Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 25
Текст из файла (страница 25)
154 4 Электромагнитное поле в ограниченных средах Магнитная составляющая поля удвоенной частоты во второй среде определяется выражением го(Е <,)(2а) Н <2)(2в)=7' 2вИэ Е' (2а) оо(2)»...,, -и<И(в)[ргев9(2в)+огссоЭ(2оо)) + 292(2а) + " [е соз9„(2в)-е з[п9 (2а)]х Р„, (2<о) 2„(в.,(а)-в.,( )) ' хе -Др(2ш)[ргяр Э< (2ш)+ог сор зр(2в)) (4.24) На границе раздела сред согласно (2.18) выполняются условия Е,<,)(2а) = Е,„,(2а), Н«<)(2а) = Н„(2)(2а). Так как граничные условия удовлетворяются в любой момент времени, то отсюда следует, что в первой среде существует «отраженная» волна второй гармоники. Поле «отраженной» волны второй гармоники описывается выражением Л2во-Эо(2в)[огяпВе(2оо)+хе порее(2в)П (4.25) о о,« ) = »<о",<г )р, — р р и» ~ о е,<г )— угол отражения. Найдем магнитную составляющую поля «отраженной» волны второй гармоники )'го(Е (2а) 9(2в)— 2арэ Е (2<9) ,э( (е соз8 (2а) — е з[п8 (2а)) «гв'-ге<)в)[ г пэо(гв)огг 9,<гв)П (42б) На границе раздела (х) = 0) из условия непрерывности касательных составляющих электрического поля согласно выражениям (4.23) и (4.25) для второй гармоники получим Ео (2 ) -)Э<г)(2в)ояВ(гв)ог я(2)» ) -Згр(2ш)япЭр(2в)ог Р (2а) я(2) а)Е вр,(э)) — арг(2в) (2 ) -)Эо(гв)япео(гв).
г — э( <ее (4.27) Так как граничные условия выполняются в любой точке границы раздела, то равенство (4.27) выполняется при любом хг, если )<<2) (2а)з[п 9(2в) = 7(р(2в) з[п 9р(2а) = /<э(2а)з[п 89(2а), 4 1 Наклонное падение электромагнитной волны 155 а так как Фр(2в)яп Эр(2в) = 21с<,>(о>) ял 3 = 21с<„(в) яп О, 2)с<, (в)яп8=1с (2в)япЗр(2в)=Ус<~>(2в)яп9(2в)=А,(2в)япО~(2в), (4.2В) где й„(2 )=2(<,>( ), й<,>(2 )-2 ! „() )о„ ж,(2 ) = 2+ ) „(2 )о,. ! Исходя из (4.2В), получаем выражения, представляющие модифицированные законы Снеллиуса 21с<,>(в), в, (в) зшЗ(2в)= ' яп8= 1 ' зшО, Iс<з>(2в) вз(2в) з(пЭр(2в)= яп8= / — 'з(пО, 21с,>(в) а,(в) 1ср (2в) 1/ аз (в>) япОо(2в) = ~ ' япО. в,(в) 'т' а) (2в) (4.29) Таким образом, в общем случае направление распространения волны второй гармоники в нелинейной среде Е<з>(2в) отличается от совпадающих направлений распространения преломленной волны основной частоты Е<„(в) н волны нелинейной поляризации Р<,>(2в); 0(гв) Ео(2в) направление распространения «отраженной» Ео((о) волны второй гармоники Е,(2в), возни- 0 г)инеднвя среде кающей в первой (линейной) среде, не совОо 0 (2в) падает с направлением распространения отраженной волны основной частоты Ео(в) и Нелонеднвя (рис.
4.5). среде Направление распространения поля вто- 9(2в) Е(о)(о)), Р(о)(гв) рой гармоники в линейной и нелинейной Еа>(2в) сРелах зависит от их ДиспеРсионных Рис. 4.5. Наклонное падение на грасвойств. нину с нелинейной средой 4. Электромагнитное поле е ограниченных средах 156 вш 9(2«г) = в)пО ~/в (2ег) япО в1п 9,,(2»г) = — =, с(вг(ог) в1пО,(2ш) = в(пО, (4.30) т. е. «отраженная» волна второй гармоники Е,(2»г) в вакууме распространяется в том же направлении, что и отраженная волна основной частоты Ее(ег). Волна нелинейной поляризации Р<г>(2«г) в нелинейной среде распространяется в том же направлении, что и преломленная волна поля основной частоты Е (ег). Но направление распространения волны второй гармоники поля Е<г>(2«г) в общем случае, когда вг(2ег) ~ вг(ег), не совпадает с направлением распространения Е<гг(ег) и лишь в случае вг(2»г) = вг(ог) или нормального падения направления распространения этих волн совпадают.
Соотношения между амплитудами волн вторых гармоник также получаются из граничных условий (2 18) Е,<л(2а) = Е,<г1(2«г), Н,<л(2в) = Н,<,>(2а) или согласно (427) и выражениям (4.23) — (4.26), (4.20) и (4.21) 4 г (2«г) ч<е )гов«Хг(2<»)ре (сг) Ег ( ) 4вг(2<о)Е„<г>(2аг) сов 9(2«г) +,/вД2а)Е„»(2ег) сов О(2ег) = 4«г 1<овоХг(2ег)~/вг(ег)~ е(ег) Ег г Е„(ег) сов 9, 41<<и(<о) — 1<<гг(2<с) (4.31) (4.32) где О(2«г) = я - О~(2«г).
