или мнимую части, получим искомое решение. Множитель е' ', характеризующий изменение процесса во времени, часто опускают и тогда уравнение записывается для комплексных амплитуд, Вместо комплексной амплитуды часто берут в Г2 раза меньшую величину— комплексное действующее значение П.4. Функции комплексной переменной. Символический метод 321 р„, =(ЛЕ) — плотность мощности, связанная с взаимодействием поля с проводящей средой; дР р = Š— — плотность мощности, связанная с процессами поляризации д! среды; дМ р = ц,Н вЂ” — плотность мощности, связанная с процессами намагнидг чивания среды; П =(ЕН1 — вектор Пойнтннга.
Рассмотрим произведение АВ, где А=А соз(вг+~р„), В = В соз(вг+~ре). В символической форме они выглядят в следующем виде: А=А ед '"'"1=А е'"', А =А е"", В = В ед~'ч'1 = В,„е'~, В„= В„ем' . Комплексно-сопряженные значения А =А е ""' '"~ =А„е'~, А =А е н'", В =В е й~'чв1. В е '~, В =В е юа Очевидно АВ ~КеАВ=КеА В ед~~'чА+чл~ = А„В соз(2вг+ср„+срл) ~ А„, соз(вю+ср„)В соз(вс+ср ), АВ ~ ЬпАВ. Но так как сумма двух сопряженных величин является действительной величиной, а величины А и В можно представить в виде А+А В+В 2 2 А+А В+В 2 2 Определим среднее значение произведения АВ Т (АВ), = — ~АВ а.
Произведение АВ можно представить в виде 22 Зак. 165 Математические и физические дополнения 322 АВ= = — (АВ +А В)+ — (АВ+А В )= 2 2 4 4 1 (А В едвп Рв)+А В е-лчп-вв))+ 4 И И 1 — гА В ел2 иРп+чв)+ 1 В е л2ир чп пв))— 4 И И 1 1 = — А В„соз(д„— грв)+ — АиВ соз(2аг+ у„+ ув). 2 " 2 Первое слагаемое от времени не зависит, второе зависит и при интегрировании обращается в ноль.
Отсюда среднее значение (АВ) = — А В соз(<р„-ррв) 1 2 или (АВ) = — КеАВ = — КеА В=-КеА В = — КеА В . (П.69) 1 и 1 и 1 ' и 1 ° 2 2 2 2 Определим среднее значение выражения дВ Произведение А — можно представить в следующем виде: дг дВ А+А д В+В 1, ° ' 1 А — = — =-)а(А  — АВ )+ — 7а(А — А В ) = дг 2 дг 2 4 4 1, = — /а(А В„едвв чп) — А В е ""в ч"))+ а(А В д2иивв+вп) А В е-А2ир вв пп)) 1 4 И И 1 1 = --аА Ви в)п()Рв — РРв)- — аАиВ„з(п(2аг+)Рв+ РРв).
Среднее значение с дВ) а е) А — ~ = — — А В яп(рр — у )= — А В яп(рр — 2р ) дг,)', 2 или с дВ) а ' а ' а ' а ° А — ) = — 1т А В = — 1т АВ = — 1т А В = — 1т А В„. (П.70) д) пРв 2 2 2 2 Если 323 П.5. Специальные уравнения и ихреиоения А =',)„А (на)сов[наг-ф„(на)], л О В = ~~) В (на)сов[наг — фв(нв)], л О то произведение АВ = ЯА (да)В (та)сов[дૠ— ф„(да)]сов[тૠ— фв(тв)]= о. о л = — ~) А„,(дв)В„,(гв)(сов[(д+г)вг — ф„(дв)-фв(«в)]+ 2О«о + сов[(д — г)в! — ф„(да) + фв(га)]). При усреднении по времени отличны от нуля будут только слагаемые, не зависящие от времени, т. е.
