Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Этим уравнением является дифференциальное уравнение Риккати 11(11+ 1) (й') При Ь -+ о, в'-+ О получаем в" -++у, т.е. волна распространяется как плоская в радиальном направлении с постоянной распространения й = хй С учетом изложенного «постоянная» распространения собственного типа волны Ф," определяется как где (Ь)„, =,/Чй+ 1). Подставляя выражение (5.63) с учетом (5.65) в соотношения (5.57) и (5.58), получим компоненты электромагнитного поля в рассматриваемых волноводах. При известных выражениях для компонент поля можно найти волновое сопротивление каждого типа волны, определяемое как отношение полной поперечной составляющей вектора напряженности электрического поля к полной поперечной составляющей вектора напряженности магнитного поля.
Для Е „и Н „типов волн соответственно получим 5.8. Неоднородные волноводы 217 (5.67) Так как /с" зависит от г, то слово «постоянная» взято в кавычки. Тогда выражения для волновых сопротивлений собственных типов волн (5.66) принимают вид: У,в =-Уф;//с, У,„=Я,Ф//г,". (5.68) Из выражений (5.65) и (5.67) видно, что 8~» величина мнимая при Ь.
< (Ь ) и характеризует коэффициент затухания волны соответствующего типа. Прн Ь > (Ь ) величина /свч комплексная, действительная часть которой Ке/г"— фазовая «постоянная», а мнимая 1тА" — коэффициент затухания. Волновое сопротивление является комплексной величиной, реактивная составляющая которого на критическом сечении претерпевает скачок. При Ь -+ с 1" =/с, У»в = Л,л = У,, а при (Ь)„р — ь со Следует отметить, что в коаксиальном коническом и биконическом волноводах основным типом является Т-волна, для которой критическое сечение отсутствует и она может распространяться от любого конечного г.
Фазовая скорость ое и длина волны в системе Л собственного ~)-го типа волны определяются соответственно формулами о = =с1Ьл"'(/ )~, Ф Ке/гч ч о (5.69) Л 2п Ч „()( „)!2 Ке/о" (5.70) где с — скорость света. При выводе этих формул использовалось выражение (5.67) и верхняя строка в формуле (5.65). Энергетические характеристики собственных сферических волн неоднородных волноводов. Из выражений для составляющих поля (5.57) и (5.58) с учетом соотношений (5.63) и (5.64) следует„что для каждого собственного Е „ типа волны поперечный вектор напряженности магнитного поля Н~ =е,Н~ +е„Н" на собственном критическом сечении непрерывен, а поперечный вектор напря- женности электрического поля 5.
Волноводы 218 Е~ =езЕз+е.Е„" претерпевает разрыв, определяющий эквивалентный магнитный поверхностный ток плотностью Л„" = — (е„, гййпЕД, (5.71) где яйпЕ" = Е"' — Š— сигнатура поперечного вектора напряженности электрического поля на собственном критическом сечении; верхний индекс (+) означает, что Е" берется при Ь = (Ь ) со стороны Ь > (Ь )„р, а индекс ( — ) — со стороны Ь ~ (яг)„, индекс ч означает пару индексов тл для Е „типов волн, Для каждой Н „-волны вектор Н" претерпевает разрыв на собственном критическом сечении, определяя эквивалентный электрический поверхностный ток плотностью Л„' = (е„з18п Н" ], (5.72) здесь индекс р означает пару индексов тл для Н„„типов волн. При этом вектор Е" на собственном критическом сечении непрерывен.
Таким образом, собственные волны рассматриваемых волноводов содержат вторичные источники в виде эквивалентных поверхностных токов (5.71) и (5.72) на собственных критических сечениях. Следует отметить, что поверхностные электрические и магнитные токи вводятся как эквивалентные всякий раз, когда рассматриваемое электромагнитное поле претерпевает разрыв на некоторой поверхности Я. Тем самым создается возможность и поверхностные токи задавать не явным образом, а в виде значений скачка тангенциальных компонент Еь или Нь на какой-либо поверхности.
В общем случае наличие источника электромагнитного поля в свободном пространстве можно установить по характерному разрыву непрерывности поля, или сигнатуре. Эти разрывы, накладывающиеся на решение уравнений Максвелла, можно считать факторами, создающими поля излучения. В данном случае поверхностью, на которой происходит скачок соответствующей тангенциальной составляющей поля, является критическое сечение (Ь ) = ~/ц(ц + 1). Таким образом, физический процесс образования эквивалентного электрического и магнитного токов на критическом сечении — разрыв соответствующего тангенциального поля. Следуя н далее принципу эквивалентности, будем рассматривать собственный сферический лист эквивалентного магнитного тока на критическом сечении как источник Е „типа волны, а собственный сферический лист эквивалентного электрического тока — как источник Н „типа волны.
