Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. спектр с повышением частоты не сгущается. В оптическом диапазоне волн используются резонаторы, образуемые системой двух обращенных друг к другу отражающих поверхностей (зеркал). С точки зрения геометрической оптики между системой параллельных зеркал могут существовать пары параллельных, преобразующихся при отражении друг в друга лучей. Этн лучи и определяют собственные колебания резонатора, который эквивалентен одномерной колебательной системе. Под! в этом случае подразумевается расстояние между зеркалами.
Так как резонатор ограничен лишь двумя поверхностями и открыт с других сторон, то его называют открытым. Размеры такого резонатора много больше длины волны, а спектр достаточно разрежен. Открытый резонатор длиной 1 м имеет в 10" раз меньше резонансных частот, чем объемный резонатор такой же длины. Отражающие поверхности могуг представлять собой зеркала (плоские„сферические, параболические), грани призм полного внутреннего отражения или границы сред с различными показателями преломления (рис. 6.2). При этом необходимо иметь поверхности с большим коэффициентом отражения и малыми 241 6.2.
Открытые резонаторы потерями на поглощение. Такие поверхности создаются с помощью диэлектрических покрытий, которые обеспечивают коэффициент отражения более 0,99 на рабочей длине волны. Плоский резонатор. Рассмотрим резонатор, образованный параллельными плоскими бесконечно протяженными зеркалами без по- Рис. 6.3. Плоский резонатор терь (рис. 6.3). В таком резонаторе возможно существование двух плоских однородных волн, распространяющихся от одной отражающей поверхности к другой вдоль оси резонатора навстречу друг другу.
При этом образуются стоячие волны, называемые продольными или аксиальными типами (модами) основного колебания, подчиняющихся условию Х 1=д —, 2 где а — число полуволн, укладывающихся между зеркалами; Х вЂ” длина волны в среде, заполняющей резонатор;! — расстояние между зеркалами. Стоячие волны могут образовываться и при сложениях плоских волн, распространяющихся под некоторым углом О к оси резонатора. Такие стоячие волны называют продольными типами данного поперечного или углового колебания.
Условие их образования согласно (5.5): Хд )~. 1=9 — '=9 —, 2 2 О' (6.21) где Х = Х/соз О определяет вариации поля в направлении оси резонатора. Собственные частоты для продольных типов основного колебания и с Х,=ч — =я —; 21 2п1 (6.22) для продольных типов поперечных колебаний и с А,=ч — =ч 21 соз О 2п1 соз О (6.23) где с — скорость света; и — коэффициент преломления среды, заполняющей резонатор; и = с/и. Для поперечных типов колебаний имеет место вырождение, т, е. одной и той же частоте соответствует множество поперечных типов„отличающихся значением 9 и углом распространения О.
Пусть плоские волны распространяются под углом О в плоскости х~Охз (см. рис. 6.3). Фиксируя частоту основного типа 6. Резонаторы 242 или согласно (6.23) д-1 е,= —. Аналогично для т-го поперечного типа, распространяющегося под углом 0 к оси резонатора, имеем 1;(в=о)= 1;.(О=в„) и согласно (6.23) а-т е. = —.
При т «а, что соответствует поперечным колебаниям, имеющим место в резонаторах с зеркалами конечных размеров, получим; О' в созВ ~1- — ~1 — —, 2 (6.24) отсюда в. -!' — ""' или согласно (6.20) 0 =)~т — (т «а). 1 Аналогичное соотношение получим, рассматривая распространение плоских волн под углом О„в плоскости хзОяз. Х О„=~в- (л«а). При т, и «д углы 0 и Е„принимают дискретные значения, угловое расстояние между соседними поперечными типами АО =)/ — ( /т+1 — ~~т), Г ЬО„= ~ — (1н+1 — 1л) 12, 1 и структура поля на зеркалах неоднородна, имеются периодические вариации поля. колебания 1,' (В = 0), найдем соответствующий зтой частоте первый поперечный тип колебания.
Очевидно, число полуволн для зтого типа должно отличаться на единицу и он будет распространяться под фиксированным углом О= Вп т. е. ,1;(е=о) = 1:.,(0=0,) 243 6.2. Открытые резонаторы Расстояние по частоте между соседними продольными типами основного н поперечных колебаний одинаково н согласно (6.22) н (6.23) с учетом (6.24) Для малых т н и углы О и О„малы и поле поперечных типов можно считать имеющим структуру поперечной электромагнитной волны (Т-волны), характеризующуюся определенным числом полуволн о, укладывающихся на длине резонатора, и числами т и п, определяющими направление распространения волн в резонаторе. Соответствующий тип колебаний определяется как Т Открытый резонатор с параллельными плоскими зеркалами конечных размеров можно рассматривать как волновод, образованный параллельными плоскостями, в которых распространяется волна прн частоте, лишь немного ббльшей критической.
Такая волна, подходя к краям волновода, не излучается, а с коэффициентом отражения, близким по модулю к единице, отражается обратно. Поле пассивного резонатора определяется однородными уравнениями Гельмгольца ЛК+И'К=О, ЛН+/г1Н = О. В декартовой системе координат скалярные волновые уравнения для составляющих поля имеют тот же внд: Ли+А~и=О, (6.25) где под функцией и подразумевается любая из составляющих Е„Е„Н, или Н,.
