Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 44
Текст из файла (страница 44)
7.9. Сужение спектра при распростраиешению коэффициента усиления нии в активной среде с однородно уширениой а„,. При однородном уширении линией излучения 277 7.3. Усиление е резонаторе линии излучения (см. з П.17) а~ увеличение интенсивности распространяющейся волны приводит к пропорциональному уменьшению усиления для всех частот (рис. 7.9).
Для волны, -- -------- -------- --. а. прошедшей небольшое расстояние х', интенсивность будет не- ти ы большой, инверсная населенность рис. 7.1О. Изменение контура неоднородно уменьшится незначительно и ко- уширенной линии при усилении электромагнитэффициент усиления среды а'„, ного поля будет значительным. Прн этом усиливаются спектральные составляющие в полосе Ьа'. При увеличении пройденного расстояния до х" коэффициент усиления уменьшится до а"„, и усиление будет наблюдаться в меньшей полосе Ьв', т. е. происходит монохроматизация излучения. При неоднородно уширенной линии излучения (см.
з П.17) взаимодействие распространяющегося поля происходит не со всеми частицами среды, а лишь теми из них, в контуры линий излучения которых попадают спектральные составляющие поля (рис. 7 10). При увеличении пути, проходимого волной в среде, провалы углубляются, инверсная населенность и коэффициент усиления уменьшаются, уменьшается число спектральных составляющих поля и излучение монохроматизируется. 7.3.
Усиление в резонаторе Потери в резонаторе, заполненном активной средой, определяют распределенной проводимостью о. Эта величина характеризует потери в активной среде, стенках или зеркалах резонатора и потери на излучение из резонатора. В этом случае электромагнитное поле в резонаторе, как и в случае усиления бегущей волны в активной среде, определяется первым уравнением системы (7.24) д'Е и дЕ 1 д'Р' — -и~ЛЕ+ — — = — — —. дс 6, дю в„ дг' Однако решение этого уравнения следует искать в виде пространственных стоячих волн. Учитывая, что в резонаторах оптического и СВЧ диапазонов поле зависит от продольной координаты и слабо зависит от поперечных координат, решение можно представить в виде Е(хз г) = ~~) Е„(г)ьйпlг„хз (7.44) где л — номер типа колебания; й„ = пк/г'.
— продольное волновое число и-го типа; Ь вЂ” длина резонатора. 278 7. Взаимодействие алеки ромагнитного ноля с активной средой Подставляя (7.44) в (7.43), получаем где Л Р„'(~) = — 1Р'(х„г) з1М„х бх,, ~а Собственные колебания резонатора при наличии потерь характеризуются комплексными величинами в вп =ви+/ — э 2Д„ где д аа(в ) аа(вв)ви а',(в„) а(в„) (7.46) — добротность и-го типа колебаний, в„= к„и (7.47) — резонансная частотан-го типа колебаний, Г 1 в =в 1+— 41~д — собственная частота и-го типа колебаний. Подставляя (7.46) и (7.47) в (7.45), получаем уравнение, которое вместе со вторым и третьим уравнениями системы (7.24) образуют систему уравнений для исследования усиления в резонаторе с активной средой (7.48) озЕ () в,Е () 1 озР~() (7.49) Умножая правую и левую части этого уравнения на з(п к„х, и усредняя по длине резонатора, получаем о~Е„(г) а 6Е„(г) з, 1 о' Р„'(г) 7 3 Усиление в резонаторе 279 где Е = Е(хг, г) = ГЕ„(2)з(п)с.„хг, л р„'(2) = 2 Рл'(х„г)зы„хг бхг.
р Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда в резонаторе возбуждается только один тип колебаний с линейной поляризацией поля Е, направление векторов напряженности поля Е и поляризации совпадает, распределение напряженности поля, поляризации н инверсной населенности по длине резонатора равномерно.
