Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ти а Второе условие возможно б.1. Обьемные резонаторы 231 при С;аО, .0=0 и )(2 = —. нк Ь Третье условие возможно при Е=О, Р'~0 и )(з = —. ри ! Таким образом, Н, = Нсоз21х1 созузхз з)п узх„где Н = АСГ. (6.1) Уравнения Максвелла гогН = 1езе Е, гоГЕ = — 1аз)з,Н с учетом Е, = 0 в проекциях на оси координат имеют вид дНаз дН т2 хз дн„, дН„, 1гееаЕа2 1 дх, (6.2) дз дН дна1 0 дх, дЕ, — "=12 Р.Н.„ дхз дЕал 1сзззаНа2 > з (6.3) дЕ дЕ„, — — "' = — 1сз12 Н а аз 1 2 Согласно первым двум уравнениям системы (6.3) дЕ„, сзН, дз (6.4) дЕ, Н юз сзНа дхз Подставляя второе уравнение (6.4) в первое уравнение системы (6.2), учи- д 2 тыкая что — = -у получим д 2 З 2Зг 6. Резонаторы ан„, 2' а'е„, — — — — = ЗсзваЕ„д а»2 «зНа ахз или Хз з). аН., 2 сзв,— ~Е„, =— езНа д»2 или ф' дНа2 езНа д»2 т.
е. с учетом (6.1) )ЮНаХ2 Е„, = ' НсовХ,х,взпХ2»зввзХзхз. Х (6.5) ~Ь вЂ” Е 2 — 1озв,Е 2 = или .УФ -Хз)Е дназ ю2 0312 а»2 т. е. с учетом (6.1) Е„„= — 2 Нв1п Х,х, сов Х,хз в1п Хзхз. ФНаХ2 Х (6.6) Согласно (6.4) — (6.6) На2 = — НвпзХ2»2 совХзхз совХзхз, ХзХз Х Наз —— —,НсовХ,», взпХ,»2совХ,»з. Х2Хз Х Таким образом, поле Н „имеет вид Подставляя первое уравнение системы (6.4) во второе уравнение системы (6.2), получаем .1 д'е., ан., аЕЗВа аз азН, дх, дх, 233 б.1. Объемные резонаторы Н»кз — Н сОБКзх1 сов Кгхг Б!п Кзх3 к Н, = — Няпу,х,совХ,хгсоБК,х„ Хзхз Х Н„,г = —,Нсову,х, БшКгхг соБХзхз, ХгХз Х (6.7) Фр11»Х2 Е, =, НсовУ,х, ЯпХ,х,вгпКзхз, Х 3Я,Р.Х1 Е»а =- НЯпК,х,совК,х,ЯпК,х,. Х Здесь тк лл рл Х1= Х2 Ь Хз= 1 а (6.8) Х1 Хг Х Х + Хз )5 75 озрзга )г г г г г г г (6.9) Е, =ЕЯпК,х, ЯпХгх, совХзхз Е„„= — —,ЕсоБК,х, яп К,х, яп Х,х„ Х1Хз Х Е»г = 2 ЕвшК,х, совХгхг БшХзхзк ХгХз Х (6.10) 7хгш,в.
Нм1 = 2 ЕБ1пК1хз сОБКгхг сОБКзхз, Х Л1сзав» Наа — — — ЕООБХ,х, япХ,хг сОБК,хз. Х та лгг, 2 2 2 Здесь Кзка †' Хг = ' Хз = '* Х = Х1 + Хг т, и = 1, 2, 3, ...; р = О, 1, а 2,... 15 Зак 155 где оз — резонансная частота; в„р, — параметры среды, заполнявшей резонатор; т,лир — целыечисла(тип=0, 1,2, ...,р = 1,2,3, ...). Одновременно т и и нулю равняться не могут. Поле Е„„„в прямоугольном резонаторе можно найти аналогично Н „р или рассматривая поле в резонаторе как суперпозицию волн, определяемых формулами (5.31), бегущих в противоположных направлениях с учетом коэффициента отражения от металлической стенки для различных составляющих поля.
В результате получим: 6. Резонаторы 234 Рис. 6.1. Структура полей в прямоугольном резонаторе Из выражений (6.7) и (6.10) видно, что фаза полей не меняется в пространстве (стоячая волна). На гранях резонатора касательные составляющие электрического и нормальные составляющие магнитного поля равны нулю, а нормальные составляющие электрического и касательные составляющие магнитного поля достигают максимума.
