Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Из условия непрерывности тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на границе двух сред, т. е. ЕхПЗ - — Ех<2> пРи хз = О с учетом выражений (4.!), (4.2) и (4.3), получим 4. Электромагнитное поле е ограниченных средах 14Х лю-ос >*гв о> л и-~;, о,> доя-о<о>*, о> (4 4) Е„е + ое = 'ос>>е Так как амплитуды Е, Е, и Е с,> от с и хо не зависят, то для выполнения граничного условия (4.4) в любой момент времени с в любой точке плоскости раздела необходимо, чтобы (4.5) со = а>о = о>я т. е. частоты падающей, отраженной и прошедшей волны равны и lсспяпО=Й вшОо = асс~ яп9. (4.6) Из полученного соотношения (4.6) следуют законы Снеллиуса: 1.
Угол падения равен углу отражения 8= п-Оо. (4.7) 2. Углы падения и преломления связаны соотношением яп 9 1с<~>,/а,>с> п, — — = — =пи, (4.Х) в>пО 7ссз> ,~ео>сз пз где и, = ~/а»с>, и, = /ау, — коэффициенты преломления соответственно первой и второй сред; пц — относительный коэффициент преломления. На основании (4.5) и (4.6) выражение (4.4) может быть переписано в виде Е +Е =Е сгг (4.9) Нп,> = Низ> при хз = О, учитывая уравнения (4.1)44.3), (4.5) и (4.6), получаем Н сов8+Н„осовО, =Н„с~>сов9. Согласно закону Снеллиуса 8 = и — Оо, тогда (Н - Н„,) сов О = Н„с„сов 9 (4.10) или (Е„- Е,) сов О = — Е„<,> сов 9.
2о> 2о> Явления отражения и прохождения волны через границу раздела двух сред при горизонтальной поляризации можно характеризовать коэффициентами отражения Г и прохождения Р на границе по электрическому полю Из условия непрерывности тангенциальных составляющих вектора напряженности магнитного поля на границе двух диэлектрических сред без потерь, когда .7„„= О, т. е. 4. Е Наклонное падение электромагнитной волны Е 0 ' Е~(2) Г= —,Р= —. Е Е Преобразуя (4.9) и (4.11) с помощью (4.12), получим систему (4.12) 1+Г =Р„„ (1 — Гв)совб= 0' РесовЭ.
202 Решая ее относительно Ге и Р„найдем ~02 сов — У0, совЭ 702 сов В+ Ум сов Э Ы„совВ 202 совВ+ 20( сов 9 (4.13) ) [ы-00)(02 000+и 0000)] я.=Е (е,сов — е)в[пВ)е 2[ы-2(о(х21ае+н юи0)] Н=-е,Н,„е (4.14) Сравнивая выражения (4.14) и (4.1), видим, что уравнения, описывающие случай вертикальной поляризации, можно получить из уравнений для горизонтальной поляризации при замене Е~~Н, Н ~~Е. При этом (4.9) и (4.10) при замене будут иметь вид: Н +Н 0 Н 2) (Е„, — Е 0)совВ=Е„,(,)сов9, (4.15) или (̈́— Н,) сов В = Н„„, — сов 9. 202 02 (4.16) В случае вертикальной поляризации явления на границе раздела можно характеризовать коэффициентом отражения и прохождения по магнитному полю и, Н„, Гн= > Рн= Н„ Н„ (4.17) Преобразуя (4.15) и (4.1б) с помощью (4.17), получим Выражения (4.13) называются формулами Френеля.