В этом случае систему уравнений (7.49) можно переписать в скалярной форме б~Е сгр дЕ 2 1 и Р' — г+ — + сг~Е = — — г бгг ~ ,~ р лгг 2 ( 1 ) а 2сгг! 2 + + шп 1+ Р = гггрЕра1 (7.50) Е. (г) е'"'+ Е. (2) е "' 2 Р„'(г)е м+Р" (г)е а 2 (7.51) где Е (г) и Р'(2) — медленно меняющиеся во времени комплексные амплитуды. Величина 1 21 2 2 л' сг2272 (7.52) входящая во второе уравнение системы (7.50), представляет собственную часто- ту линии излучения. Действительно, величина 2/Тг определяет ширину линии излучения, сггг — резонансная частота и где сгр и Д вЂ” резонансная частота и добротность резонатора для выделенного единственного типа колебаний.
Уравнения (7.50) описывают колебания поля в резонаторе с частотой сэр и колебания поляризации с частотой квантового перехода сггь Эти колебания можно рассматривать как колебания в двух связанных системах. Поэтому если сгр и сгг~ не равны, но близки друг другу, то в резонаторе устанавливаются колебания с некоторой промежуточной частотой сг (затягивание частоты).
Представим электрическое поле Е и поляризацию Р' в следующем виде: 7 3 Усиление в резонаторе 281 л5Е ЬЕ ~ ду'~ — = — соьФ-~а„+ ~Е япФ, й й ~" й1 —, = — 2ал — "япФ вЂ” ог„1 в» + 2 — ~Е„соьФ, й " й й 6Р' 6Р»", р' д Чг'г — = — соь Чл — 1 вл + — ~р,„ып Чл, й й ~" й3 (г ра ~ра — = -2вл — "ьш Ч' — а„~в„+ 2 — ~Р„' соь'г. й' " й й7' " Подставляя полученные значения в (7 50) и пренебрегая малыми членами, получим (аг -а')-2в — ~Е соьФ- 2а — + — "' Е япФ= — лсоьЧ', р л л дг~ а л ~ д о1р -2ал — Р„'соьЧ'-2в,~ — + — Р'~яп Ч'= — "ЬИр,'Е„соьФ, л й '~й Т, ~ 8 4 АУ ЬУ вЂ” ЛФо 2 — + ' = — Е,Р„'соьФяпЧ', й Тг лвг! (7 54) (в — в )-2а — ~Е = — "соь(Чг-<р), с б4г~ а»Р»' й е а 2 — + — 'Е = — "яп(Чг — яг) й Д Р' — = — "ЫЧЕ соь(чг-яг), йр р й 8 оР» ) г — "' + — Р' = — 'ЬИЕ яп(Чг — ~р), й Т 7г (7.55) ЙЬгУ г5У г5гУр Е Р + ' — яп(Чг — <р).
й А Таккак в, ввр, то аг-аг (а,-ал)(а +ал) вр вл' 2в, 2ал Учитывая это соотношение в первом уравнении системы (7.55), перепишем систему в виде Учитывая в (7.54) тригонометрические соотношения (7.25а) и приравнивая коэффициенты при соответствующих косинусах, синусах и свободные члены, получаем 282 7. Вэаимодейстеие электромагнитного поля с активной средой дЕ вр ℠— =- — РЕ + — "Р„'яп(ц~ — ср), 61 2Яр 2е, дР„' ( .
р,' —" = — — Р'+ — 'ЬМЕ„яп(у-ср), ог Тз 'ЫУО 4иРв + ' — ~ ~ з1п~р-у), бг Т, й ду в„Р' — = (в, — в„) — —" — соз(ц~ — р), дг ' " 2в Е„ 2 — = — ' ЬИ вЂ”, соз(у — ~р). дг й Р' (7.56) Р„' дР" — ))— Тз <~~ При этом согласно второму уравнению системы (7.56) з Р' = — 'Т,ЛМЕ з1п(ц~-~р), и систему (7.56) можно привести к виду — — — Е„+ — Т,ЫК„з1 (ц — р), дг 2Д, " 2йв, ВЫУ Ыт ЫУо Р, з з — + = — — 'Т2ЫЦЕ яп (у-<р), дг Т, в1 — =(в -вд)- — "" ТзЫЧсоз(ц7-ф)$1П(цl-ф), йф дг Р " 2йв, др — = — сф(у — ср). дг Т, (7.57) Скоростные, нли кинетические уравнения, аналогичные (7.38), имеют вид Система (7.56) описывает как стационарные, так и нестационарные процессы. В этих уравнениях поле и инверсная населенность усреднены и не зависят от координат. Учет пространственных вариаций поля и инверсной населенности значительно усложняет задачу, результаты же незначительно отличаются от результатов, полученных при пространственном усреднении.