Этим и объясняется, что величины )(и уъ тз принимают значения, лишь определяемые выражениями (6.8), так как на соответствующих длинах а, Ь и 1 должно укладываться целое число полуволн. Структура полей в объемном прямоугольном резонаторе представлена на рис. 6.1. Величина 1 = а ~Я,р„согласно (6.9) и (6.8) может иметь только определенные, образующие бесконечный ряд, значения, называемые собственными волновыми числами резонатора.
Соответствующие им значения Е- и Н-полей объемного резонатора называются собственными функциями. Учитывая, что получим резонансные частоты прямоугольного резонатора 6.1. Обьемние резонаторы 235 я ш 1'а.р. образующие бесконечный дискретный спектр. Этим частотам соответствуют резонансные длины волн созна . Н = Н3„(Хг), япХ,в, в(ппа созна Н „= — *Н3„'(ут) . совХ,в, япла лХ вЂ” яппа Н = ~~ Ш„(Х~) сов Х,~, у'г " созна (6,11) Унеэе)1, -яппа . 4~юг - - ~ НУи(Хг) в1п Х,в> Х'г " созна уеэ,р,, созна .
Е = ~ ' НЮ„'(Хг) в)пХ,в, явна В„ где у, = Я; р = 1, 2, 3, ...; Х = ав.,  — корни уравнения,у„'(х) = 0; а — раи диус резонатора, 1 — длина резонатора; 15* Таким образом, резонансные длины волн зависят от геометрических размеров резонатора и целых чисел т, и и р, определяющих тип колебания. Наименьшая длина волны имеет место для одной из комбинаций значений тлр: 011, 101 или 110. При этом значение, равное нулю, соответствует наименьшему ребру прямоугольного резонатора. Длины волны для Е „р и Н „„полей в прямоугольном резонаторе, определяемых одной и той же комбинацией чисел т, н и р, равны. Соответствие разных полей одной и той же длине волны называется вырождением.
Круглый цилиндрический резонатор. В случае круглого цилиндрического резонатора структура поля находится решением волнового уравнения и уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат. Составляющие поля имеют следующий вид: Н -поле 6. Резонаторы 236 Е„„,„-поле созна Е, = ЕУ„()(г) сову,г, вш па у,, созна „ Е, = - — 'ЕУ„'(уг), япу,г, у " яппа п)(, -яппа, Е „= — —,* Е.у„()( ) в)п)(, „ у'г созна (6.12) упсэ з, -яппа Н, =,~ .У„(уг) сов у,г, )('г " созна !сзрв,, созна Н = — у„(уг), у.г, у яппа для поля Е„„ Наибольшая резонансная длина волны для Е-колебаний соответствует Еще для Н-колебаний — Н|п.
где у. = †; р = О, 1, 2, 3,...; у = †, А„ — корни уравнения,у„(х) = О; а— рк А„„ радиус резонатора,! — длина резонатора. Из полученных выражений (6.11) и (6.12) видно, что электромагнитное поле как для Н-, так и для Е-колебаний представляет собой систему стоячих волн с узлами Е„, Е, и Н, на основаниях цилиндра и узлами Е,, Е, и Н„ на боковой поверхности. Резонансные частоты и длины волн резонатора: для поля Н„„ 6.1. Объемные резонаторы 237 В отличие от прямоугольного резонатора длины волн для колебаний Н„ и Е„не совпадают.
Резонатор с потерями. Потери в резонаторах обусловлены потерями в стенках резонатора, в среде, заполняющей объем резонатора, а также излучением через отверстия в стенках резонатора. Потери в стенках резонатора аналогично потерям в стенках волновода определяются выражением ' ~Н' бб и„ (6.13) где интегрирование ведется по всей внутренней поверхности резонатора. Напомним, что ̈́— действующее значение тангенциальной составляющей магнитного поля у поверхности резонатора, вычисленное в предположении отсутствия потерь; )о, и а — соответственно магнитная проницаемость и проводи- масть материала стенок. Потери в среде, заполняющей резонатор Родмэл = Ке ~()А) б~ = ~пЕо б~ > е (6.14) Р„„=-Ке ~(ЕН 1бБ, $> (6.15) где интегрирование производится по поверхности, соответствующей отверстию.
