Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Активную компоненту будем рассматривать как совокупность квантово-ме- Обычно активная среда представляет собой совокупность двух компонент; основы, состоящей из частиц, не принимающих участия в излучательных переходах, и частиц активатора, определяющих излучение. При этом вектор поляризации удобно представить в виде 264 7. Взаимодействие электромагнитного полл с активной средой которые являются решениями уравнения (П.108). Под действием электрического поля Е системы переходят в нестацнонарные состояния, описываемые уравнением (П.
135) Дг л л — 1Ъ вЂ” = '1Ню+ (7(г))ЧI, (7.9) дг где Но — гамильтониан без учета взаимодействия, а л (7(г) = — р„,Š— оператор возмущения при дипольном взаимодействии поля с частицей. Решение (7.9) будем искать в виде волновой функции у(г), зависящей от времени. Эту волновую функцию, пренебрегая взаимодействием с другими уровнями, можно представить в виде ф(г) = а(г)фаь + Ь(г)фм. Подставляя (7.10) в (7.9) с учетом (П.136), получим , !'оа. <й.
-.ГЬ~ — Фм + — Чм = И~афм + ИзЬФм -Р„Еафм -Р.ЕЬфм, (7.11) Умножая обе части (7.11) на ф„и интегрируя по конфигурационному пространству частицы, т. е. совокупности координат, определяющих положение частицы в пространстве, с учетом ортогональности волновых функций (П.111) получим да 7 — = — (И;а — р,,ЕЬ), 6г Ь г. ° где р„= рц = рмр„фм дР = рц — матричный элемент эквивалентного дипольного момента частицы (П.132). Аналогично, умножая (7.! 1) на у„н интегрируя, получим — = — (И' Ь вЂ” р„Еа). бЬ дг Ь Согласно (П.14! ) матрица плотности имеет вид (7.13) ханических систем с двумя энергетическими уровнями И' и )рз (И~ < Жз), считая, что другие уровни достаточно далеко удалены от этих двух и не взаимодействуют с ними.
Стационарные состояния 1 и 2 описываются волновыми функциями вида 'е 'я ф„е и фме 7 2. Усиление бегущей волны 265 Здесь недиагональные элементы определяют дипольный момент, диагональные — вероятность населенности уровней. Среднее значение вектора поляризации Р' определяется выражением Р'=р,Ь~, где Ф вЂ” число частиц активатора в единице объема; р, — средний дипольный момент частицы. Для простоты будем считать, что у матрицы дипольного момента отличны от нуля только недиагональные элементы (см.
П.132), т.е. ри —— р„= р,. Тогда согласно (П.142) с учетом (7.14) получим Р' =(аЬ +а Ь)р„У. (7.15) Продифференцируем это выражение по времени дР' (оа ° И ба ° ЙЬ) — =~ — Ь +а — + — Ь+а — ~р„,Ф й ~й й й й! "' и преобразуем этот результат с учетом (7.12) и (7.13). В результате получим дР' — = — (И',аЬ' — р,ЦЪ| — )Г,аЬ + р„Ца!' — Ца Ъ+ р,Е|Ь!' + ГИ,-И; .
|а!'-|Ь!' И;-И; . +И',а Ь-р,Е|а! )р,У= у ' 'аЬ + р„Е- ' 'а'Ь- р,Е)р,Ф = — >сом(аЬ вЂ” а Ь)р,У, |а!' -|Ъ|' (7.16) %з — % где езн = з ' — частота перехода. Ь Вторая производная поляризации д~ Р', (да ° ЙЬ ба ° дЬ) =-усзз1~ — Ь +а — — — Ь-а — )р,У, г г1~6 1 1 й) е или с учетом (7.12) и ( 7.13) 12 Ра = -ыз,(аЬ + а Ь)р,,Ь7+ — "(|а!' — |Ь!')ИЕр~ Согласно физическому смыслу элементов матрицы плотности величина (7 17) (|Ь! — |а|~ )Ф = АУ' (7.18) 17 зак ме представляет собой разность населенности верхнего и нижнего уровней при наличии электромагнитного поля. С учетом (7.15) и (7.18) выражение (7.17) можно переписать в виде 266 7.
Взаимодействие электромагнитного поля с активной средой <~ 1 2 а 2с 2! 2 = — ацР' — — ЛЕЕР,. ,1 з (7.19) Производная по времени выражения (7.18) имеет вид 6ЛУ' (оЬ ° 6Ь да ° йа 1 — — Ь +Ь вЂ” — — а — а — )У дг '( дг или с учетом (7.12) и (7.13) 6Л)У' 2 ~' ° — = — — (аЬ -а Ь)р,ЕУ. дг Ь Сравнивая с (7.16), имеем оЬУ' 2 дР' — = — Š—. (7.20) ~с'21 Уравнения (7,19) и (7.20) описывает изменение поляризации Р' н разности населенностей уровней ЛФ' под действием электромагнитного поля. Однако эти изменения происходят не только из-за электромагнитного поля, но и за счет релаксационных процессов, действие которых определяется функциями распределения (2.65) и (2.66): для Ь)У' ят)= — е я', Т1 е-1д1 Тд (7.22) Обычно в твердых диэлектриках релаксация инверсной населенности, определяемая временем продольной релаксации Ть происходит значительно медленнее, чем релаксация поляризации, определяемая временем поперечной релаксации Тз (Тз «Т1).
