Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поле эквивалентно полю между двумя параллельными плоскостями, свернутыми в цилиндр. При этом 5, 7. Коаксиальный волновод (кабель) 211 Уравнение решаем подстановкой г=е', дг =е Ж, бг =е ' дг. Первая производная ЙЯ бА бг, дК дг й бг й Вторая производная Подставляя эти значения в (5.54), получим — -Я=О лг2 (5.55) — дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение р -1=0 имеет корни Рга =к! Решение уравнения (5.55) имеет вид К=Ае+Ве =Аг+ —, В г но физический смысл имеет лишь второе слагаемое, так как с увеличением г электрическое поле уменьшается. Окончательно имеем Е = — "е' Е„ Фя (5.56) Н = — е' Е 2' о где л'с = т~~„/е,. Структура поля Т-волны приведена на рис. 5.20. Обычный коаксиальный кабель характеризуют интегральными величинами — током и напряжением. Ток, текущий по кабелю, определяется выражением 1= ~Л„„д! = ~ — е а, да= — Е е ! Е и 2к .~ а~Ус ' Ео о Рис.
5.20. Структура поля Т-волны в коаксиальном волноводе 5. Волиоводы 212 напряжение между цилиндрами коаксиальиой линии Рт У = ()Е „бг = Е„!п — 'е '~, сопротивление коаксиальиой линии У У„аз 2= —.= — "!и —. У 2к а, Если среда, заполняющая волиовод, ие обладает потерями, то фазовая и групповая скорости ие зависят от частоты т. е, дисперсии иет. Коаксиальиая линия передачи с Т-волной применяется в диапазоне частот от постоянного тока до 10 ГГц.
5.8. Неоднородные волноводы Неоднородными называются такие волиоводы, у которых в направлении распространения волны меняется поперечное сечение. В ряде случаев оии также называются нерегулярными. Рассмотрим наиболее распространенные виды таких волиоводов: конический (рис. 5.21, а), коаксиальиый конический (рис. 5.21, б), бикоиический (рис. 5.21, в), квазипирамидальиый (рис. 5.21, г), сферический (рис. 5.21, д), клииовидиый (рис. 5.21, г), секториальиый (рис. 5.21, ж) и радиальный (рис.
5.21, з) волиоводы. Решение уравнений Максвелла при нахождении полей в злектродииамических структурах, геометрия которых такова, что граничные поверхности совпадают с координатными поверхностями криволинейной ортогональной системы координат аь аь ап можно получить в виде суперпозиции электрических Е„„и магнитных Н „типов волн, составляющие полей которых определяются через скалярные потенциальные функции У и К Если выполняются условия Бромвича: Ь,=! ~ — з =0 где Ьь Ьп Ьз — коэффициенты Ламэ, то состадляющие электромагнитного поля определяются соотношениями: 5.8.
Неоднородные волноводы г— для Е„,„-волны д2У Н, =О, Е, = — +УсзУу ду,' 1 дуу 1 д'уу Н =уев.—, Е,= — —, "з дгуз Ьз ЩдЧз 1 дУ 1 дзУУ Нз =-уозв,—, Е, =— У'з ддз ' Ь, дгу,доз ' (5.57) для Н,-волны д'Г Е, =О„Н, = +Ьзуг д!у,' 1 д)г 1 друг Ез =-уюта — ~ Нз = — р "з доз Ьз д~у~д<уз 1 дуг 1 д'Уг Ез = у' р. —, Н, =— ' Ь, друз Ьз ду,дгуз (5.58) Рис. 5.21.
Неоднородные волноводы со сферическими и цилиндрическими направляемыми волнами: а — конический, б — коаксиальный конический, в— биконический, г — квазипирамидальный, д — сферический, е — клииовидный, ггс— секториальный, з — радиальный 5. Волноводы 214 Потенциальные функции У и Р удовлетворяют уравнению (5.59) где штрихи означают производные по аргументу й-, — по координате 9 — уравнение Лежандра 2 Г з1 (1-г ) — Х "(г)-2г — Е (г)+~г1(Ч+1)- — ~Х "(г) =О, з о р„ г дгг и и (5.61) где г=сов9; — по координате а — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка Ф' (а) + рг Ф(а) 0 (5.62) Таким образом, частные решения уравнения (5.59) для скалярных потенциалов У и К в сферической системе координат имеют вид: и (А сов — ЬгВ (й)1Р (сов9) .
