Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Распределение высокочастотного поля н сь'каюте волновь'м Уравсгустков электронов в пространстве нем нем 291 Вопросы дЕ Я го1гогЕ+ соло — = -ро — > дг' дг ' (7.77) где Л = Л „= рчо — конвекционный ток (ток переноса); р — объемная плотность зарядов. Правая часть уравнения (7.77) определяется уравнением движения электронов Р = т — = е(Е+ ро1чоН1) бч бг Напряженности электрического и магнитного полей в выражении (7.78) могут иметь как постоянные, так и переменные составляющие. Однако практически учитывают переменную составляющую только электрического поля, так как при оо «с действие на электрон магнитной составляющей поля много меньше, чем электрической.
В системах, где происходит взаимодействие поля с потоком электронов, возбуждаются Е-поля, т. е. имеющие продольную составляющую электрического поля. Таким образом, в линейном приближении уравнение (7.78) можно переписать в виде бп е Ез бг т где Ез — продольная составляющая электрического поля, совпадающая с направлением движения электронов. Система уравнений (7.77) и (7.78) должна быль дополнена граничными условиями для электрического и магнитного полей н начальными условиями— значениями начальных скоростей электронов на фиксированных поверхностях.
Кроме основных уравнений (7.77) и (7.78) важную роль при анализе работы электронных приборов СВЧ играет уравнение непрерывности Йч Л = Йч(рч) = —. др дг Взаимодействие высокочастотного электромагнитного поля с электронным потоком лежит в основе работы лампы бегущей волны (ЛБВ), клистронов и магнетронов. Вопросы 1. По мере распространения электромагнитной волны в активной среде характер усиления ее юменяется. На какие три области по характеру изменения амплитуды поля можно разделить среду? 2. Что характерно для области насыщения? 3.
Назовите условия усиления бегущей волны, регенеративного усиления н генерирования. 4. Какие величины называются пороговыми7 Что зто за величиныу 20* Приложение МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ При исследовании электромагнитных процессов в средах основным математическим аппаратом является тензорный и векторный анализ. Изучение электромагнитных процессов в движущихся средах основано на специальной теории относительности и четырехмерном представлении характеристик электромагнитного поля и среды.
Теория функций комплексного переменного лежит в основе символического метода, используемого при исследовании электромагнитных процессов в линейных и нелинейных средах. При исследовании электромагнитных процессов в линейных и нелинейных безграничных средах и при решении краевых задач в ограниченных средах используются специальные уравнения и функции математической физики.
П.1. Преобразование координат. Тензоры Обозначим оси прямоугольной правой декартовой системы координат хь хь хь Тогда расстояние Ы между двумя точками в этой системе з Л1 =~~> дх„ ~! где Ах, — соответствующая разность координат точек (( = 1, 2, 3). Расстояние д1 называется интервалом, а его значение †длин интервала.
При переходе от одной системы координат к другой абсциссы и ординаты точек изменяются. Такой переход называется преобразованием координат; оно может заключаться в изменении начала координат, повороте координатных осей или в одновременном повороте осей и переносе начала координат. Если при преобразовании координат меняются абсциссы и ординаты точек, но не меняются расстояния между этими точками, то пространство называется эвклидовым. Величины, не зависящие от преобразования координат. называются инварлантными. Для эвклидова пространства свойство инвариантности выполняется и в случае бесконечно малого интервала Математические и физические дополнения 294 3 Из =Хбхз, г 1 Рассмотрим вектор А в прямоугольной системе координат К(0, хь хз, хз). Обозначим компоненты вектора в этой системе через Аь Аь Аз (рис.
П.1). Компоненты того же вектора в системе х1 К'(О, х,', х,', х,') обозначим соответственрис. П.1. разложение вектора А на со- но чеРез Аз, А,', А', (Рис. П.2). Связь меставляюшие по координатным осям жду компонентами вектора в обеих систе- мах определяют следующие выражения: А,' = А, соз(е',е,)+ Аз соз(е',ез)+ Аз соя(е,'ез), А., '= А, соз(езе, ) + А, сов(езез) + Аз соз(е',ез), А,' = А, соз(е',е,) + А, соз(е',е,)+ А, соз(езез) где еь ез, ез — орты (единичные векторы) системы К; е'„е'„е', — орты системы К'.
Для упрощения выражений (П.1) косинусы девяти углов, образованных осями системы К с осями системы К' (направляющие косинусы), обозначим согласно табл. П.1. Таблица П.1 соз(е„е„) = аа Перепишем выражения (П.1) в сокращенной форме А,'=апА, +апАз+а„А„ Аз = аззА1 + аззАз + аззАз Аз =аззА, +аззАз+аззАз, нли еще короче з А,' = 2 ааА, (з = 1, 2, 3). Согласно правилу Эйнштейна о х, суммировании знак Е можно опустить, Рис. П.2.
