Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Скорость распространения электромагнитного поля определяется как скорость распространения электромагнитной энергии и в установившемся режиме совпадает с групповой скоростью о,е, которая меньше скорости света. Интерпретация неоднородной волны, распространяющейся между параллельными плоскостями в виде суммы двух однородных плоских волн, позволяет объяснить отличие Л от Х и ое от о. На рис. 5.10 гребни плоских однородных волн представлены одной сплошной линией, впадины.— . - ф двумя. Там, где встречаются гребни или впадины обеих е ! е волн, образуются соответственно гребни и впадины Ф,~~ с~ результирующей волны. Расстояние между соседними ее мк гребнями или впадинами определяет длину результи- га ~ г~~ рующей волны Л.
Из рисунка очевидно, что ~<Ф 'ее 'О Ф к Л= —. ~с я)пО Ъ На рис. 5.11 сплошными линиями показано поло- Рис. 5,11. К опредеяежение гребней составляющих волн в момент гь пунк- ниюоь 5. Волноводы 186 тирной линией — положение гребней тех же волн в момент й + Лг. Гребень каждой из волн перемещается со скоростью о. В точке пересечения гребней составляющих волн расположен гребень результирующей волны. Точка пересечения гребней перемещается быстрее, чем гребень составляющей волны Ы Л1 г пф .
э пф~~~ Лг ' Лгз1п О То, что и < и, легко объясняется тем, что каждая составляющая плоская волна бежит со скоростью и по зигзагообразному пути, в направлении оси хи сигнал за то же время проходит более короткий путь. Таким образом, о„< м Е„-волны. В случае вертикальной поляризации между пластинами распространяется неоднородная волна с продольной электрической составляющей. Зависимость Фо, ое, и, и Л от частоты определяется как для Н-волны формулами (5.о) — (5.11), а волновое сопротивление системы определяется выражением ~ок = = =~о 1 =~о Заметим, что г хох он ~о ° Т-волпа. Между параллельнымн плоскостями может распространяться н однородная плоская волна. Действительно, если плоская однородная волна распространяется в свободном пространстве в направлении оси хи то Н =еН„е' ', Е„=е,Е е '~'.
Если внести две идеально проводящие плоскости, перпендикулярные оси х2 и отстоящие друг от друга на любое расстояние о(, то поле не изменяется, так как граничные условия удовлетворяются. Поле имеет только поперечные составляющие Е и Н. Волна распространяется между параллельными плоскостями так же, как в свободном пространстве. Таким образом, между параллельными плоскостями могут распространяться следующие виды волн: 1. Продольная составляющая Е отсутствует, существует продольная составляющая Н, электрическая составляющая находится в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Такая волна называется Н-волной.
5.3. Прямоугольный волновод. Н -волны 187 2. Продольная составляющая Н отсутствует, существует продольная составляющая Е, магнитная составляющая Н находится в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Такая волна называется Е-волной. 3. Продольные составляющие Н и Е отсутствуют, составляющие Н и Е находятся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Такая волна называется Т-волной. Т-волна представляет волну, постоянная распространения которой lг, а, значит, и ее фазовая скорость, не зависят от геометрии направляющей системы, т.
е. от расстояния в1 между параллельными плоскостями. В технике для передачи энергии используют ленточные линии, представляющие длинные конечной ширины металлические ленты. Прн достаточной ширине этих лент поле между ними, если пренебречь краевым эффектом, совпадает с полем, распространяющимся между бесконечными параллельными идеально проводящими плоскостями. 5.3. Прямоугольный волновод. Н~„-волны Структуру электромагнитного поля в прямоугольном волноводе можно определить с помощью уже исследованного поля между параллельными плоскостями.
Действительно, систему, состоящую из двух параллельных идеально проводящих плоскостей (см. рис. 5.7), между которыми распространяется Н-волна, описываемая уравнениями (5.1) и (5,4), можно дополнить двумя другими параллельными идеально проводящими плоскостями, перпендикулярными первым двум и параллельными плоскости х10хь Прк этом вектор Е будет перпендикулярен этим дополнительным плоскостям, и, следовательно, граничное условие Е, = О будет удовлетворено при любом расстоянии между дополнительными плоскостями.
Таким образом, мы перешли к прямоугольному волноводу с Н- волной. В прямоугольном волноводе может распространяться и Е-волна, однако в этом случае граничное условие Е, = О удовлетворяется на дополнительных плоскостях только при определенных расстояниях между ними. Т-волна вследствие невыполнимости граничного условия Е, = О при любом расстоянии между дополнительными плоскостями распространяться не может, ! хг ! Рассмотрим прямоугольный волновод, широ! ! кая стенка которого имеет размер а и направлена по оси хь узкая — размером Ь направлена по оси хь В этом случае направление распространения поля совпадает с осью хз (рис. 5 12). а Х! Предполагаем, что волновод заполнен средой хз без потерь с параметрами в, и р,. Так как стенки Рис. Е12. Прямоугольный выполнены из хорошо проводящего материала, то волновод 188 5.
Волноводы с большой точностью выполняется условие (4.52) и (4.53), т. е. стенки волновода можно считать идеально проводящими. Исследуем поле Н-волны. В этом случае имеется продольная составляющая Н, Ез = О. Волна распространяется в направлении оси хз, множитель распространения е "'" . Волновое уравнение для составляющей Н з имеет вид ЛНы + 102Ню — — 0 или д'Н д'Н юЗ + аЗ +((2 1,2)Н Зд20вЗ (5.13) 1 Вследствие необходимости удовлетворения граничных условий на стенках волновода очевидно, что решение этого уравнения будет иметь вид Н.з =Н,з(х„х,)е ''*'.