В оптическом диапазоне уравнения можно упростить, учитывая, что ширина линии излучения Ьв„много больше ширины резонансного пика Лвр и ?.3. Усиление е резонаторе 283 Ы сэр — + — р.з = и п(сэ)ЬЛу, й Д ббд~ ~~д~ б)~о + о = — 2п(ез),ЯУ й Т, (7.58) где .У= ' Е ~~еэп — интенсивность излучения, п(еэ) з пре Таз ))и() + ( )2Т2) — сечение радиационного перехода. Первое уравнение системы (7.58) описывает изменение интенсивности коОр лебаний в резонаторе во времени.
Здесь —.7 характеризует уменьшение инОр тенсивности за счет потерь в резонаторе; и о(еэ)ЛЛУ вЂ” увеличение интенсивности за счет индуцированного излучения. Влиянием спонтанного излучения из-за его малости пренебрегаем. Второе уравнение (7.58) описывает изменение разности населенностей уровней во времени. Здесь слагаемое Т, характеризует уменьшение инверсной населенности за счет релаксационных процессов, и ее увеличение за счет источника возбуждения. Член 2п(ез)ЛФ определяет уменьшение инверсной населенности за счет индуцированного излучения, Множитель 2 появляется вследствие того, что в двухуровневой системе при переходе одной частицы с верхнего уровня на нижний и излучении одного фотона разность населенностей уровней изменяется на 2.
Кинетические или скоростные уравнения (7.58) в отличие от (7.57) не определяют изменение фазы поля и поэтому не используются для описания различных нестационарных процессов. При работе в стационарном режиме 6Е„, дЬУ др ду "' = — = — = — =0 йг й й й и система уравнений (7.57) принимает вид 284 7 Взаимодействие электромагнитного поля с активной средой 2 — — Е„, + — "' Т2ыт„э1п (Чl-9) =О, 2Яр " 2йе„ 221ло Р 2 Т й2 = — — 'ТЛЕ яп (ц~ — ф), 1 2 ырР, (с2 — с2 ) — Т ЬФ соэ(2в — <р) э(п(2р — <р) = О, р л 2й 2 (7 59) 1 — с28(2р — в2) = О. Т2 Согласно последнему уравнению системы т е поляризация опережает поле по фазе на к72, и энергия от среды передается полю.
При этом уравнения системы (7.59) имеют вид 2 — Т,Ы=О, с2р еэ Р 2Яр 212е, 222те 22)л Р Т 72РТЕ2 Т 7,2 2 2 (7.бО) е2р — е2„= О. Отсюда в стационарном режиме па 2 ~2рРлТ2 (7.б1) (7 62) Знак равенства в этом выражении соответствует пороговой инверсной населен- ности. Таким образом, пороговая инверсная населенность При генерировании амплитуда Е„, отлична от нуля, что в соответствии с (7.б2) возможно при условии йе, Я,Р,'Т2 ' 285 7.3. Усиление е резонаторе ла, ~о о г Оор,т, (7.63) Подставляя (7.63) в (7.62), получаем окончательное выражение для амплитуды поля в резонаторе Я„= — '(,5М, — ЛМ,„„). ЙД (7.64) Т,в, Согласно выражению (7.64) чем больше добротность резонатора и превышение инверсной населенности, создаваемой источником возбуждения, над пороговой, тем больше амплитуда поля в резонаторе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