Воспользовавшись теоремой Умова — Пойнтинга в комплексной форме для каждого собственного типа волны, получим: 5.8. Неоднородные волноводы 219 з ~ ( ° ) дЯч = /2со(Ий — Ие)+ — ](Ен~, Н~н']е, дЯ, (5.73) Я в„ где йгй и И'" — средние за период значения запасенных магнитной и электрической энергий собственной волны в объеме г', ограниченном поверхностью Я; дЯ =(яг)' зш9дад9, до=г'з(п9дад9. В левой части выражения (5.73) стоят члены, которые определяют мощность, отдаваемую эквивалентным источником ц-го типа волны. Выражения, стоящие в правой части, показывают, куда расходуется энергия источника. Первый член в правой части определяет реактивную мощность, накапливаемую в данном объеме, второй член — мощность, излучаемую через поверхность Я (он является комплексным, как и левая часть выражения (5.73)).
Действительные части этих выражений равны и определяют излученную мощность. Р" = Ке —,", до = Ке- ]1Е", Н ]е„дБ. (5.74) Подставляя выражения (5.57), (5.58), (5.63), (5.65), (5.71), (5.72) в (5.74), получим Ре ~4 Зч((7гг) ]> 1 з7г .г г," 1~8~з|г~ з((~ ) 2 (5.75) Выражение (5.74) отражает известный факт: излучаемая мощность может быть рассчитана либо методом наведенных ЭДС или МДС (первый интеграл в (5.74)), либо методом вектора Пойнтинга (второй интеграл в (5.74)).
Оба метода дают один и тот же результат (5.75). Следовательно, критические сечения неоднородных волноводов со сферическими направляемыми волнами можно рассматривать как излучающие поверхности с распределением эквивалентных плотностей токов, определяемых выражениями (5.71), (5.72). Конический волновод. В сферической системе координат с началом в вершине конуса и углом раствора 27 конический волновод представлен схематически на рис. 5.21, а. Потенциалы У и )г в этом случае определяются выражением (5.63), в котором ~ь„"(сов 9)= Р,",(соя 9), где и = О, 1, 2,....
Компоненты поля определяются выражениями (5.57) и (5.58). Удовлетворение граничных условий на внутренней идеально проводящей поверхности конуса Е„'~ = О и Е„"~, = О приводит к уравнениям для определее а-г а,в ния собственных значений ч для Е „типов волн и р для Н „типов волн 5. Волноводы 220 Р„"'(сову) = О; — Р„"(соя Э) = О.
(5.76) дЭ" з., Нахождение корней этих уравнений при нецелых значениях ч и 1г представляет сложную математическую проблему. Поэтому при решении прикладных задач технической злектродинамики и антенн широко используется аппроксимация сферических присоединенных функций Лежандра Р„"(созЭ) цилиндрическими функциями Бесселя первого рода иго порядка вида Р„(соз9) ~,У (ЭзЯч+1)). Тогда уравнения (5.76) принимают вид: ,У (у,Яч+1)).,У' (Э Яр+1))( =О, (5.77) 0 30 60 90 Рис. 5.23.
Зависимость собственных значений для нескольких первых типов волн от угла 7 где штрих означает производную по всему аргументу. Обозначая корни первого уравнения через А„,„, а корни второго уравнения через В „, получим формулы для расчета собственных значений При известных собственных значениях и собственных критических сечениях все соотношения и формулы для параметров конического волновода, полученные выше, принимают конкретный вид. Коакснальный копическнй и биионический волиоводы. В сферической системе координат с началом в вершинах конусов коаксиальный конический и биконический волноводы схематически представлены на рис. 5.21, б, в. Если в биконическом волноводе обозначить 7 = уь 7, = я — у„то фактически рассматривается одна и та же злектродинамическая структура, Основная низшая волна Т и ее волновые параметры обсуждались выше.
Рассмотрим высшие типы волн. Выражения для потенциалов (У и К имеют вид (5.63), где Х„(соя Э) = Р„(соя Э)+ СД„(созЭ), где т = О, 1, 2,.... Компоненты поля определяются выражениями (5.57) и (5.58). Удовлетворение граничным условиям на идеально проводящих поверхностях Зависимость собственных значений для нескольких первых типов волн от угла 7 представлена на рис 5.23. Последовательность возбуждения типов волн совпадает с последовательностью их возбуждения в круглом волноводе. Основным типом волны является Нп, а ближайшим к нему — Ель Однако следует иметь в виду, что в коническом волноводе волны сферические и каждый последующий тип волны распространяется со своего критического сечения (Уо') = Яч +Ъ = А,/7' (Уо')' = ~/р(р+1) = В,/7.
5.8. Неоднородные волноводы 221 конусов Е„"~ = О, Ея~ = О приводит к характеристическим уравнениям Э У> У2 Э У> У2 для определения собственных значений 2, рэ Р» (С0572)0» (СО571) — Р» (СО57!Я» (СО572) = О> > Ря (с0572)Я, (с057~) — Ря (с0572)Д (со572) = О, (5.78) где штрих означает производную по углу 9. Поскольку получить аналитические выражения для корней этих уравнений не представляется возможным, Обычно в литературе приводятся результаты численных исследований и представляются графические зависимости 22 и р от разности углов 72 — уг Анализ этих зависимостей показывает, что волны типа Н 2 ведут себя как и аналогичные волны в регулярном коаксиальном волноводе: с уменьшением разности углов 7, — 72 их собственные значения монотонно уменьшаются, что приводит к уменьшению расстояния от вершины конусов до собственного критического сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