В случае вертикальной поляризации поле падающей волны определяется выражениями 4. Электромагнитное лоле е ограниченных средах 150 1+Г Р (1 — Г ) сов 0 = Р„м сов 9. "у Отсюда формулы Френеля для случая вертикальной поляризации имеют вид: Г Е.,~ы0-2м~м9 Гн Ум сов 0+ У„сов 9 22„ 0 Рн = Ув) сов 0+ Ум сов 9 (4.18) Поскольку все величины, входящие в правую часть выражений (4.13) и (4.18) действительны, то коэффициенты отражения н прохождения действительны. Очевидно, фаза прошедшей волны в случаях горизонтальной и вертикальной поляризации совпадает с фазой падающей. Отраженная волна совпадает по фазе с падающей или сдвннуга на 180'. Так, в случае горизонтальной поляризации фаза отраженной волны совпадает с падающей, если Ум сов 0 > Ум сов 9. В противном случае фаза меняется скачком на 180'.
Аналогичное соотношение имеет место в случае вертикальной поляризации. Вернемся к случаю горизонтальной поляризации и рассмотрим поле в первой среде, представляющее суперпозицию падающего и отраженного полей Е,) — -Е +Е в. Подставляя сюда выражения (4.1), (4.2) и (4.12), получим -до)(, в ъ е) . -д(1)(и нво+ з а во) Еао) е)Ев е +еГЕ е 0= я-0„ , -д(ц(, в+и в) -))(1)(, е-и е) Е„„, =е,Е 1е +г(,е Прибавляя и отнимая выражение Г л(!)("21и~мч~ом) Г е и группируя члены, получим Е () =е)Е„1(1 — Г )е '"' ' ' +2Гесов(/го)х)сов0)е '"""" 1, Таким образом, поле в первой среде можно представить как сумму двух волн, одна из которых распространяется вдоль направления падения с амплитудой Е (1 — Г.), вторая вдоль границы раздела в направлении оси х) с амплитудой, изменяющейся по закону косинуса вдоль оси х).
Очевидно, что поле в первой среде является неоднородным. Поле во второй среде является однородным. 4.1. Наклонное падение электромагнитной волны Обе среды линейные, ио вторая — с потерями. Рассмотрим прохождение плоской волны через поверхность раздела из среды без потерь в среду с потерями (см. рис. 4.1). Распространение преломленной волны характеризуется множителем распространения )"(г)' е где 1<<)) = (1<г) — /а(г) и в обшем случае векторы (3<г) и а(г) ие параллельны, но вследствие симметрии возбуждения преломленной волны лежат в плоскости падения. Если плоскость падения совпадает с плоскостью х,Ох„то скалярное произведение ()г ) яп9 — )а(г) япЭ,) ()1<г) совЗв — )а(г совЭ,) (1<<2)г) с(2) х,+ )с(г) 'с(2) Удобно ввести комплексные углы )1<г) сов Эв — /а(г) сов За сов9 = )с(г) )5<г) в<п Эв — )а<г) яп 9„ яп9= <2) Здесь 9 — угол между нормалью к поверхности и вектором 11<))., 9, — угол меж)<1 ноРмалью к повеРхности и вектоРом а(г).
Закон Снеллиуса для данного случая имеет вид )с<( яп Э = к яп Э. Отсюда lс(п яп9 = )3(г) яп 9 — )апо яп Э,. т.е. япЗ„=О или Э„=О', а /со яп6 яп Зв —— )г(г) Если потери во второй среде малы, то к<г) Р(г) и В этом случае положение плоскости равных фаз в пространстве определяется выражением х, яп 9+ х, сов Э = сопя<, а положение плоскости равных амплитуд выражением хг = сопя< 4. Электромагнитное поле в ограниченных средах 152 Плоскости равных фаз и равных амплитуд неоднородной волны, распространяющейся в среде с потерями, приведены на рис.
4.1. Физически расщепление плоскостей можно представить следующим образом. Падающая волна возбуждает колебания свободных и Среда с связанных зарядов, находящихся потвРлмо на поверхности раздела. Амплитуда этих колебаний одинакова на хз Рис. 4.4. Наклонное падение на границу со всей поверхности раздела. средой с потерями Рассмотрим перемещение волны в пространстве (рис. 4.4).