соответствующие д — г = О, и (АВ), = — ]АВ дг =,Г,— А (~а)В (па)соз[фв(нв)-ф„(на)] = 1 "1 о л О Ю ! =~ — А (на)В„(на)соз[ф„(на)-ф (на)]= (П.71) л ] л = ~ — КеА„(нв)В (на) = ~~) — КеА„(на)В (пв). „.,г Аналогично (П.70) среднее значение с дВ1 " на ° " нв А — ! =',),— — 1т А„,(на)Вн(на) =,) — 1т А„(пв)В (нв). (П.72) Таким образом, квадратичные соотношения также можно выразить через комплексные величины. При этом уравнения с квадратичными соотношениями значительно упрощаются, а, следовательно, упрощаются и их решения П.5. Специальные уравнения и пх решения Электромагнитные процессы в средах описываются векторными неоднородными уравнениями в частных производных вида 1 дА ЛА — — — = -)(, „г д,з называемых неоднородными волновыми уравнениями Даламбера.
При решении векторные уравнения необходимо свести к независимым скалярным уравнениям для проекций векторов на координатные оси. Однако толь- 22* 324 Математические и физические дополнения ко в декартовой системе координат скалярное уравнение для каждой проекции будет иметь такой же вид, как и векторное.
В криволинейной системе координат в проекцию лапласиана вектора на криволинейную ось будут входить проекции вектора как на данную, так и на другие оси. Исключение составляет цилиндрическая система, в которой согласно выражению (П.39) для е-компоненты можно написать скалярное уравнение, совпадающее с векторным и не содержащее других проекций вектора. Векторы напряженности электромагнитного поля часто можно выразить через вспомогательные функции Р, например, электромагнитные потенциалы, удовлетворяющие скалярным волновым уравнениям вида ! д~г' Ьг- — = Х. „г д1з В частности, уравнение вида (П.74) описывает электромагнитное поле, создаваемое источником (током или зарядом), характеризуемым величиной у.
Если пространство вокруг одного источника, сосредоточенного в малом объеме радиуса гм изотропно, то решение уравнения (П,74) следует искать как сферическо-симметричное, т. е. Р = 1г(г). Тогда для всех точек вне источника (у = О при г > ге) уравнение (П.74) переходит в однородное волновое уравнение 1 д'Г Ьг'- — — = О. из д' Решением этого уравнения является выражение вида Х(1- / ) Л(1+~/~) г Чтобы определить явный вид функций /~ и /и необходимо знать граничные н начальные условия. Первая функция /;(г — г/и) (называемая запаздывающей) представляет собой сферическую волну, распространяющуюся от источника со скоростью и.
Функция /,(г+ г/и) (называемая опережающей) представляет гй р) собой сферическую волну, сходящуюся нз бесконечности к источнику с той же скоростью и (рис. П.12). В случае точечного источника или в случае, когда все источники расположены в области г < го, волны, сходящиеся к этой области, не имеют физического смысла и /з = О, вследствие чего решением (П.75) будет г(г,г)= ' приг>ге. (П.77) г При г = ге функция (П.77) вместе со своими произРие.
П.12. Сферические водными должна плавно переходить в решение неоднородного уравнения с правой частью (П.74). Для пре- П.5. Специальные уравнения и ик решения 325 )г( ) х(г Ф~) 4яг (П.78) Учитывая принцип суперпознции действия отдельных объемов источников, получим „. „,) 1 ~ Х(г- 1о) (П.79) дзР В случае малости величины — по сравнению с другими членами, уравнедгз ние Даламбера переходит в уравнение Пуассона ~~р = х(г). (П.80) Решение этого уравнения можно получить из (П.79), пренебрегая запаздыванием, т. е.
.г"(~, Г) = — 3à — б Р. 1 ГХ(г) 4к3 г г Если Г и Х не зависят от времени, то решение уравнения Пуассона имеет внд г'(г) = — ~ — оК. 1 Гх 4к.) г (П.81) При Х = 0 уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа ГъГ = О. (П.82) В частном случае монохроматического поля функцию г(г, ~), соответст- вующую напряженности или электромагнитным потенциалам согласно (П.бб а), можно представить в символическом виде Г(г, г) = г",(г)е'"', а функцию Х(г), соответствующую плотности заряда нли тока, в виде х(г) =х.е При этом уравнение (П.74) с учетом (П.67 а) будет иметь вид пав+я г =Х (П.8З) где lс = а/и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
