Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(П.50) Сравнивая полученное выражение с (П.49), получаем 2Ь2 2 2 2 а -се =1, з г г иа~+с~Ья=О. Отсюда как квадрат расстояния между точками хсп и хсп (с = 1, 2, 3, 4), а Ы~ — как квадрат элемента длины в четырехмерном пространстве. Только в звклидовой геометрии интервал равен сумме квадратов разностей координат и поэтому интервал с(Я~ (П.46) можно рассматривать как инвариант четырехмерной эвклидовой геометрии. Преобразования Лоренца. Рассмотрим две системы, движущиеся друг относительно друга со скоростью и, так что ось х~ все время совпадает с осью х,' и в начальный момент С = 0 начало координат одной системы совпадает с началом координат другой (см.
рис. П.9). С точки зрения классической механики время события абсолютно, т. е. не зависит от системы координат, и связь между координатами в системе К' и К определяется выражениями х, =х,-иС, хз =хз, хз =хз, С =С, (П.47) называемыми преобразованием Галилея. Согласно теории относительности эти преобразования можно заменить новыми линейными преобразованиями, основанными на инвариантности скорости света и не предполагающими время абсолютным.
Эти преобразования не должны выделять одну инерциальную систему относительно другой и они являются линейными. Очевидно, х,' =а(х, — иС), хз =хз, хз =хз, С'=ЬС+щ (П.48) (в силу симметрии С' отхз и хз не зависит). Найдем коэффициенты преобразования а, Ь и я. Пусть в момент с = 0 из начала координат системы К, которое в этот момент совпадает с началом системы К', излучается сферическая электромагнитная волна.
Скорость ее распространения равна с и одинакова во всех направлениях. Тогда распространение фронта волны в системе К можно записать в виде П.З. Специальная теория относительности 313 1 а=Ь= 4 77' 1 — Ь Ьи иЬ с Подставляя (П.51) в (П.48), получаем х, — иг ' 4:.'77' Х2 =Х2, ! «3 =«3 (П.51) (П.52) и ( — — х с 77-Р7'2' Выражения (П.52) представляют преобразования Лоренца. Если относительная скорость систем К и К' мала по сравнению с с (и «с), то (П.52) переходят в формулы преобразования Галилея (П.47).
Справедливость преобразований Лоренца можно проверить экспериментально только в том случае, когда (и/с)' больше вероятной ошибки опьгга. Решая уравнения (П.52) относительно х(, хз„х), б получаем: х,'+ ир Ф Х2 Х2 (П.53) Х) =Х2, и (+ — х 2 ! с Ь:.я Аг! = х,2 - х,(, (2) (!) где х( ' и х,' ' — координаты концов стержня, измеренные в системе К. Найдем длину стержня в системе К'. Для этого определим координаты обоих концов стержня (х,'(') н х,") ) в этой системе в один и тот же момент Р. Выражения (П.53) получаются из (П.52) при изменении знака относительной скорости, так как система К движется со скоростью-и по отношению к К', При и > с координаты х! и 2 становятся мнимыми, следовательно, движение со скоростью, большей скорости света, невозможно.
Следствии из преобразований Лоренца: 1. Пусть в системе К покоится стержень, параллельный оси х!. Длина его, измеренная в этой системе, 314 Математические и физические дорголнения Согласно (П.53) х~~= хл" +из' 2 хк ~+из' (2) х, 2 Г(()*' 6:м7' Длина стержня в системе К', очевидно, Лх(' =х)(~~-х(~". Вычитая х(П из «(2), получаем ~ь ь*,= '*', -.ь(=ь*,1)-())'. (П.54) (-((.)' т ьр кл р ~, те ь ьт ..'(('-(() р .Э~ьфф. -Собственной длиной стержня называется его длина в той системе отсчета, в которой'он покоится. Из выражения (П.54) видно, что это наибольшая длина. При движении поперечные размеры тела не меняются и, следовательно, объем тела при его движении сокращается по формуле (П.55) где Гф — собс'гвенный объем тела. Пусть в системе К' покоятся часы.
Рассмотрим два события, происшедших в одном и том же месте х,', х,', х,' системы К'. Время в системе К' между этими событиями оз' = 22 — г)'. Найдем время Ж, которое прошло между этими событиями в системе отсчета К, относительно которой движется система К'. Из (П.53) находим и и 2+ — х 2 г+ — х 2 ) с с ) 2* 1-(и/с) 1-(и/с) Вычитая г( из 22, получаем У ь = * ьт=ьь )-( ( )'.
>-( ( )' т ьр, р ь ~ ь ьа~ к ь часов, находящихся в движущейся системе К', оказывается замедленным в ,()-(()' р .кр*.~ .юЬ ь.. - к-.,р ...р.... различных точках системы К', будуг показывать время в зависимости от их положения. Чем дальше по осн х,' от начала координат К' расположены часы, тем более отстают их показания с точки зрения наблюдателя системы К. С другой стороны, можно рассматривать ход часов, находящихся в системе К, с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К' и г- — х,' 2 г'= с Л-((.г' П.З. Специальная теория относительности 315 получаем .и х! + .1 х4 х с ' Л:ьь7' х,' =х„ Ф «3 =хЗ, (П.56) х4 — 1 — «! х~ = с Отсюда матрица преобразования О О 11:м'7 О 1 0 0 [ав> = (П.57) 0 0 1 0 .1 0 0 11:м')* 11:ьььг т.е.
