Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Диагональные элементы матрицы плотности р„определяют вероятность нахождения системы в данном состоянии ~р, поэтому зтн элементы не бывают отрицательными н сумма всех диагональных элементов равна 1. Недиагональные элементы р„„характеризуют квантовые переходы из состояния у в состояние у„ (с т-уровня энергии на п-уровень). Так как среднее значение физической величины должно бьггь вещественным, то матрица плотности является эрмитовой. Выражение (П.140) можно представить также в виде Р = ~'„(РР)н> (П.142) Ф П.16. Вероятность перехода 351 где ф„ — собственные функции оператора Н.
Подставляя это разложение в выражение (П.143), умножая обе части на ф и интегрируя, получаем аго — 1й — '" = ~~ Н а~'~, дг Ю где Н =)Ф'.ЙФ„ДК. С учетом (П.144) в (П.143) и эрмитовости матрицы энергии, т.е. что Н, =Н,, получаем -1й==~ (Н.,р.-р„,н.) , др — = — (Нр-рН) =[На) др,/' дг й (П.145) П.16. Вероятность перехода Частица может находиться только в определенных энергетических состояниях.
Под влиянием внешних воздействий она может переходить из одного состояния в другое. Пусть в момент времени 1< й частица находится в стационарном состоянии, Н' ~ /— определяемом волновой функцией ф,„(г) е " . В промежутке времени й < г < г2 частица подвергается внешнему воздействию (возмущению) и переходит в ноя'„~ вое стационарное состояние, характеризуемое волновой функцией ф,„(г)е я . Переход частицы из одного состояния в другое — вероятностный процесс. Уравнение Шредингера в данном случае имеет вид (П.120): -1й — =[Й, + (1(~НФ.
дг где Н вЂ” гамильтониан невозмущенной системы„а (П.146) Г(1,(г) при г, < г < г„ Ж)=~ О приГ <11 иГ>Еы — оператор возмущения, характеризующий внешнее воздействие. Уравнение Шредингера для невозмущенной системы имеет вид — закон изменения матрицы плотности [р1 во времени. Здесь [Нр) — квантовые скобки Пуассона. Математические и физические доналнения 352 дф -гй — =Н,ф; о его решение и! ф =ф.е" (П.147) Решение уравнения (П.146) будем искать в виде линейной комбинации волновых функций (П.147) и Ф!мо =фо.е 1, при1=т, а,(!) = О, при1ит. При ! > т система вновь переходит в стационарное состояние.
При этом согласно выражению (П.148) о'! ! — ! !1!<„, ='» а,(т)фо е и ! где коэффициенты а,(!) = а,(т) постоянны при ! > т. Величина 1аг(т)< определяет вероятность нахождения системы в соспжннн 1. г Вероятность нахождения системы в состоянии т прн ! < 0 по условию равна единице, т. е. <а„(!)<' = <а„(0)1' =1.
Вероятность нахождения системы в состоянии и определяется величиной !а„(т)< . Таким образом, вероятность перехода система из состояния т в состояние и Р „= <а„(т)(~. Подставляя выражение (П.149) в уравнение (П.14б), получаем Н'! т! ч-~да!. 3 ! ч~, ! — гй» вЂ” 'ф„е " +~,агИгфоге " д! и! о"! ! — 4 ! — ! = Но ~.агфо! е " + У,(С)»' агфо! е " .
! ! Так как согласно уравнению (П.!19) (П.150) ! — ! о'! ф=~» аг(!)ф! =~а!(!)!1!о! е ", (П.148) ! где а, (!) — неизвестные функции времени. Пусть г! = О, гг = т. Так как при ! < 0 частица находилась в стационарном состоянии т, т. е. П. 16.
Вероятность перехода 353 НЧ!о! = гР!фа! ° Ку„ а1 !ь ч~ о!цфе!е =~~1 а!(Н ф,)е ! ! н выражение (П.150) переходит в равенство И'! а! оо! . — уй~ — ф<де ь = И,Д а!фме " . о! й~„ Умножая обе части последнего равенства на фц„е " и интегрируя по конфигурационному пространству частицы, с учетом условия ортогональностн (П.111) получаем —,1й —" = ~ а,У„! е '""", ! (П.151) где !т'„- 1г'! !ан = л (4„! = ~Чю. ~4„Чо! д( (П.152) — элементы матрицы энергии возмущения.
Начальные условия можно представить в виде 1, при1=т„ а!(!) = Ь, О, при1~т. Уравнение (П.151) можно решить методом последовательных приближений (см. З П.5), полагая возмущение малым (У, -+ 0). В качестве нулевого приближения определим коэффициенты а!(!) из начальных условий ив(„) (Π— Я вЂ” "=Я а~~~Н„!(!)е т~ =И,Яе !" !, ! ! ао!(!)= —,~У„„(!')е '" 'й'+Ь 1 о Ограничиваясь первым приближением, получаем 23 зак ие Первое приближение найдем, используя нулевое приближение. Подставляя его в (П.151), получаем Математические и физические дополнения 354 л з г „( ) =1а~ (т)) = — ~(~„(г)е о (П.153) Если при расчете окажется, что У„„= О, то соответствующий переход невозможен. Такой переход называется запрещенным. Рассмотрим возмущение частицы электрическим полем Е=Е соз(аг-Кг).