Согласно методу Фурье — методу разделения переменных представим это решение в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной переменной Н, =Х,(х,)Х,(х,)е ""' =Х,ХЗе "'*'. Подставляя это выражение в уравнение (5.13) и разделив на произведение Х,ХЗ е !20", получим б'Х! 1 б Х2 2 ° 2 + — =-(10 110)= Х 0 Х! Дх! Х2 Дх2 где у не зависит от переменных хь х2. Такое равенство возможно, если каждое 2 из слагаемых от этих переменных не зависит, т, е.
11Х! 2 1 ~'~2 2 2 Х!~ 2 ХЗ~ Х, 1)х!' Х, дх, где Х! +ХЗ =Х 2 2 2 Полученные уравнения представляют дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решения можно представить в следующем виде: Х, =АсозХх, +ВяпХх„ Х, = С сов Х,х, + Ряп Х,х„ т. е Нв, =(АсозХ,х, +ВяпХ,х,)(СсозХ,х, +РзшХ,х,)е "~', (5.14) где А, В, С, .О, у„у, — постоянные интегрирования, которые необходимо оп- ределить. 5.3. Прямоугольный волновод. Н „-волны 189 Остальные составляющие поля найдем из уравнений Максвелла гогН = 5ав,Е, го1Е„= -5аН,Н .
а Учитывая, что — =-фв и Е„, = О, получим хз дН»»»з + »'"ОН»»г .»аааЕю» дхг дН з — '+АНм~ =-Фа.Е г 1 (5.15) (5.!б) ан., ан., дх, дх, а На Е =- — Н »ьг 7 л» о (5.17) аНь Ев! = ~ Кюг» о (5.18) дЕнг дЕ„,, — — " =-5аН Н з. Подставляя (5.17) в (5.16), получим М. дН.з ы г дх, (5.19) Согласно (5.18) и (5.15) фо дН з и»»» г= Х г (5.20) 5аН. аН. ЛН.Х „ Х' дх1 Х' х(-Аз!п Х,х, + ВсозХ,х,)(С сов Хгхг + 1зз!пХгх )е Л~'. Удовлетворяя граничным условиям на стенках волновода, определим постоянные интегрирования А, В, С, Ег, у„у,. На границе диэлектрик — проводник Е, = О. Это условие можно написать в виде: 1)Е,=О прих,=О их,=а, 2) Е„, = 0 при хг = 0 и хг = Ь.
Согласно (5.17), (5.19) и (5.14) 5. Волловоды 190 При х, =О В(СсовХ,х, +Рв(пХ,х,)е "~' =О. Выражение в скобках, в котором хз произвольно, ие равно нулю, следовательно В = О. При х, =а — АяпХ,а(СсовХзх +Рв(пХзхз)е '" =О. Здесь А ~ О, так как в противном случае не было бы изменения поля вдоль оси хь а зто невозможно при наличии боковых металлических стенок. Очевидно япу,а = 0 или Х,а=тк, где т — целое число. Отсюда тя Х = —.
Согласно (5.13), (5.20) и (5.14) Е„,д — — —,' "' — --,' 'АсовХ,х,( — СЯпХзхз+РсовХ,х,)е 'о"з. Х 2 Х При х, =0 Асов Х,х,Р = О. Отсюда Р=О, С~О. При х, =Ь АсовХ,х,Сяпу,Ь = О. Отсюда япХ,Ь=О или ля Хз = Ь где п — целое число. Окончательно имеем (обозначив АС = Н) 5.3. Прямоугольный волновод. Н „-волны 191 Н, =НсовХ,х,совХ,х,е "'*', Н„, = —,НвшХх,совХ,х,е ""', МОХ! -!А ! Х Н, = —,НсовХ,»,в2пХ,»,е а' ОХ2 -даа! Х (5.21) Е„, = — НсовХ,х, вшу2х2 е )езпаХ2 -д~ ! Х Е„, = —,Нв)пХ!х!совХ,»,е У~)2аХ! ' 22аа3 Х / тя ик 2 тк~ ия~ Здесь Х, = †, Х2 = †, Х = ~ †) +~ — !, т = О, 1, 2, 3,..., и = О, 1, 2, 3,...
но одновременно т и и не могут равняться нулю, так как согласно выражениям (5,21) электромагнитное поле будет равно нулю. Полученные формулы определяют поле Н,„в прямоугольном волноводе. Решения (5.21) возможны лишь для определенных значений Х, и Х,, при которых удовлетворяются граничные условия. Эти значения называются собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями. Решение, выраженное уравнениями (5.21), представляет частное решение для одного значения т и одного значения и. Общее решение в векторной форме можно представить в виде ,'1 Е„„+Н „, а,а О С другой стороны, согласно (5.8) = ГЖ~' т. е.
поле в волноводе в самом общем случае является суперпозицией полей, соответствующих всем возможным собственным значениям. Каждому собственному колебанию Н „соответствует своя постоянная распространения /сО „. В дальнейшем там, где это не будет вызывать недоразумений, индексы т, и будем опускать. Волна Н,„„будет распространяться, если соответствующая ей постоянная распространения »О — вещественная 5. Волловоды 192 т. е. (5.22) ' й~'Т Критическая частота (5.23) где и — скорость в среде, заполняющей волновод.
Из полученных формул (5.22) и (5.23) следует, что Х„, для данного типа волны определяется только геометрическими размерами волновода, в то время как критическая частота зависит и от параметров среды, заполняющей водовод. Если длина волны в свободном пространстве с параметрами среды, заполняющей волновод А < Хч„или частота ~ > ~„р, то волна распространяется по волноводу. В противном случае (Х > Х„р) она затухает на небольшом отрезке длины волновода. Числа и и п в уравнениях (5.21) определяют число полуволновых вариаций поля по соответствующим осям х~ и хр и служат для обозначения типа волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
