Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 48
Текст из файла (страница 48)
д1з Ьз дЧз (П 31) С учетом равенства (П.21) ейч А = ~ — (ААЬз)+ — (АзЬА)+ — (АзЬзЬз) . ЬзЬзЬз ~дЧз дЧз дЧз Согласно формуле (П.19) (П.32) 1 го!, А =— "зйз ь гогз А = — ~ Мз ~ го!з А =— Ь,Ь,~ д(ЬзАз) д(ЬзАз) дЧ2 дЧЗ д(Ь,А,) д(Ь,А,)~ дЧз дЧ~ Х (П.ЗЗ) д(Ь,А,) д(Ь,А,) дЧ, дЧ, Согласно выражениям (П.8), (П.31) и (П.32) ягаз!аз = — е + — е + — е, дзр 1 дзр дзр г д а д т1 (П.35) Выражения (П.З1) — (П.34), переписанные в цилиндрической и сферической системах координат, широко применяют в теории электромагнитного поля.
Цилиндрическая система координат (рис. П.7). Координатные поверхности в цилиндрической системе координат: плоскости (г = сопя!), круговые цилиндры (г = сопв!) и полуплоскости (а = сопв!), проходящие через ось х под углом а к фиксированной полуплоскости. Координатные линии в этой же системе координат прямые (г = сонэ!, а = сопв! и а = сопя!, х = сопвг) и окружности (г = = сопя!, х = сопв!). Направление координатных осей определяется ортами е„е„, е,. В цилиндрической системе Чз = г, Чз = а и Чз = г. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями: х, = г сов а, хз = г в!и а и хз = х.
Коэффициенты Ламэ: Ь„=1, Ь =г, Ь,=!. Согласно формулам (П.31) — (П.34) 307 П.2. Векторный анализ Плоско отеч а 6 Рис. П.7. Цилиндрическая система координат: и — координатные поверхности„б— координатные линии, оси и их орты 1 д 1 дА„ дА, йтА = — (гА„)+ — "+ — *, гдг " г да дг (П.36) Ьр =- — г — + — — + —, г дг(, дг) г да2 дх~ (П.38) Согласно (П.11) А„2 дА,1 2' А„2 дА,'1 ЬА= ЬА — — "- — — '~е +~АА — — + — — „')е +АА е . (П.39) 22)Г1 а 2 2)а г г да г г да Коэффициенты Ламэ: 72, = 1, 722 = г, Ь„=гз)пЭ. Согласно формулам (П.31) — (П.34) Здесь ЬА„, ЬА и АА, — лапласианы скалярных величин, определяемые по формуле (П.38).
Сферическая система координат (рис. П.8). Координатными поверхностями в сферической системе координат являются сферы радиуса г, конусы с углом раствора 29 и полуплоскости, проходящие через ось х под углом а к фиксированной полуплоскости; координатными линиями являются окружности (г = = сопят, а = сопят и г = сопз1, 9 = сопз2) и прямые (а = сопз1, 9 = сопз1). Направление координатных осей определяется ортами е„е„ев В этой системе 91 = г, 92 = = 9 и д2 = а.
Сферические координаты связаны с декартовыми соотношениями х, =гз(пЭсоза, х2 =гз(пЭз1па, хт = гсозЭ. Математические и физические дополнения 308 Рис. П.8. Сферическая система координат: а — координат- ные поверхности; б — координатные оси и их орты 8гайгр = — е„+ — — е, + .
— е„, дгр 1 др 1 йр дг " г дЭ гяпЭ да (П.40) д(ч А = —,— (г А,)+ — — (Ая яп9)+ — —, (П.41) 1д з 1 д . 1 дА гз дг ' гяп9 дЭ гв1пЭ да Г д . дА, 1 Г 1 дА„ 1 д(гА„)1 гогА= — ~ — (А,яп9)- — ~)е„+~ — — "- — " )ея+ гяпэ~дЭ да ) " ~гв(пЭ да г дг (П.42) )' ° ~""' )' (П.43) гз дг~ч дг) гзвт3 д9~, д9) гзв(п 9 даз Соответственно формуле (П.11) 2 2 д . 2 дА1 ЛА= ЛА„- —,А, —, — (япЗА,)-,, — ~е„+ г' ' г'в(пЗдЭ г'яп9 даз" с Ая 2 дА, 2сов9 дА„1 гз в1пз 3 гз дЭ гзв1пз 9 да 1 А, 2 дА, 2сов9 дАя~ г'в1п'9 г'в(пЭ да г'в(п'Э да~ '* (П.44) Здесь ЬА„, ЛА, и ЬА — лапласианы скалярных величин, определяемые по формуле (П.43).
309 П.3. Специальная теория относительности П.З. Специальная теория относительности Специальная теория относительности создана А. Эйнштейном в 1905 г. Эта теория возникла при попытке согласовать между собой экспериментальные данные, относящиеся к электродинамике движущихся сред и связанные с неудачными опытами Майкельсона по обнаружению движения Земли относительно эфира (опыт Майкельсона). При этом А. Эйнштейну пришлось выйти из рамок электродинамики и создать общую физическую теорию. Принцип относительности Эйнштейна. Для описания события необходимо связать его с определенной системой отсчета, т. е. необходимо указать, в каком месте и в какое время оно происходит.