Если эквивалентный электрический дипольный момент частицы равен рт то энергия ее взаимодействия с полем У. =-Р,Е. Пусть в момент г < О частица находилась в состоянии с энергией И'„, а под влиянием возмущения переходит в состояние с энергией И'„ У, = -р, Е = — р, Е „соз(аг — Кг), О < г < т, где т — время взаимодействия. Согласно (П.152) Улт = ) ф~л рл Е соз(аг — йг) фет о1'. с.. =-~1л,'„л,л,. лл)л„~мт ~г или У„=-р,„„Е сова~, где р„„т = ) ф,„р„ф, ол' — элемент матрицы электрического момента г диполя. Согласно (П.153) Р„Е ед" "' и-1 е л" "' и-1 а-а а+а„„ (П.154) Первое слагаемое в выражении (П.154) быстро увеличивается при приближении частоты возмущающего поля а к частоте перехода а . Практически переход возможен, если й'„-6' ата лт илн Так как длина волны электромагнитного поля много больше размеров конфигурационного объема частицы, то поле в пределах этого объема можно считать постоянным и П.
1б. Вероятность перехода 355 Таким образом, первый член в выражении (П.154) связан с переходом в состояние л, которое выше состояния т на величину энергии йа = йа„. При таком переходе энергия частицы увеличивается за счет поглощения энергии электромагнитного поля (резонансное поглощение). Второе слагаемое в выражении (П.154) быстро увеличивается прн приближении частоты поля в к частоте — а . Это слагаемое велико, если или 2а а»а Е ' ~2 4з1п " т (т) й (а — в„) (П,! 55) вероятность перехода, связанная с излучением, 2 а+а»а ~2 4$1П Р (т)= ໠— й (, + , )2 Очевидно, вероятности переходов вверх н вниз одинаковы (П.15б) Р "(т) = Р„„(т). (П.157) Рассмотрим переходы, связанные с поглощением. При достаточно большом т множитель 2 а-а. 4з1п 2 (в — в„) обладает свойством б-функции и его можно представить в виде 4з)п 2 2 =2хтб(а-а»а).
(а- )' Следовательно, второй член связан с переходом частицы на нижний уровень, при котором энергия частицы уменьшается на величину ла, отдаваемую частицей полю (индуцированное излучение). Вероятность перехода, связанная с поглощением, согласно выражению (П.154) Математические и физические дополнения 356 Е 12 Ь (П.158) т. е. вероятность перехода обращается в бесконечность при резонансе а = в„„и равна нулю при а х а„„. В рассмотренном приближении энергетический уровень считается бесконечно узким.
При учете ширины энергетического уровня Р„"„'(т) будет максимальна при а=а„„, но конечна. Согласно формуле (П.158) вероятность перехода пропорциональна времени взаимодействия поля с частицей. Вероятность перехода в единицу времени получим, разделив выражение (П.158) на т Рпогл ! Е р погл ~щи (т) Ре гип ю Ю~3 21ю(а- в ). Если уровень т соответствует одному состоянию, а уровень и представляет собой полосу состояний, распределенных по энергии непрерывно или дискретно с очень малым расщеплением, то переходы с уровня т в полосу состояний л будут соответствовать энергиям, заключенным между 1К и 1Г+ д1Г.
Если Ф(Ю)— плотность распределения состояний в зависимости от энергии, то У(1Г) дЖ = Ю(1Г)й дв — число состояний в полосе и. Вероятность перехода из состояния т в полосу состояний и Е ' Р '(т) = ' 2ятб(а — а„)Ф()Г)й да.
й Интегрируя по уровню и, т. е. по узкому спектру частот в области а м в„, получаем Р„"„' (т)= — ~р, Е„~ Ф(1К)т. й При этом вероятность перехода в единицу времени р"""(т)= — 1р,„Е ~ Ф(Ж). (П.159) (П.160) П.17. Ширина спектральной линии Так как энергетические уровни не являются бесконечно узкими, а имеют конечную ширину, то излучение или поглощение при переходах происходит в Подставляя этот результат в выражение (П.155), получаем окончательно выражение 357 П.
7 7. Ширина спектральной линии некотором интервале частот, т. е. спектральная линия имеет конечную ширину, а форма ее количественно характеризуется функцией, называемой форм- фактором. Конечная ширина энергетических уровней связана с конечностью времени жизни частицы на энергетическом уровне Ы. Соответствующая ширина спектральной линии, определяемая как полоса частот Ьв, на границах которой интенсивность излучения или поглощения уменьшается в два раза по сравнению с максимальной, называется естественной шириной линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