Переход от системы К к системе К' П.1. Преобразование координат. Тензоры 295 так как индекс, встречающийся в произведении дважды, означает суммирование от 3доЗ. Окончательно имеем А,' = а„А4. (П.2) Согласно зтому выражению можно дать такое определение вектора. Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трех величин, которые преобразуются при повороте системы координат согласно формуле (П.2).
Вектор есть частный случай тензора — тензор первого ранга (скаляр-тензор нулевого ранга). Далее будем пользоваться тензорами второго ранга, которые можно представить как совокупность трех векторов, тензоров первого ранга. Через векторы тензор второго ранга преобразуется по закону, аналогичному (П.2), а так как каждый вектор преобразуется по закону (П.2), то преобразование тензора при повороте координат определяется формулой Т„'=а„а, У;. Здесь двойной индекс в произведении означает суммирование (1 н т). Ранг тензора определяется числом индексов (Тз — тензор второго ранга).
Число компонент тензора определяется выражением 3"(где г — ранг тензора), в четырехмерном пространстве 4'. Тн Тп Т~з (Те)= Тм Тз, Т„ Тзз Тзз Тзз — тензор второго ранга в трехмерном пространстве, Тп Т32 ~13 Т34 Т21 Т22 Т23 Т24 ТЗ1 Тзз Тзз Т34 Т43 Т42 Т43 Т44 (Те) = Т, =Т„„ т. е. когда равны компоненты, симметричные относительно главной диагонали.
В трехмерном пространстве такой тензор определяется шестью величинами — тензор второго ранга в четырехмерном пространстве. Тензором второго ранга в трехмерном пространстве называется совокупность девяти величин, преобразующихся при повороте системы координат согласно формуле (П.З). Тензором второго ранга в четырехмерном пространстве называется совокупность шестнадцати величин, преобразующихся при повороте системы коор'динат согласно формуле (П.З). Тензор второго ранга называется симметричным, если 296 Математические и физические дополнения Тензор называется антисимметричным, если Т = — Т, т. е. компоненты на главной диагонали равны нулю, а симметричные относительно главной диагонали равны друг другу с противоположным знаком.
В трехмерном пространстве такой тензор определяется тремя величинами Тензор называется самосопряженным нли эрмитовым, если Тв = Т„,. В трехмерном пространстве этот тензор определяется шестью величинами. На главной диагонали тензора стоят действительные величины, так как только такие величины сами себе сопряжены 7~~ ~~г ~~3 Тп Тгг Тгз ~~з Тгз Тгз Суммой двух тензоров (А,») и (В,») второго ранга называется тензор (Св) того же ранга, компоненты которого равны сумме компонент слагаемых тензоров Св = А,»+В,». Складывать можно любое число тензоров, но только одинакового ранга. Под суммой подразумевается алгебраическая сумма. Произведением двух тензоров (А,») и (Вг ) называется тензор (С,и ), компоненты которого равны произведению компонент перемноженных тензоров С»и =АаВ, . Перемножать можно любое число тензоров любых рангов.
Ранг произведения равен сумме рангов перемножаемых тензоров. Произведение двух тензоров некоммутативно (А,»)(В, ); (Вг ХАа). Свертыванием тензоров называется суммирование по двум индексам. Полагая два индекса тензора одинаковыми, т. е. суммируя по этим индексам, получим из тензора г-го ранга тензор (г — 2)-го ранта.
Например, (Т») — тензор второго ранга; Т„= Т„+ Тгг + ҄— скаляр. П.2. Векторный анализ 297 Свертывать можно несколько раз. Взаимным свертыванием или свертыванием произведения тензоров называется свертывание по индексам, принадлежащим различным тензорам. Перемножая два тензора ранга г и з, получим тензор (1 + з)-го ранга. Свертывая по индексам, принадлежащим различным тензорам, получим тензор (г + з — 2)-го ранга.
Например, В, — вектор; (ра) — тензор второго ранга; Н, — вектор; )2„Н„= В, — вектор. П.2. Векторный анализ Скалярное произведение двух векторов — скаляр и определяется выраженн- (АВ) = АВ сов(АВ). ем При перестановке векторов АВ = ВА. Скалярное произведение двух векторов представляет взаимное свертывание двух тензоров первого ранга (АВ) = А,В, = А,В, +А232+А,В1.
Векторное произведение [АВ] — векторов А и В является вектором, перпендикулярным А и В и по абсолютной величине равным площади параллелограмма, построенного на этих векторах. В декартовой системе координат Е, Е2 Е, [АВ]= А, А А в, в в = е,(А2В2 — В2А2)+ е2(Азв1 — А1вз)+ е,(А,В2 — А,В,). А1 А2 А2 В1 В2 ВЗ С1 С2 Сз (А[ВС]) = При перестановке векторов 19 Зэк 165 Абсолютная величина векторного произведения ~[АВ]( = АВ з1п(АВ). Направление вектора [АВ] определяется из условия образования правой системы с векторами А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