Это объясняется тем, что релаксация поляризации связана с изменением фазы волновой функции частицы, а релаксация населенности — с изменением ее энергии. В газах при низком давлении Т, ю Т,. Из-за процессов релаксации частицы, принимающие участие в процессе усиления в данный момент ~, имеют различное время т взаимодействия с полем. Выделяя нз полной производной по времени производную по т, получим 6 д д д 1 — = — + — = — +— (7.21) Й дг дт д~ Т„ 7.2.
Усиление бегущей волны 267 Согласно (П.123) среднее макроскопическое значение Р' = ~Р'(т, г) Т (т) бт - Р', о ! Л№ = ~Ь№(т, г)Д(т) бт — ЫЧо, о (7.23) где Р; и ЬМо — начальные значения, которые имеют величины Р' и ЛФ до начала процесса усиления (при т = О). Обычно Р", = О. Величина Л)оо определяет усиление среды. Среда усиливает, если она находится в состоянии инверсной населенности, которая создается с помощью стороннего источника возбуждения. Эту населенность при отсутствии распространяющегося поля Е можно представить выражением ЬЛ~~ = 1Ь~~ — ~а~ф где ~а ~ =рп, ~Ь ~ =рм — диагональные элементы матрицы плотности при отсутствии поля Е. Усредняя выражения (7.19) н (7.20), с учетом (7.21) и (7.22) согласно (7.23) получаем д'Р' 2 дР',( 1 1 . 2ып Обозначая '(1)У + о'оо дг Тг дг 1, а~~,Тг,~ й Согласно последнему уравнению скорость изменения разности населенностей уровней зависит от напряженности распространяющегося поля Е.
Вместе с уравнением (7.8) зти уравнения образуют замкнутую систему 17* разность населенностей уровней, определяемую источником возбуждения и по- лем Е, получаем 268 7. Взаимодействие электромагнитного поля с активной средой дзЕ , и дк 1 д'Р о~~+ г дг' е, дг в, дг~ (7.24) АУ ЛУ вЂ” ЛУв 2 (дР' Р'1 Система уравнений (7.24) вместе с начальными условиями определяет распространение усиливаемого поля в активной среде. Если поле представляет собой плоскую волну линейной поляризации, распространяющуюся в направлении оси х, то уравнения (7.24) можно представить в скалярном виде д Е з а дЕ 1 д Р' 2~ Е+ дг' е.а е, дг'' (7.25) Практически любой электромагнитный процесс характеризуется спектром частот. Если напряженность поля К и поляризации Р' описываются абсолютно интегрируемыми функциями, то согласно преобразованию Фурье О Е(х, г) = — ) Я(х, со)ени бв, 2я „ Ф Я(х, ез) = ~Е(х, г) е '"' й.
о Аналогичный вид имеют преобразования для поляризации Р'. Введя среднюю частоту спектра «ьь получим О Е(х, г) = — е'"" ) Я(х, сз) ел "" без = Е„, (х, г) е'"е, л где Е„(х,~)= — )Я(х„а)е" "'«йо 1 2л — комплексная амплитуда, изменяющаяся во времени и пространстве. В' общем случае Е„,(х,г) = Е (х, 1)епкьо. 2б9 7.2 Усиление бегущей волны Монохроматическое поле частоты ао определяется выражением Е(х, с) = Е„(х) е~~, где Е (х) — комплексная амплитуда, не зависящая от времени. Излучение в диапазоне СВЧ характеризуется очень узким спектром частот Ьа Ла. Отношение — «! и комплексная амплитуда Е (х, г) медленно изменяао ются во времени по сравнению с е'"ос. Такое поле называется квазимонохроматическим. Излучение в оптическом диапазоне характеризуется достаточно шис!а роким спектром частот сза, однако отношение — «1 и зто излучение также ао можно рассматривать как квазимонохроматическое.
При распространении поля в усиливающей среде изменение амплитуды и фазы волны поля и волны поляризации малы на расстояниях порядка длины волны и за время порядка периода. Поэтому для решения системы (7.25) можно воспользоваться методом медленно меняющихся амплитуд и фаз (П.94) Е = Е (с, х) сов [ас — 7сх+ ср(с, х)) = Е сов Ф, Р' = Р'(г, х)сов[а! - йх + ср(г, х)1 = Р' сов'Р, где Е (с,х), Р'(г,х), ср(г,х), ср(с,х) — медленно меняющиеся во времени и пространстве функции; Ф = ас - lсх+ ср, 'Р = аг — 7сх+ ср, lс = а! и. дЕ дтЕ дгЕ дР дт Р Вычислим производные —, —,, —,, —, —,, пренебрегая вследдг дс' дх' дс дс' ствие малости членами, содержащими вторые производные амплитуд и фаз и произведения их первых производных: дЕ дЕ„( дф~ — = — "совФ вЂ” [ а+ — )Е вшФ, дс дс [.
дс ) д Е дЕ„. с' дср1 —,=-2а — "в!пФ-а[а+2 — )Е совФ, дс' дг [, дс ) д Е дЕ„, . С' дср) —, = 2й — "' в!пФ-!с[!с-2 — )Е, сов Ф, дх' дс дх дР' дР' с' дс!с "с — = — совЧ'-~ а+ — ~Р'в!пЧс, дс дс [, дс ) д'Р" дР: . с дф~ . — = — 2а — вшсР— а[а+ 2 — )Р'совсР. дс' дс дс Подставим полученные значения в (7.25) 270 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
