Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е. любая непрерывная функция, заданная на том же интервале, что и и„, удовлетворяющая таким же граничным условиям, может быть представлена в виде ряда (П.117) где а„= ~<ри„др'. Ряд (П.117) сходится, если интеграл ~)<р( И' существует. В квантовой механике операторы служат для аналитического описания физических величин. При этом значения физической величины, определяемые опытным путем, должны совпадать с собственным значением оператора. Так как физическая величина представляется вещественным числом, то операторы, соответствующие им, должны быть самосопряженными.
П.11. Операторы энергии и импульса Уравнение Шредингера (П.106) можно представить в следующем виде: с Ь вЂ” — А+У(х,) ф=Ир, 2т т. е. воздействие оператора — — Ь+ У(х,) (П.118) на функцию ф равносильно умножению, ее на величину рг' — полную энерппо системы. Таким образом, оператор (П.118) является оператором полной энергии, его называют также гамильтонианом и обозначают символом Й. В этом операторе удобно заменить функцию У(х,) на оператор потенциальной энергии У(х,) й 2 Н= — Л+ У(х,). 2т При этом уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид Математические и физические дололиенил 344 (П.119) или согласно (П.107)— - 1й — = Нф.
дг Так как полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, то согласно уравнению (П.120) оператор кинетической энергии й' 1Г = — Ь. 2т (П.121) С другой стороны, ти р 6' 2 2т и, следовательно, р кнн 2т (П.122) где р — оператор импульса. Сравнивая формулы (П.121) и (П.122), получаем р' =-й'й р= 1йЧ, д Р, =7й — к к где р, — проекция оператора р на оси координат. П.12. Среднее значение.
Матрицы х = )х~(х)ох, кк где Г"(х) — плотность вероятности случайной непрерывной величины. Если х — координата, то ее среднее значение х = )хф (х)ф(х)дх, (П.123) где ~(х)=)ф(х)~ =ф*ф Среднее значение функции Г(х) Среднее значение, или математическое ожидание физической величины х, определяется выражением П.!3. Митри на электрического дипольного момента 345 Р(х) = )ф*Г(х)ц~ дх. Р (П.124) Среднее значение оператора Е Е= ~ф'ЕфдГ, (П.125) г где интегрирование проводится по конфигурационному пространству, т. е. по совокупности координат, определяющих положение частицы и ее элементарных частей в пространстве.
Так как Е действительная измеряемая величина, то Е=Е, Е = ')фЕф оК, (П.126) т. е. оператор должен удовлетворять условию (П.115). Так как согласно формуле (П.110) ф=~„а„ф„, ф =,) а ф„, Еы Ен " Еъ ~Е(г)1 = Алгебра операторов соответствует алгебре матриц. Переход от операторов к матрицам соответствует переходу от дифференциальных уравнений к алгебраическим.
П.13. Матрица электрического дипольного момента Элемент матрицы электрического дипольного момента согласно (П.127) определяется выражением р„(г)= )ф р,ф, ог (П.128) е то, комбинируя попарно волновые функции ф„и ф, получаем согласно (П.126) последовательность средних значений, в общем случае зависящих от времени Е„„(г)= ~ф'.Еф„д) =Е' я, (П.127) которые можно представить в виде эрмитовой матрицы, рассматривая Е как элемент матрицы, где первый индекс относится к номеру строки, а второй — к номеру столбца Математические и физические дополнения 34б где р„ — оператор дипольного момента и интегрирование проводится по конфигурационному пространству частицы (атома или молекулы).
Движение электронов можно охарактеризовать вероятностью нахождения нх в той или иной точке пространства. Совокупность этих точек можно рассматривать как электронное облако. Вероятность нахождения электронов в объеме ЙР при стационарном состоянии, характеризуемом волновой функцией ф„, определяется выражением ф„ф„оГ, плотность заряда в данном объеме еФ„Ч~„, а среднее значение дипольного момента, соответствующее диагональному элементу матрицы (П.128) р„„„= е ~ф„ф„г оР = е )гЧз„гф„дР, (П.129) Г р. =е~ф гф.бр=ело.гфо»е' ~оГ г р. ° =е~ф.гф дР=е~фо.гфо е '" 'др, (П.130) где )Є— И' Я Недиагональные элементы матрицы (П.128) зависят от времени н определяют поглощение или излучение энергии частицей при соответствующих переходах.