Общая мощность потерь Ро =Ро +Род +Ро (6.16) Конечно, потери всех видов изменяют распределение поля в резонаторе, но практически представляет интерес случай малых потерь, при котором распределение поля близко к идеальному и резонатор можно рассматривать как изолированную систему, обладающую запасом энергии . о а~ьонаы онж~ м н ~и Н'=-~р,Н~ дР"= — ~е Е~ дР, е Г 6' = )РоН, 'дГ = ~е,Е„'дУ. (6.17) е где Е, — действующее значение напряженности электрического поля в резонаторе; и — проводимость среды.
Если в стенках резонатора имеются отверстия, то через них будет излучаться электромагнитная энергия. Это излучение может происходить как в свободное пространство, так н в связанный с резонатором волновод или другой резонатор. Излучаемая мощность 238 6. Резонаторы Потери энергии в такой системе характеризуются добротностью Д (безразмерная величина). С точностью до постоянного множителя 2х добротность определяется отношением запасенной энергии )г'к потерям энергии )Гг за период )р ег,Ж ~г=2я — =— (6.18) юг Р, где Ре — средняя мощность потерь.
Потери приводят к затуханию колебаний и уменьшению запасенной энергии резонатора, если она не восполняется извне. 6)à — = — Р, Йг Учитывая это соотношение в (6.18), получаем уравнение сг~1Р д Р дИ' 6г илн — + — ~1Г =О, й Д решение которого имеет вид т. е. запас энергии убывает по экспоненциальному закону, причем тем быстрее, чем меньше добротность. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды напрягкенности поля, то очевидно изменение амплитуды напряженности происходит по закону Эти выражения характеризуют колебания частотой в„, затухающие во времени по экспоненциапьному закону. сгз Коэффициент а = — называется коэффициентом затухания.
2Д Мгновенные значения напряженности можно записать в виде г~ Е = Е„, е ~н е' ' = Е„, е~", е гп от~ = О ет" 239 6.1. Объемные резонаторы Величина (6.19) а„=в, 1+ !— называется комплексной частотой собственных колебаний. Согласно (6.16) и (6.18) можно записать 1 Рд 1 1 1 — — = — + — +— 0 а,)Р О. О,. 0 ' а„И' где Д = —" — добротность резонатора при наличии потерь только в стенках; Ре в 1Г Д„„= — ' — добротность резонатора, обусловленная потерями только в дна,В' электрике; Д = †' — добротность резонатора при наличии потерь только Ре изп за счет излучения.
Добротности Д, Д „и Д называют частичными добротностями. Добротность, обусловленную потерями в стенках и диэлектрике, называют собственной добротностью Оо 1 1 1 Добротность, определяемая излучением Д, называется внешней, общая добротность Д вЂ нагруженн. На практике чаще применяют круглые цилиндрические резонаторы, работающие на колебаниях типа Не| . Такие резонаторы при данном объеме обладают наибольшей добротностью. Отсутствие продольных составляющих тока на боковой поверхности и радиальных составляющих на торцах резонатора позволяет изготавливать резонаторы разъемными без ухудшения добротности, так как разрывы не прерывают линий тока. Объемные металлические резонаторы нашли широкое применение в технике СВЧ, для выделения сигнала определенной частоты, определения длины волны и измерения электромагнитных параметров веществ.
6.2. Открытые резонаторы Применение обычных объемных резонаторов, геометрические размеры которых соответствуют настройке на одну собственную частоту, в оптическом диапазоне нецелесообразно, так как технологически трудно создать резонатор с размерами порядка длины волны (доли микрона). Кроме того, при таких малых размерах доб- б. Резонаторы 240 пппв п>а> Рис. 6.2. Открытые резонаторы„образованные: а — плоскими зеркалами; б — сферическими; в — плоским зеркалом н призмой полного отражения; г — призмами полного отражения ротность резонатора резко уменьшается, а резонатор, размеры которого много больше длины волны, практически теряет свои резонансные свойства.
Действительно, согласно формуле Релея — Джинса число собственных колеба- ний р, возникающих в резонансной трехмерной системе в интервале частот Лв, г р= — в Ьв, 2„г„г 1 где Р— объем системы; гг = — скорость распространения электромаг- Й.н. нитной волны. Эта формула асимптотическая, точность ее повышается с увеличением частоты в. С повышением частоты спектр собственных колебаний сильно сгущается, потери в стенках резонатора возрастают пропорционально Гв, резонансные кривые каждого типа колебания расширяются и перекрываются. Для одномерной систем длиной 1 2! р гзв1 ВУ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
