Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 32
Текст из файла (страница 32)
а В полученных формулах ни и ни и не могут равняться нулю. Критическая длина волны (5.32) Рис. 5.16. Структура поля волны Е„в прямо- угольном волноводе т. е. определяется той же формулой, что и для Н-волн. Поэтому Е „- и Н „-волны при одинаковых индексах имеют одну и ту же критическую длину волны. Низший тип Е~ ь его критическая длина волны хе х2 2аЬ Д~2 + В2 на рис. 5.16. Для Е-волн 5.б. Волноод круглого сечения 201 т.
е. и при распространении Е-волн прямоугольный волиовод является системой с дисперсией. 5.б. Волновод круглого сечении Н -волны. При исследовании волн в волноводе круглого сечения (рис. 5.17) используется цилиндрическая система координат. Ось е совпадает с осью волновода и направлением распространения волн, т. е. множитель распространения е о'. Волновое уравнение ЬН+ /г~Н = 0 является векторным. Векторный лапласиан ЬН = гог гогН вЂ” ягад гйчН, скалярный лапласиан Ьу = Йч агадир.
Н„2 дН„1 ( Н, 2 дН,> АН = ЛН вЂ” —" — — „" )е + ~ЬН вЂ” — ' — — ')е + ЛН е 2 2 ' ! > ~ » 2 2 г г оа г г » где д>Н„, ЬН„ЬН, — лапласианы скалярных величин, здесь 1 д ( д ) 1 дз дз 2 2 3' г дг дг~ г' Ыа' де~ Только проекция векторного лапласиана на ось г (прямолинейную ось) зависит от одной составляющей вектора Н. Для зтой составляющей скалярное волновое уравнение 1д( дН,) 1д'Н, д'Н, (~г )~+ ° + ° +Кзн, =О гдг~ дг) г2 д,2 дх' д' илн так как— де2 О Рис.
5.17. Круглый волиовсл 13 за> >м Только в декартовой системе координат выражения для скалярного и векторного лапласиана одинаковы. В цилиндрической системе координат 5. Волноводм 202 1 д ( дН,'1 1 д'Н„, (5.33) где Х =к хо. з Очевидно, решение зтого уравнения имеет вид Н„=Н.(.,а)е-'" . (5.34) 1 д( дЯ1 1 д'Ф вЂ” — г — + — +у' =0 Яг дг ~ дг ~ гзФ да~ (5.3б) или 1 д( дЯ'1 1 дФ )+ г з — Х Яг дг~ дг) гзФ да~ где Х вЂ” величина, не зависящая от г н а. Величина а входит только во второе слагаемое. Если г постоянно, а а изме- няется, то сумма зтих слагаемых не изменяется.
Это возможно лишь в том слу- 1 д'Ф чае, когда — не зависит от а. Поле должно иметь периодическую зависи- Ф да' мости от а и при изменении угла а на 2к иметь то же значение. Таким образом, 1 б~Ф вЂ” — =-и, Ф ба' где и — целое число. Решение зтого уравнения Ф = Асозпа+Вз1пла можно представить в виде сов па Ф= з(ппа Дифференцируя (5.36) с учетом (5.37), получим Зависимость амплитуды от координат г и а обусловлена граничными условиями на стенках волновода. Применим метод Фурье, согласно которому Н, можно представить как произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной Н .
= Я(г)Ф(а)е о' = ЯФе '~". (5.35) Подставляя зто выражение в уравнение (5,33) и разделив его на произведение ЯФе о*, получим 203 5.6. Волноеод круглого сечения 1д~Я 1 дЯ н~ — + — — — — +)( =О. Я де~ Яг дг г~ Обозначив уг = х, получим 1йзЯ 1 Я ( и' — — + — — + 1 — — =0 Ядх' Яхтах ~ х'~ Д2Я 1 ЯЯ ( н2'! ,, —.~1- —,)~Я=О. дх хдх 1, х! (5.38) Это уравнение называется уравнением Бесселя.
Решение его представляет сумму Я = С.У„(х) + 13Ф„(х), где 5„(х) — функция Бесселя п-го порядка; Ф„(х) — функция Неймана л-го порядка. При х = О, т. е. при г = 0 Ф„(0) = -сс, и второе слагаемое физического смысла на имеет, так как электромагнитное поле в центре волновода имеет конечное значение. Таким образом, решение уравнения (5.33) имеет вид созна) Н, =НЮ„(ут) ~е ' '*. гйпна) Остальные составляющие находятся из уравнений Максвелла. В проекциях на оси цилиндрической системы координат имеем дН, дН вЂ” '- — "* =1аа Е 1! дЕ д(гЕ„)Д! г!д д дЕ, дЕ„, — '- — "' =-1ар Н 1 ! д(гЕ,) дЕ,1! — '~ = -1аУ,Н г~ дг да 3 ~з* д Для Н-волн Н ю~О и Е„, =О. Кроме того, — = — фе. С учетом этого, по- лучим 5.