Составляющие поля находят нз решения этого уравнения и выполнения граничных условий. Однако точно решить волновое уравнение из-за дифракцни не представляется возможным н от уравнения (6.25) переходят к параболическому уравнению, представляющему собой уравнение второго порядка, в котором отсутствует по крайней мере одна нз вторых производных. Решение волнового уравнения (6.25) приближенно представляют в виде и ищ(хн хэви хз)е (6.26) при этом поле в резонаторе можно представить как суперпознцню двух волн вида (6.26), бегущих в противоположные стороны.
В выражении (6.26) множитель е '~'быстро изменяется в направлении оси хь а и„(х„х,, хз) медленно изменяется в поперечном направленнн (поперечная диффузия поля) и еще медленнее в продольном. Функция и (х„х„х,) характеризует отличие поля в резонаторе от плоской волны: неоднородность поля в поперечном направлении, изменение сечения луча прн распространении, кривизну фазового фронта. Подставляя 244 6. Резонаторы (6.26) в (6.25) и опуская вследствие малод'и сти член ", получаем параболическое дх' з уравнение д и„ д~и . дг~„ — з" + —, — 2д(' —" = О.
(6.27) дх, ~'т дх, О г Возможное решение (6.27) для основРис. 6.4. Поперечное распределение ного типа колебания имеет вид: амплитуды поля основного типа ко- („~ ~' „21 лебания где г =х, + х, — Расстоиние от оси; Р = Р(хз) — комплексныи паРаметР, ха- 1 рактеризующий изменение амплитуды и фазы поля при распространении вдоль оси хз( д = д(х,) — комплексный параметр, характеризующий распределение интенсивности по координате г и кривизну волнового фронта, который вблизи оси является сферическим. Параметр д можно определить выражением 1 1 .
Ъ .1 й 2' бд — =1, г(хз бр 1 (6.30) (6.31) ох <~Ч йхз Интегрируя уравнение (6.30), получаем соотношение Чз =% +'-хз» (6.32) связывающее комплексные параметры д, соответствующие любым поперечным сечениям 1 и 2, отстоящим друг от друга на расстоянии Ьхз. Распределение интенсивности в любой поперечной плоскости является гауссовым и изменяется вдоль оси хь Гауссов пучок стягивается к минимальному При подстановке (6.29) в (6.28) видно, что М = Я(х,) — радиус кривизны волнового фронта в точке пересечения с осью хи а и =и(х,) определяет уменьшение амплитуды поля Е с увеличением расстояния от оси хз. Распределение поля в поперечной плоскости подчиняется закону Гаусса (рис. 6.4) и м определяется расстоянием, на котором амплитуда поля в е раз меньше, чем на оси.
Параметр и обычно называют радиусом пучка, 2и — диаметром пучка. Подставляя (6.28) в (6.27) и приравнивая члены с г в одинаковой степени, получаем: 245 6.2, Открытые резонаторы диаметру 2ио в сечении, где фазовый фронт плоский (Я = оо, «горловина»), Согласно (6,29) параметр до, соответствующий этому сечению, равен . лмо Чо =2 Х (6.33) Если хз отсчитывать от этой плоскости, то на расстоянии хз согласно (6.32) и (6.33) лзоо Ч(хз) = Чо + хз = 2 + хз. Х (6.34) Согласно (6.29) и (6.34) 1 1, Х ,/ з х +2 з ли'о 2 х — з— 3 )„1 Х Я(хз)=хз 1+ — ' (6.35) и' (хз) = и'о 1+ з (6.36) где расстояние хз отсчитывается от «горловины». На рис.
6,5 показано расширение пучка, определяемое уравнением (6.36). Образующая пучка представляет гиперкз болу с асимптотами, наклоненными к оси под углом О= —. в лзоо Этот угол равен дифракционному в дальней зоне для волны основного типа. Параметр р, определяющий решение (6.28), найдем из уравнения (6.31), под- Рис. 6.5. Продольное распределение ставив в него (6.34): поля осиовиоготипа колебания Приравнивая действительные и мнимые члены правой и левой частей этого уравнения, получаем: 6. Резонаторы 246 х,+ з — ' Проинтегрировав это уравнение„ получим з зр(х ) !и 1 ) 1п 1+ загс!8 Действительная часть р Ххз Ке р = <р = агсг8 — з язоо (6.37) определяет разность фаз между гауссовым пучком и идеальной плоской волной. Мнимая часть р с учетом (6.36) ар=!и !+~ — з! =!и— )"хз кзоо и'о (6.38) и так как то (6.38) определяет амплитудный множитель зоо/зо, характеризующий уменьшение амплитуды на оси из-за расширения пучка.
С учетом полученных соотношений (6.37), (6.38), (6.29) и выражения (6.28) решение (6.26) для основного типа колебаний с гауссовским распределением поля в поперечном сечении имеет вид: — < — ' — '1 и„= — е ..е и'а . з" Гг. -лз*з-Ы (6.39) Другие возможные решения волнового уравнения (6.25) представляют поперечные типы колебаний, при конечных размерах зеркал характеризуемые несколькими вариациями поля в поперечном направлении.
Собственные типы колебаний открытого резонатора, часто называемые модами, характеризуются определенным распределением амплитуд и фаз по поверхности зеркала. Запаздывание фазы у краев зеркала по сравнению с центром соответствует долям длины волны. В то же время по любому поперечному размеру прямоугольного зеркала или диаметру круглого зеркала укладывается множество длин волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