р а, (В " " вш (5.63) где А,  — постоянные коэффициенты, определяемые из условий возбуждения; ц = и „, )㄄— собственные значения Е „- и Н „- волн, определяемые из граничных условий Е, = 0 на идеально проводящих поверхностях конического, коаксиапьного конического, биконического и секториального волноводов по координате 9; Хр (сов9) — частные решения уравнения (5.61), которые являются линейной комбинацией присоединенных функций Лежандра первого рода Р„' (сов 9) и второго рода Д~" (сов 9) — для коаксиапьного конического, биконического и квазипирамидального волноводов; АРп" (сов9) =Р„"(сов9) — для и соответствующим граничным условиям.
Здесь 1à — это Били К Неоднородные волиоводы со сферическими направляемыми волнамя. В сферической системе координат(П.2) д, =г, 9, =9, у, =а, Ь, =1, Ь, =г, Ь, = г яп 9 и при замене в уравнении (5.59) У = ги, К = л потенциалы Дебая и и г удовлетворяют уравнениям Гельмгольца Ли+Ь~и=О, йг+Ь~г=О, 'где Л вЂ” оператор Лапласа в сферической системе координат. Согласно методу Фурье (метод разделения переменных) для этих уравнений получаем три дифференциальных уравнения: — по координате г — уравнение Бесселя в сферической системе координат (й) Я„"(й)+2ЬгЯп(й)+[(Ьг) — тКЧ+1))Я„(Ьг)=0, (5.60) 5.8.
Неоднородные волноводы 2! 5 конического и сферического волноводов; р„= и) — целые числа, определяемые / (Ь.) У (У ) (Ь.) У (Д ) 1 (),2)(У ) тт Н(),2)(У М 2Ь, ч ' ч т 2Ь, ч+ ' ч т 2Ь' ч+~ т т 5 где У, (Ь ), Ж ) (Ь'), Н(',)(Й") — цилиндрические функции Бесселя, Неймач+- ч+- ч+- т т т на и Ханкеля соответственно. Для того чтобы удовлетворить условию ограниченности поля при Ь -+ О, необходимо принять Яч(Ь) =/ч(Ь), поскольку функции нч(Ь) имеют особенность при Ь -+ О.
Чтобы удовлетворить условию излучения при Й.-+чч, необходимо принять Ач(Ь) = Ьч()(Ь) при временной зависимости е'"', если рассматриваются прямые волны. Как видим, одной функциональной зависимостью невозможно описать поле на интервале 0 4 Й ч: чо. Однако радиальная зависимость Ь" Яч(Ь) функций У и Р, как нетрудно убедиться, введя замены х = Ь, у = Ь" Яч(Й ), удовлетворяет уравнению у +/'(х)у 0 (5 64) () 1 где Дх) =1-хч/х, хч = )1(11+1). Точки дифференциального уравнения (5.64) х = х, при /(х) = О определяют критические сечения неоднородных волноводов, поскольку при /(х) < 0 имеем запредельную область волновода (квазистатическое поле), а при Дх) > 0 — область распространяющихся внутри волновода волн.
Этот факт условно показан на рис. 5.22, где представлен график зависимости функции /'(х). Таким образом, Рис. 5.22. Разграничение критическим сечением областей пространства внутри неоднородного волновода с различным характером поведения поля собственной волны условиями периодичности поля по координате а для конического, коаксиального конического, биконического и сферического волноводов; для квазипирамидального волновода р = тля/(2а,) — собственные значения, определяемые из граничных условий Е, = 0 на идеально проводящих поверхностях (плоскостях) по координате а (2ач — угол раствора в плоскости 3 = к/2 (см. рис. 5.21, г)).
Частными решениями уравнения (5.60) Я„(Ь ) являются линейные комбинации сферических функций )тесселя первого рода /ч(Ь), сферических функций Бесселя второго рода лч(Ь), а также сферических функций Ханкеля первого и второго родов Ь( ' )(Ь ), причем 5. Волловоды 216 критическое сечение разграничивает области пространства внутри неоднородного волновода с различным характером поведения поля собственной волны. Учитывая этот факт, радиальную зависимость потенциалов с1 и К, решения дифференциального уравнения (5.59) в сферической системе координат представим в следующем виде Л,[(Ь')„,)й~~'~(Ь), если й ~ (Ь) у = Ь А„(Ь) = Ь' " " (5.65) Л<~>[(/р') ])„(Ь),если Ь((Ь) у' [й"Р (Ь')1' у ЬЯ„(Ь) 2 — '.с —— у Ь™и (5.66) При рассмотрении волновых процессов в неоднородных волноводах удобно ввести логарифмическую производную радиальной зависимости (1и у)' = у'/у = в, [ыь /я$(м) /и вг т. е.
у =Се =Се =Се, где С вЂ” произвольная постоянная, а величина «в имеет физический смысл локальной «постоянной» распространения соответствующего типа волны. Подставляя выражение для логарифмической производной радиальной зависимости в уравнение (5.64), получаем дифференциальное уравнение для величины з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