Вохиоводы 204 1 дН +ф~гН, агав,Е „, г (5.39) дН, — ~ОН, — — '=5ав,Е (5.40) 5'М.Е.„= -рзр.Н„„ Яс,Е „= ~'ар,Н,. Отсюда Е =- — 'Н„„, вК в Е = — 'Н а1ра юг 1~ еа' о Сучетомзначений Е и Е, в(5.39)и(5.40)получим ,А дн. та= 2 д фв дН., Я1 Х Окончательно имеем сов иа Н, = НУ„(Хг) е ~~'*, япиа фв, сов па Н, = — ~Н/„'(Хг) . е '", у япиа /иЦ, - в)ппа Н =- —,' Н1„(Хг) е ' '*, у'г созна (5.4!) Х г совиа /ар„, сов иа Е = — "НЛ„'(Хг) е ' '", Х " в1ппа Согласно граничным условиям Е, = 0 при г = а, т. е. на стенке волновода. Этоусловиесоответствует Е„=О при г=а, т.е.
У„'(Ха) =О. График функций Бесселя имеет вид затухающих синусоид. Все .7„(х) за исключением,У„(х) при х=О обращаются в нуль, 5,(0)=1. Корни уравнения У„(х) = 0 представляют значения, соответствующие точкам пересечения функ- 205 5.6. Волновод круглого сечения ции .У„(х) с осью х. Это значения А„, где и — порядок функций Бесселя;т— номер корня.
В„ — корни уравнения 1„'(х) = О, т. е. точки пересечения функции .У„'(х) с осью х. Таким образом, В„„ Х= —. а Критическая длина волны 2л 2ка Х ч> Х Впа Числа и в выражениях (5.41) определяют число вариаций по углу, т — по радиусу. Постоянная распространения где к = азу,р„— постоянная распространения в свободном пространстве; Х— длина волны в свободном пространстве.
Фазовая скорость 'ЯЕ 1 где о = — скорость распространения в свободном пространстве, вара Групповая скорость Длина волны в волноводе ИЕ Волновое сопротивление волновода ИО гйб 5. Волиоводы где 2 = /р, /в, — волновое сопротивление свободного пространства. Аналогичным образом определяется структура поля Е„ соя па Е„, = ЕУ„(уг) е "", яп па Яв, соя па Е, =- — 'ЕУ„'(уг), е '", Х яппа АУ~, — яппа Е = — — ЕУ„(хг) е "0*, Х~г " созпа (5.42) уае,п — яп па Н, = — 'ЕУ„(Хг) е ~~, Х'г " соя па ува,, созна Н = — 'ЕУ„'(Хг) е 'л0 Х " яппа Согласно граничным условиям Е, =О при г=а, или Е =О при г= а.
Отсюда У„(Ха) = О или ус =А„„. Критическая длина волны в этом случае определяется выражением 2к 2ка «Р У Х Апт где А„ — корни уравнения .У„(х) = О. Низшими типами волн в круглых волноводах являются волны Нц и Еец Структура поля Нц (рис. 5.18) имеет вид, аналогичный структуре поля Нм в прямоугольном волноводе; структура Ещ (рис. 5.18) аналогична Ец в прямоугольном волноводе. При плавном переходе от прямоугольного волновода к круглому Нм переходит в Нц, Ец — в Евц Вследствие осевой симметрии волну Ея применяют во вращающихся соединениях.
Волна Ня имеет структуру поля, получаемую из структуры Евц если поменять местами электрические и магнитные составляющие (см. рис. 5.18). При всех типах волн за исключением Нщ в круглом волноводе потери в стенках волновода при увеличении частоты увеличиваются. При Нв, они уменьшаются, так как тангенциапьная составляющая вектора Н, определяющая энергию, поглощаемую стенками, уменьшается по сравнению с поперечной составляющей, определяющей передаваемую волноводом мощность.
5.У. Коаксиальный валнавад (кабель) 207 З ЕЛББ ЫЖс=2 н„ !! !! 1! !! ;Ф, а»»» 11 0 1И~ ! ! 111~ "".4. ° -Ф=" » 1 ! РА~= »'»~--а з'!а ° а» =~ ° не! Рис. 5Л8. Структура поля волн Нп, Ее! н Н„в круглом волноводе Однако в круглом волноводе волна Нм неустойчива и даже при небольшой зллиптичности сечения она превращается в волну Еп, обладающую той же критической частотой, но большими потерями.
Для устойчивого существования волны Неь волновод делают из изолированных колец или из изолированного провода. Коаксиальный кабель состоит из центральной цилиндрической жилы и изолированной от нее коаксиальной оболочки (рис. 5.19). В коаксиальном кабеле могут распространяться Н„ -, Е„ -„ и Т-волны. Структура поля Е„„- и Н -волн определяется аналогично случаю круглого волновода. г Н„-волна. Волновое уравнение ЛН+7г~Н = О Рис. 5.19.