Обозначим г,=)фо. Фо.дк г г. =г. =дефо. Фо дК. г где г — радиус-вектор, проведенный из начала координат, где находится ядро атома илн центр тяжести зарядов ядер молекулы, к произвольной точке электронного облака; интегрирование проводится по конфигурационному пространству частицы. При симметричном распределении электронного облака выражение (П.129) равно нулю, при несимметричном — постоянной величине. Действительно, в последнем случае, если г от времени не зависит, то согласно (П.103) подынтегральное выражение в (П.129) от времени также не зависит. Переходы между двумя уровнями т и п происходят в обе стороны и с учетом формулы (П.103) можно записать П.24. Матрица энергии 347 Так как зто действительные величины, то г„„= 1„„= )Ч1 гЧ1„оК, г и в общем случае электрический дипольный момент может быть представлен в виде эрмитовой матрицы р е""" е12 ре,„Е' '"' Ре и р, н е'"'" Ы,(г)1 = '" Ре 22 (П.131) р е/~е1 р ее~е2 Р е'"'" (2)е Ре и Ре В большинстве случаев из-за симметричности электронного облака дипольные моменты, соответствующие стационарным состояниям, равны нулю н '1Р ()1 (П.132) П.14.
Матрица энергцн Согласно выраокению (П.127) элементы матрицы энергии определяются вы- ражением = 1ф'.Йф„бк, (П.!33) где Н вЂ” оператор энергии, и интегрирование проводится по конфигурационному пространству. Если оператор Н от времени не зависит, а согласно формуле (П.103) яе Ф. =фо„е о о фе =Ч2о.е то подинтегральное выражение (П.133) имеет вид Ч1.НЧ1. = Ч/О.нфо.
е'""', где Р,„=Р,ь, ва =-оэи. В случае квантово-механической системы с двумя энергетическими уровнями, считая, что другие уровни достаточно далеко удалены от этих двух и не взаимодействуют с ними, матрица дипольного момента имеет вид Математические и физические дополнения 343 где При т=п ЧгиНфп =ЧголНфо. Таким образом, диагональные злемеиты матрицы не зависят от времени н соответствуют стационарным состояниям, недиагональные — зависят от времени и соответствуют переходам системы из одного стационарного состояния в другое. В случае квантово-механической системы с двумя знергетическими уровнями К«и 1Г2 (И'«< И'2) стационарные состояния описываются волновыми функциями вида (П.103) 2-2ю В ««2 ф„е " и Ч«02е 0 .
Подставляя зти волновые фун«щии в уравнение (П.119), получаем НоЧ'о« = гг«Ч«о«~ НоЧ'оз = огзЧ«02 где Н, — гамильтониан невозмущенной системы (частицы), который согласно формуле (П.127) можно представить в ниде матрицы. С учетом условия ортогональностн (П.111) г ° Нон = ~Фо«НоЧ«о«<~1'=%« Р г Но«2 = ~Ч«0«Н0 Ч«02«1)г = О, Н02«)Ч«02 НО Ч«0««11 Н022 )Ч«02 НО Ч«02 «~ ~ илн (П.134) Под воздействием излучения частиц Е система уже не будет находиться в стационарном состоянии. Состояние системы будет определяться уравнением (П.120): -ф — =(Но+ У(г))ф, (П.135) «32 где У(г) — оператор возмущения.
При дипольном взаимодействии У(г) =-р,Е, и уравнение (П.135) можно представить в виде 349 П.15. Матрица плотности дф — 1й — =1Н вЂ” р Е)ф, О в где 1 Н, — р, Е1 — гамильтониан возмущенной частицы. Согласно (П.134) и (П,132) р,Е й 1Р! -р Е1 в1 О ~ рЕ Н ~- РЕ 12 (П.136) Ю'„- 1г' Частоты в„= " также образуют матрицу. 0 вп ... вгв в21 О ''' в2в И= в„1 в„2... 0 П.15. Матрица плотности Систему частиц можно подразделить на группы, в каждой из которых часпщы находятся в определенных энергетических состояниях с энергией 1гн характеризуемых волновыми функциями !р, (1 = 1, 2, 3, ...).
Статистический вес групп Ф, Я = У где У, — число частиц 1-й группы; Ф вЂ” полное число частиц. Очевидно, (П.138) г Функции !12, и !12, согласно (П.110) можно представить в следующем виде: 2Р~ = ~~ а» !12вв в Среднее значение некоторой величины р для всей системы равно Р =в',КР (П.137) где р, — среднее значение этой величины для 2-й группы согласно (П.124) определяется выражением Математические и физические дополнения 350 '% ьэ Фю =~~он' Фе~ и (П.139) Подставляя (П.138) и (П.139) в (П.137), получаем Р=~Г8,~~ ~а~'~ а~'~Р „, а и где Р „= ~ф рф„ое' — матричный элемент, или г Р =,~~ртпРвю ~ (П.! 40) где т.
е. средняя величина равна сумме диагональных элементов матрицы, представляющей собой произведение матриц [р) и [р]. Если система изменяется во времени, то р „=,),8,а~ ~ (Ф)а~'~(!), дао> Величину —" определим с помощью уравнения (П.120) дг дф Нф, =-Я вЂ” ', дс (П.143) представляя ф,. в виде ф,=~~ а~ ф, а р „=~~) й,ао~ ао~ (П.141) — матричный элемент матрицы [р1, называемой статистической, или матрицей плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