Плоскость аЬс является плоскостью равных фаз и равных амплитуд. Так как точка а изза различия фазовых скоростей в первой и второй среде пройдет меньший путь (цеп! < ц КП), чем точка с, то во второй среде плоскость равных фаз изменит свое положение в пространстве и совпадет с плоскостью а'Ь'с'. Фазы точек а', Ь' н с' будут одинаковы, но амплитуды колебаний в этих точках будуг различны, так как пути, пройденные этими точками, в среде с потерями различны, следовательно, будет различно затухание амплитуд. Рассматривая колеблющиеся заряды как источники сферических волн, очевидно, что плоскости равных амплитуд параллельны плоскости раздела, плоскости равных фаз н равных амплитуд не совпадают. Среда с потерями характеризуется комплексным волновым сопротивлением и, следовательно, коэффициенты отражения и преломления, определяемые выражениями (4.13) и (4.!в), являются комплексными.
Таким образом, отраженная н преломленная волны сдвинуты по фазе относительно падающей. Причем этот сдвиг для случая горизонтальной и вертикальной поляризаций будет различным, и при падении на границу среды с потерями волны произвольной линейной поляризации отраженная и преломленная волны будут поляризованы эллиптически. Зллиптичность зависит не только от параметров сред, но и угла падения. При падении на поверхность воздух-море волны произвольной линейной поляризации отраженная волна имеет эллиптическую поляризацию. Обе среды без потерь, но первая — линейная, вторяк — нелинейная.
Если обе среды являются диэлектриками, то электромагнитный процесс в этих средах будет согласно (2.9) описываться уравнениями ЛЕ(гке) + (то)' е," (то)р,Е(то) = -(те)'!х,Р (то), (4.19) ражением где и =0,11,+2,... В низшем нелинейном приближении (см. з 3.!) поле Е >(в) возбуждает в нелинейной среде волну нелинейной поляризации Рпз(2в), определяемую вы- 4.1. Наклонное падение электромагнитной волны 153 Р (2(о) =Р, (2а)е '["' "'('"') где 1(р(2а) — постоянная распространения волны нелинейной поляризации, равная ж,(г >=о„,< >=г,Е~ )н' (4.20) Амплитуда второй гармоники волны поляризации Р „,(2а) согласно (2.3) с учетом (4.12) определяется выражением Р п)(2а) = воХ)(2а)Е (з)(а) = воХ)(2а)ре (а)Е (а). Волна поляризации Р(,)(2а) является источником поля Е(,)(2а).
Согласно волновому уравнению (4.19), ограничиваясь низшим нелинейным приближением для второй гармоники, получим ЬЕ(2а)+ 4а'а,"(2а))(оЕ(2а) = -4а')(оР(, (2а), 2 /в',~2~)Р, =Йи>(2 ) — постоянная распространения волны второй гармоники в нелинейной среде. Решение неоднородного уравнения (4.22) равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений. Очевидно„в изотропной среде направление вектора Е(,)(а) совпадает с направлением второй гармоники вектора поляризации Р (2а) н направлением второй гармоники вектора напряженности поля Е„ (2а).
Таким образом, аналогично решению уравнения (3.12) получим (2 ) Е (2 ) -)ь(2)()~) 4а' Р (2(о) )(о (з)( ) -ж (зли а =е) ()) оэ)е +е! 2 2 'е ~~(2а) — ~(з) (2а) юю ~л ъ Ф(2)(за[поел(2а)+иаа$3(зи)[ + Р (2а) +е, е яг(з) ( ) -др(2в)[л2 и зр (зе)+ч еоа зр (2в)[ (4.23) 6 2(а) 6 2(2а) где Э(2а) — угол между положительным направлением оси х) и направлением распространения волны Е(,)(2а); Эр(2а) — угол между положительным направлением оси х) и направлением распространения волны поляризации Р )(2а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
