Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Совокупность излучательных квантовых переходов с нижних уровней на верхние образует спектр поглощения, совокупность переходов с верхних уровней на нижние образует спектр излучения. Спектры, соответствующие квантовым переходам между электронными уровнями, имеют вид отдельных спектральных линий и называются линейчатыми. Квантовые переходы между электронными уровнями, соответствующими внешним оболочкам, образуют спектры, лемащие в видимой и ультрафиолетовой области. Переходы электронов из внешних оболочек в глубинные соответствуют рентгеновскому спектру. У молекул наряду с большими излучениями энергии при квантовых переходах между электронными уровнями ЬИ' могут происходить меньшие изменения энергии при переходах между колебательными уровнями Л~р„и еще меньшие при переходах между вращательными уровнями Л1Г„. Частота излу- чения или поглощения в этом случае ЬЖ +ЛИ'„ +ЛИ' а= =ам+а +аар А Переходы, связанные с изменениями )Г, И' и гор, образуют электроннокслебательно-вращательные спектры, лежащие в видимой и ультрафиолетовой областях.
При АЖ = О, ЬЖ„-,~ О и Л(г' ~ О образуются колебательно- вращательные спектры, лемащие в инфракрасной области. При ЛИ' =О, ЛЮ = О и ЬИ' ~ Π— вращательные спектры, лежащие в далекой инфракрасной области и в области сантиметровых и миллиметровых волн (диапазон СВЧ). Диапазону СВЧ соответствуют переходы между подуровнями, образующиеся при расщеплении уровней энергии в электрических (эффект Штарка) и в магнитных (эффект Зеемана) полях. П.8. Уравнение Шредингера Согласно представлениям квантовой механики изменение энергии поля происходит не непрерывно, а квантами. Энергия поля излучается и поглощается в виде квантов.
Энергия кванта 338 Математические и физические дополнения где й = †, й = 6,6 10 Джс — постоянная Планка;в †кругов частота. Ь м 2п Импульс кванта 1К а р= — =й — =йк, ч где н — волновой вектор; ч — вектор скорости распространения. С другой стороны частицы обладают волновыми свойствами. Движение внутри атома также является волновым н характеризуется волновой функцией, изменяющейся по периодическому закону в каждой точке пространства. 1'В' вг1 е' ф(юг)=Ч~еед ~ =целее '" "' =фее ", где ~~в — амплитуда, которая в случае движения материальной точки массы т зависит только от координат пространства.
Из вида волновой функции (П.103) очевидно, что она является решением волнового уравнения Дф+к~ф = 0 и учитывая, что для свободной частицы р 2т1Г „ где т — масса частицы; 1Г „— ее кинетическая энергия, получаем волновое уравнение ДФ+ —,)Р „ф=О. 2т (П.104) Если частица находится под воздействием внешних снл, то ее кинетическая энергия 1Р =И -и, (П.105) где 1à — полная энергия частицы; У = У(г) — потенциальная энергия частицы. Подставляя (П.105) в (П.104), получаем уравнение Шредингера. Дф+ — ()à — У)ф = О, 2т Л1 (П.106) решения которого (П.103) являются собственными волновыми функциями, характеризующими стационарные состояния системы (частнцы нлн совокупности частиц). Дифференцируя (П.103) по времени, получаем ду,~Г . дг й отсюда следует, что 339 П.д.
Уравнение Шредингера «Уф =-/Я вЂ”. дф (П.107) дс Подставляя (П.107) в (П.106), получим уравнение Шредингера в более общем виде ,«7« — = — Лф - УЧУ. , дф А' (П.108) дг 2в Уравнение Шредингера линейно и его решения удовлетворяют принципу суперпозиции, т. е. если волновые функции ф, и фа являются решениями и характеризуют два состояния системы, то функция (П.109) ф = а)ф~ + агфг где а~ и аг — некоторые постоянные, также является решением. В общем случае ф = Ха.Ч', (П.110) Из решения уравнения Шредингера с учетом граничных условий следует, что полная энергия ««' может принимать лишь определенные отрицательные соб- ственные значения Ю„, которым соответствуют собственные волновые функции ф„. Эги значения «Г„и ф„характеризуют стационарные состояния, соответст- вующие боровским орбитам.
При переходе из одного стационарного состояния в другое энергия меняется скачком. Физический смысл волновой функции (П.103) определяется выражением фф =1ч!' =М.!'. Функция уе зависит только от координат пространства, и величина Ц 2 представляет плотность вероятности нахождения частицы в момент времени 1 в определенной точке пространства. Собственные функции, соответствующие различным собственным значени- ям волнового уравнения, взаимно ортогональны, т.
е. )Ч~,фг <~У=О прн«~К, где 1 и к — индексы, определяющие два различных состояния. Интегрирование распространяется на все конфигурационное пространство. Если собственные функции ндрмированы, то Чу>Ч/г ог =бе где 1 при1=Й, Ь„= Опри1юей. Математические и физические дополнения 340 Из вероятностного характера волновой функции следует ириниии неопреде- ленности Гейзенберга, согласно которому нельзя одновременно точно опреде- лить координаты и импульс частицы, координаты и скорость, т.