Место определяется координатами, время — часами. Системы координат, в которых движение тел, не находящихся под действием внешних сил, происходит с постоянной скоростью, называются инерииальными. Если две системы координат движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и одна из них является инерциальной, то и другая является инерциапьной. Если тело покоится в одной инерциальной системе координат, то оно может двигаться в другой инерциапьной системе, двигаться с иной скоростью в третьей, но ни в одной инерциальной системе тело не будет двигаться с ускорением. Принцип относительности заключается в том, что уравнение, описывающее некоторый закон природы, будучи выражено через координаты и время, в различных инерциапьных системах имеет один и тот же вид. (Уравнения, сохраняющие форму при координатных преобразованиях, называются ковариантными.) В теории поля предполагается, что возмущение поля в некоторой точке распространяется с конечной скоростью.
Максимальная скорость распространения возмущения одинакова во всех инерциальных системах и равна скорости света в вакууме (с = 2,99792 10' м/с). Принципом относительности Эйнштейна является объединение принципа относительности с конечностью скорости распространения возмущения. Из этого принципа следует относительность одновременности событий, Указание места и времени совершения события имеет смысл, когда даны численные значения координат места и времени как результат вполне определенных и принципиально выполнимых измерений, которые осуществляются с помощью обычных координатных масштабов и часов.
Часы расставляются в исследуемые точки и в начало координат и регулируются следующим образом: из начала координат посылается сигнал к регулируемым часам, находящимся на расстоянии / от начала координат. Наблюдатель, находящийся у этих часов, ставит время г = //с в момент получения светового сигнала. При этих условиях два события, происходящие в разных точках системы, считаются одновременными, если часы, находящиеся в этих точках, показывают для этих событий одинаковое время. Однако зти события в другой системе будут неодновременными. Математические и физические дополнения Х2 К' Х2 Действительно, рассмотрим две системы координат К и К', движущиеся друг относительно и друга с постоянной скоростью и (рис. П.9).
Причем система К' движется относительно К вправо, вдоль оси х!. ВЛСХ' Пусть из некоторой точки А О Ф х! на оси х, системы К посылаются сигналы в двух взаимно противоположных направлениях. В системе К' скорость сигхз Хз нала равна с, и в точки В н С, Рис. П.9. Перемещение системы координат К' в равноудаленные от точки А, положительном направлении оси х! со скоростью и сигнал приходит одновременно. Однако эти события (приход сигнала в В и С) с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К, не будут одновременными, так как согласно принципа относительности скорость сигнала в системе К будет также равна с, но точка В при двюкении системы К' движется навстречу сигналу, а точка С вЂ” по направлению от сигнала н, следовательно, в точку В сигнал приходит раньше„чем в С. Интервал.
В декартовой системе координат расстояние между двумя точками !,12 ~~~~ьх2 где Лх, — соответствующая разность координат точек (! = 1, 2, 3). Расстояние это называется интервалом, а величина Ы вЂ” длиной интервала. При переходе от одной системы координат к другой абсциссы и ординаты точек изменяются, а расстояние остается тем же. Величины, не меняющиеся при преобразовании координат, называются инвариантными. Свойство инвариант- ности выполняется и в случае бесконечно малого интервала 2 12 = ,') лх2. ~ ! Событие определяется тремя координатами и временем, поэтому удобно пользоваться четырехмерным пространством, в котором три измерения — пространственные, а четвертое — время.
Всякое событие изображается точкой, определяемой координатами х!,Х2, х2, Гв системе К и х,', х2, х,', Г' в системе К'. Пустьодно событиесостоитвтом, что източки с координатами х!'!, х!2'!, Хзп!, в системе К в момент 2~ ' отправляется сигнал со скоростью света с. Второе со- (!) 311 П.3. Специальная теория относительности бытие состоит в том, что сигнал приходит в точку х!!~!, х~~~з, х!н в момент г! !.
Расстояние 451, пройденное сигналом, определяется с одной стороны выражением 3 Л1 =,1 Ьх,~, ~ ! где !ах, — соответствующая разность координат, с другой стороны выражением Ь 1 з с з Таким образом, зависимость меж!!у координатами обоих событий в системе К имеет вид з ~ах! зб з () ~ 1 Так как скорость света в обоих системах одинакова, то в системе К' з ~ бх'-сзд!' =!3. Аналогично трехмерному эвклидову пространству величину, определяемую соотношением з 1ьу» =~~4 Ахз — с!аз называют интервалом между двумя событиями.
Если два события бесконечно близки друг к другу, то 3 <~,з =~~ <~хз-сзАзз (П.45) Аналогично определяется интервал и в системе К'. Очевидно, интервал является инвариантом, так как определяющая его разность остается равной нулю при переходе от системы К к К'. Однако зта разность может быть и не равной нулю, если речь идет не об отправлении и получении сигнала, а о других событиях, но она по-прежнему остается инвариантом. Обозначим х4 = /сз, тогда выражение (П.45) перепишется в следующем виде: ЙЯз '1, дхз (П.4б) Поэтому, рассматривая четырехмерное пространство, будем характеризовать событие координатами х, (!' = 1, 2, 3, 4). В этом случае ЬЯ~ можно истолковать Математические и физические дополнения 3!2 х~ +хз+хз =с С г з з гз (П.49) а в системе К' — в виде а+ гз+ гз 2Са Подставляя (П.48) в (П.50) и группируя подобные члены, получаем (с'Ь' — и'а')С' = (а' — с'8~)х,' + х,' + х,' — 2(иа' + с'ЬК)хС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