Коаксиальный вол- новод !. »»» !! ~ ! !1 114~~ 5.7. Коаксиальный волновод (кабель) 2О8 5. Волловоды можно написать лишь для з-компоненты Мг'„, +~г~Н, =О или согласно (П.38) 1д( дН,'1 1дН, дН, (5.43) Решение этого уравнения можно представить в виде Н, = Н, (г, а) е ~~" . Подставляя (5.44) в (5.43), получим (5.44) 1 дгН или 1д( дН„,') 1 дгы., г дг~ дг' ~ гг даг (5.45) Н =Я(г)Ф(а)е ''* =ЯФе 'го'. (5.46) Подставляя (5.46) в (5.45) и поделив все на выражение (5,46), получим 1 д( дВ'г 1 дгФ вЂ” ~ — 1+ —,—, =-Х' (5.47) В дг~ д.1 «'Фда' Фиксируя переменную г, а а считая переменной, видим, что так как величи- 1 дгФ на у постоянная, то слагаемое — — также постоянное.
Поле имеет пернодическую зависимость и прн изменении а на 2к не изменяется. Таким образом, 1 ч'Ф вЂ” =-Л Ф ба' (5.48) где л — целое число. Решение этого уравнения имеет внд сов па) Ф=Асозла+Вз)ила= . зги на) (5.49) Учитывая (5.48) в (5.47), получим ,~гВ 1 ~В „г —,+ — — —,+Х' =О. Ядг Ягдг г Для решения применим метод Фурье — метод разделения переменных. Представим (5.44) как произведение функций, каждая из которых зависит от одной переменной. 5. Х Коакснальпы й волновод (кабель) 209 Поделив на Хг и обозначив уг через х, получим 0гК 1 <~К ( и'1 — + — — + 1 — — — 0 дх' хбх ~ х! — уравнение Бесселя, решение которого имеет вид Я = С,У„(х) + РФ„(х).
(5.50) Здесь функция Неймана Н„(х) учитывается в решении, так как точка х = О, соответствующая г=О, исключается внутренней жилой. Учитывая (5.49) и (5.50) в (5.46), получим созна Н, =[СУ„(Хг)+РФ„(Хг)1 . е ' в(ппа (5.5 1) Остальные составляющие находим из уравнений Максвелла аналогично тому, как это делалось в случае круглого волновода. Окончательно имеем созна Н„„= [СУ„(Хг)+ РН„(Х П, е ' ', в(п па Н „= — — ~[СУ„'(Хг)+ РФ„'(Хг)1 е ' уко созна Х в1ппа ,Упало — вшпа Н„= — — ~ [СУ„(Хг) + РФ„(Хг)) е ~ '*, у г созна Е., =-,' [СУ.(Хг)+РН.(Х )) е "", Хг созна Е = — '[СУ„'(Хг)+РН„'(Хг)1 е ' '*. уезда савла Х в(ппа Поперечное волновое число Х определим из граничных условий.
Согласно граничным условиям Е, = О, т. е. Е „= 0 прн г = а, н г = а, что соответствует системе уравнений С,У„'(Ха,)+ РФ,',(Ха,) = О, СУ„'(Уаг)+ РН',(Хаг) = О или Н„'(Ха ) Н.'(Ха ) У (Ха~) У (Хаг) Корни трансцендентного уравнения Ф„'(Ха,)У„'(Хаг) — Ф (Хаг)У,(Ха1) = 0 определяют поперечные волновые числа Х, зависящие от геометрии волновода (а| и аг) и типа волны (значений п и и). 5. Валновады 210 Структура поля Е„определяется аналогично. В соответствии с (5.51) савла Е„, = (СУ„(2г) + 21Ф„(2г)], е ' " з(п па и поперечные волновые числа определяются из трансцендентного уравнения Ф„(2а,)У„(2аг) — У„(уаг),У„(уа,) = О. Критическая длина волны Е,=Н,=Е =Н =О.
а к Проекция волнового уравнения на ось г согласно (П.39) Е„„2 дЕ, ЬŠ— — "" — — — '+(с Е =0 г г ЮГ г г будет содержать одну составляющую Е „, так как Е = О. т. е. 1 д ( дЕ „1 1 д Е „ д Е „ Е, г дг ~ дг ,1 гг дсгг дяг гг (5.52) Очевидно, решение будет иметь вид Е, =Я(г)е ' (5.53) д' г дяг Подставляя (5.53) в (5.52) н поделив на (5.53) с учетом того, что получим бл 1 И вЂ” г+ — — -М вЂ” —,+К' =0 Ядг гЯбг г или 1 о~Я 1 М 1 — — — — 0 (5.54) г+ Я дг гР йг г отличается для Е - и Н„-волн. Основной волной в коаксиальном волноводе является Т-волна. При работе на этой волне размеры коаксиального волновода минимальны. Постоянная распространения Т-волны к = ег.Я,, равна постоянной распространения в свободном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