часы, находящиеся на положительной половине оси хь опережают часы, помещенные в начале координат. Временной интервал ЬЕ Л:мР' т. е. часы в системе К, с точки зрения наблюдателя системы К', оказываются замедленными. Время, которое показывают часы, движущиеся вместе с рассматриваемым телом, называется собственным временем. Четырехмерные вектор (4-вектор) и тензор (4-тензор). Радиус-вектором в четырехмерном пространстве (4-радиус-вектором), представляющим собой вектор, проведенный из начала координат в исследуемую точку, называется со- вокупность четырех величин х„преобразующихся при повороте системы коор- динат аналогично формуле (П.2): х,' = аах„хь = аьх,' (1 = 1, 2, 3, 4). Согласно преобразованию Лоренца (П.52) учитывая, что х„= 1с~, х„' = ус1', Математические и физические донолнения 3!6 Для обратного преобразования х» =а»,х,.
Согласно преобразованию Лоренца (П.53) ,и Х! — з — Х4 ы ! Гм7' » Хз = Хз» (П.58) » Хз =Хз» ,и Х4 +2 Х! с х,= » Г»ч 7 и матрица преобразования имеет вид -1-" О О .»»: ».! !' к- ».».!' О 1 О О (П.59) (а»,)= О О 1 О с !»:! 7'7 Гь7'7 А» =авА,'.
При преобразовании Лоренца (П.53) ,и А, — ! — А4 с !»:»! г»' Аз =Аз, Аэ = Аз (П.бб) А,'+ з' — А,' с Б:м7' Вектором в четырехмерном нространстве (4-вектором) называется совокупность четырех величин А„преобразующихся при повороте координат аналогично (П.2) по формуле П.З. Специальная теория относительности 317 Легко показать, что квадраты 4-векторов и их скалярные произведения инвариантны, т. е. Тензором второго ранга в четырехмерном пространстве (4-тензором) называется совокупность шестнадцати величин, преобразующихся при повороте системы координат аналогично формуле (П.З) Т„' =о„а, Т,, При обратном преобразовании э Тм = аьа„,Тьо учитывая матрицу преобразования Лоренца (П.59), злеменгы которой !2 О 2! 23 24 аэ! 32 34 42 43 получим 2 ,и,, и 7!! / (Тээ +74!) 744 с с г 732 / Т42 Тээ / 743 7э4 / (144+7!!)+ 1-(и/с) 7' Тэ (Т„) = 732 Тээ э ° 44 э 74, +/.-Т„ с Т4э +/ — Т!э с 1- (и/с) ! — (и/с) (П.61) При обратном преобразовании «и» заменяется на «-гоэ.
Четырехмерным градиентом аналогично (П.5) называется 4-вектор, проекции которого на оси координат имеют вид Огас$, гр = — (! = 1, 2, 3, 4), дгр (П.62) э где 4р — скалярная функция четырех переменных 4!э = 4Р(х ) (!' = 1 2 3 4) Формально четырехмерный градиент можно представить как произведение четырехмерного векторного пространственно-временного оператора д П, = — (!'=1,2,3,4), э аналогичного оператору Гамильтона (П.5) в трехмерном пространстве, на скаляр гр. 1- (и/с) ,и Т,', -/ — Т,', с 313 — (и/с) .и Ти - /-Т34 с э/1-(и/с) 2 1- (и/с) ,и Т,'4 + /' — Ти с э/! — (и/с)' ,и 7,4+/ — Т„ с 311-(и/с) г ад +/ (7!4 +74!) 7!! Математические и физические дополнения 318 где оператор дг д2 д2 дг П'= — + — + — +— 2 дх2 дх2 дхг .называется оператором Даламбера; он аналогичен оператору Лапласа в трехмерном пространстве (П.8).
Четыреичерпым ротором называется антисимметричный 4-тензор второго ранга дА, дА, Ко1е А = — г — — '. агр дхг (П.65) Отсюда следует Ко1„А = О, Ко1е А = -Ко1в А. Пространственные компоненты (1, 11 =1, 2, 3) четырехмерного ротора совпадают с компонентами го1 А в трехмерном пространстве (П.7).
П.4. Функции комплексной переменной. Символический метод Величина г = х+ ~у называется комплексной переменной. Здесь Кег =х — вещественная часть, 1щг= у — мнимая часть комплексного переменного г. Комплексное число можно представить графически точкой Мс координатами х, у на плоскости, которую называют плоскостью комплексного переменного, так как каждой точке этой плоскости соответствует комплексная переменная г (рис. П.10). Комплексная переменная г=х+Зу, как видно из рисунка П.10, можно представить в виде г = рсозу+ 1рзинр.
Согласно формуле Эйлера Четырехмерной дивергенцией аналогично (П.б) называется скалярное прод изведение четырехмерного оператора — на 4-вектор А, дх дА, дА, дА дА дАг 01чА ~+ ~+ Х+ (П.63) дх, дх, дхг дхз дх, Приняв в формуле (П.63) в качестве вектора А четырехмерный градиент (П.62), получим дифференциальное выражение О'у= — + — + — + —, д 2~о дг~р дг<р дг~р (П.64) д,' Ь,' дх,' д „' П.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