Решая эти уравнения совместно, получаем выражения для амплитуд «отраженной» и «преломленной» волн второй гармоники: (2«г) Ег (сг) Хг(2ег)Рв (сг) вг(ег) — вг(2сг) ,/вг (2«г) сов 9(2ег) — ~/вг(ег) сов 9 х (4.33) в,(2ег) сов 9(2ег) +,/в,(2а) сов О(2«г) Если первая среда — вакуум (линейная недиспергирующая среда), то согласно (4.29) получим 4 1 Наклонное падение электромагнитной волны 157 2 Е2( ) Хг(2а)рг. (а) х ег(а) — зг(2сО) ,/в, (с>) соя 9(а) — з/з, (2(В) соя 6(2а) х > о/в, (2в) сов 9(2(о) +,/з) (2а) сов 9(2а) которые представляют собой модифицированные формулы Френеля для поля горизонтальной поляризации.
Умножая числитель и знаменатель выражения (4.33) на,/з,(2а) сов 9(2а) + + ~/ег(с>) сов 9 с учетом законов преломления (4.8) и (4.29), получаем: Е,(2а) = Е'(а) Хг(2а)ре (а) Ь/зг(2а) соз9(2а)+>/зг(а) соз9][~~,~2а) соз9(2а)+>/е,(2а) соз9(2а)] Таким образом, амплитуда «отраженной» волны практически не зависит от рассогласования фазовых скоростей волн, распространяющихся в нелинейном диэлектрике «Отраженное» поле второй гармоники определяется поверхност- ным слоем нелинейной среды толщиной порядка длины волны Так как преобра- зование энергии на границе мапо, реакцией поверхностного слоя на падающую волну можно пренебречь и амплитуду падающей волны можно считать постоянной.
Полное поле второй гармоники в нелинейной среде определяется выраже- нием (4.23). Согласно (4.29) ]с р (2а)г — ]с(2) (2а)г = — хг [~/е2(а) сов 9р (2с)) —,/в 2 (2е>) соз 9(2а)], 2а с следовательно, с учетом (4.31) выражение (4.23) можно представить в виде Ра(2) (2а) Е(2)(2а) =е, Е„,(2а)+ х Ва2 (а) Ва2 (2а) 2и -) — «г(,(аг(а) оо>зр(га).,/а~(2а) ао>В(2ая х[е -11). хе г(га>-2(г)(га)(аг»о В(га)оп>о>В(2аЯ) Для значений хг, удовлетворяющих условию — х, [1/в, (а) соз Эр(2а) — о/з2 (2а) соз 9(2а)] «1 2а с согласно приближенной формуле е ' ы1-х, получаем Р (2)(2с>) 2а Е(2)(2а) =е) Е В(2а) — > — х, х Ваг(а) Заг(2С>) С х ~с/вг(а) соз 9р(2а) — з/вг(2а) соз 9(2С>)][е' 158 4.
Электромагнитное поле е ограниченных средах Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на ~/в, (в) соз 9р(2в) +,/вД2а) соя 9(2в) и учтем выражение (4.29): Р(п(2 ) — х, 2а а,с Е( ~(2а)=е, Е (2а) ~/аДа) соз9р(2в) + чег(2а) соз9(2а) „~(2ы-ь(п(ь Н( (4.35) Таким образом, начальная амплитуда «преломленной» волны второй гармоники (при хз = 0) равна амплитуде «отраженной» волны; составляющая, зависящая от нелинейной поляризации, возрастает пропорционально расстоянию х, от границы при согласовании фазовых скоростей или при согласовании нормальных составляющих скоростей: Д(2а) соя 9(2в) =,/в2(а) соз9р(2в), (4.3б) так как касательные составляющие согласованы в силу граничных условий.
Соотношение (4.36) выполняется при ~/в2(2в) = Д(а), соя 9(2а) = соз 9р(2в), т. е. при условии волнового сннхронизма 1(р(2в) = 1((п(2в). Так как практически все среды обладают дисперсией и з2(а) ~ з2(2в), то согласование возможно лишь в анизотропных средах с двойным лучепреломлением. Если условия волнового синхронизма не выполнены, то амплитуда напряженности поля будет осциллировать с изменением хз.
Расстояние 1 между соседними максимумами напряженности поля определяется из условия 1 — [~~~Да) соя 9р(2а) — Д (2в) соя 9(2а)1 = 2к. 2а с Это расстояние соответствует удвоенной длине когерентности. «Преломленная» волна второй гармоники представляет собой неоднородную плоскую волну. Плоскости равных амплитуд не совпадают с плоскостями равных фаз, параллельны поверхности раздела и определяются выражением х, =сопзк Амплитуда напряженности поля «преломленной» волны второй гармоники во много раз больше амплитуды напряженности поля «отраженной» волны второй гармоники, так как в создании поля «отраженной» волны участвует лишь поверхностный слой нелинейной среды толщиной порядка длины волны„а в 159 4.2.
Полное прохождение поля при наклонном падении 4.2. Полное прохождение электромагнитного поля при наклонном падении на границу линейных сред без потерь. Угол Брюстера В случае горизонтальной поляризации отраженная волна отсутствует, если Г = О илн согласно формулам френеля (4.13) У„сов 0 - Ящ сов 9 = О. Учитывая закон преломления Снеллиуса, (,2 ~м сов 0 ~ю( О) 2 (2) или / -р/ н /нг )( /р (4.37) Таким образом, в случае сред без потерь для полного прохождения волны необходимо направлять ее под углом, определяемым выражением (4.37).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