е. Ахдр м й, й АтАи м —, а также АИ'Аг = й, где Ах, Ар, Аи, Лй' — соответственно неопределенность определения координаты, импульса, скорости и энергии частицы; Ат — неопределенность определения времени, в течение которого частица может иметь энергию йг, к А)т'. Из последнего соотношения следует й Ат ив АИ' или АвА! м1. (П.112) Чтобы получить сведения о системе, необходимо провести измерения, причем измерения могут дать значения, характеризующие лишь одну сторону процесса. Или получим набор значений, характеризующих положение часпщ, или набор значений, характеризующих их импульсы. Создать условия, при которых одновременно можно провести точные измерения и тех и других значений невозможно.
П.9. Квантовые ансамбли Совокупность одинаковых частиц, находящихся в одинаковых макроскопических условиях (температура, давление, внешнее поле и т. д.), называется квантовым ансамблем. Среднее значение любой величины, характеризующее состояние квантового ансамбля, называется средним по ансамблю. Эти средние значения характеризуют и поведение частиц, входящих в ансамбль. С другой стороны, состояние всей макроскопической системы в целом характеризуется средними значениями величин для ансамблей, входящих в ее состав.
Если состояние всех частиц, входящих в ансамбль, до измерения каких-либо величин описывается одной и той же волновой функцией ф, то ансамбль называется чистым. При этом измерение какой-либо величины Е может дать целый ряд значений Аь Ц, Еь Е4 и т. д., и среднее по ансамблю значение п,А, у'~гг и где и — число всех измерений; и, — число измерений, дающих одинаковое значение Е,. Каждому значению Х, соответствует собственная функция ф„так как каждое измерение приводит систему к новому состоянию. Чтобы повторить измере- П.10.
Операторы и их свойства 341 ние, необходимо вернуть систему принципу суперпозиции (П.110) Ф в исходное состояние. При этом согласно = ~Га„ф„, п комплексно-сопряженная функция ф =~~'аф плотность вероятности фф =Ц =~Г~а„у„~ + ~~> ~ а а„у„у„. И тмл л Второе слагаемое в последнем выражении называется интерференционным и в случае чистого ансамбля оно отлично от нуля. Смешанным называется ансамбль, состоящий из групп, состояние частиц в каждой из которых характеризуется своей собственной функцией щ, т.
е. смешанный ансамбль представляет собой совокупность чистых ансамблей. Плотность вероятности в случае смешанного ансамбля представляется суммой плотностей вероятностей всех чистых ансамблей ~1ф, (~ (! = 1, 2, 3, ..., и), где п — число чистых ансамблей, входящих в сложный смешанный. В этом случае интерференционный член равен нулю. Состояние частиц, входящих в смешанный ансамбль, нельзя описать одной волновой функцией, Для описания состояния смешанного ансамбля используется сложная функция, называемая матрицей Плотности. П.10.
Операторы и их свойства Оператором называется математическое понятие, обозначающее совокупность математических действий, усганавливающее соответствие между функциями. В квантовой механике применяются линейные операторы, удовлетворяющие условию Х(и,(х)+ и~(х)] = Еи,(х)+ Хи (х) (П.113) л где Š— оператор; и~(х) и и2(х) — функции, на которые действует оператор. Действие оператора на сумму функций эквивалентно сумме результатов действия этого оператора на каждую функцию.
л л Действие алгебраической суммы операторов й и Ез на функцию эквивалентно алгебраической сумме результатов действий операторов на функцию: л л л л (Ь! х Ьт)и(х) = Й и(х) х Ез и(х). (П.114) 342 Математические и физические дополнение Линейные операторы коммутативны л л л л а+Аз =А!+й и ассоциативны Й+(Хг+Хэ) =(Й+Ь!)+ Аз, Произведение двух операторов удовлетворяет свойству ассоциативности л л л л (й Е!)и(х) = й (Аз и(х)), и свойству дистрибутивности л л л л л л л Й! (Йз+ Хз) = Ь! Ез+ Й йз. Свойство коммутативности для произведения в общем случае не имеет места л л л л йЕз -еЕз.(!.
Перестановочное соотношение для операторов А, и Х, обозначается в виде: л л л л л л [~! Хз) = Ь! Ез- Ьз й очевидно, [А!ь21=-«ьз з !) Линейный оператор, удовлетворяющий соотношению )и, (х)Еиз(х) бх = )и!(х)Е и, (х)йх, (П.115) называется самосопряженным, или эрмитовым. Здесь й(х) — функция комл плексно-сопряженная с и(х); Х вЂ” оператор, комплексно-сопряженный с опера- тором !,. В квантовой механике применяются только зрмитовы операторы, так как только такие операторы могут изображать вещественные физические величины. В результате действия оператора на некоторую функцию в общем случае получаем новую функцию Ьи(х) = ср(х). Однако для некоторых функций и(х) в результате действия ойератора получим ту же функцию, умноженную на некоторое постоянное число Е и(х) = Еи(х).
(П;116) Число Ь называется собственным значением оператора А, а функция и(х), удовлетворяющая уравнению (П.116), называется собственной функцией оператора. Если оператор является линейным дифференциальным оператором, то уравнение (П.116) будет линейным дифференциальным уравнением, имеющим прн 343 ШО. Операторы и из свойства заданных граничных условиях ненулевые решения лишь при определенных значениях А, являющихся собственными значениями.
Обычно имеется множество собственных значений и собственных функций. Совокупность всех собственных значений образует дискретный или сплошной спектр. Собственные значения самосопряженного оператора всегда вещественны. Собственные функции линейного самосопряженного оператора удовлетворяют условию ортогональности ~и и„оГ = 0 при т ~ и. Совокупность собственных функций и„(п = О, 1, 2, ...) образует полную систему, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
