Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Векторное произведение некоммутативно [АВ] = -[ВА]. Смешанное ипи векторно-скалярное произведение трех векторов А, В и С— скаляр н численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах 298 Математические и физические дополнения (А[ВС)) = (В[СА)) = (С[АВ)) = -(В[АС1) = -(С[ВА1) = -(А[СВ]). Двойное векторное произведение векторов А, В и С определяется выражением [А[ВС1] = В(АС) — С(АВ).
(П.4) тензорное поле — область пространства, в каждой точке которого задано значение некоторой тензорной величины. В зависимости от ранга тензора поле называется скалярным (тензорное поле нулевого ранга), векторным (тензорное поле первого ранга) или тензорным г-го ранга. Если поле зависит не только от координат, но и от времени, то оно называется нестационарным, если поле от времени не зависит, то оно называется стационарным, Скалярное поле — область пространства, каждая точка которого характеризуется некоторым значением скаляра. Так как каждая точка определяется радиус-вектором г, то поле определяется скалярной функцией ср(г) = ср(х,).
Примером скалярного поля является поле температур. Если поле зависит от времени, то ср(г, г) = ср(х„г). Точки поля, характеризующиеся одним и тем же значением ~р(х,), образуют поверхности, называемые поверхностями равного уровня или эквипотенциальными поверхностями фх, ) = сопзг = с. Задавая различные значения с получим семейство поверхностей, распределение которых в пространстве характеризует скалярное поле. Вектор„численно равный — и направленный по нормали к эквипотенцидф дп альной поверхности в сторону возрастания скаляра, называется градиентом скаляра 8габ<р = — и„ дф дп где пв — орт внешней нормали, направление наиболее быстрого возрастания скаляра д. Градиент у можно записать через проекции на оси координат следующим образом: дд йр ду Кгао9 = — е, + — е2 + — ез дх, дх, дх, или 8гад<р = 7у, П.2.
Векторный аналнз 299 где д д д %' = е, — + е, — + е,— дх, дх, дх, А(г) — оператор Гамильтона («набла»), который можно рассматривать как вектор. Под оператором понимается совокупность матема- А(г) тических действий, в данном случае дифференцирование. Сам по себе оператор ничего рнс. П.З. Графическое прелстаалене означает, он имеет смысл, будучи приме- нне векторного поля ним к какой-либо величине. Градиент является дифференциальной характеристикой скалярного поля.
Проекции оператора Гамильтона на оси координат имеют вид д 7 = —. дх, Векторное поле — область пространства, каждая точка которого характеризуется некоторым значением вектора А(г) = А(х,) или А(г, г) = А(хн г). Примерами векторных полей являются электрическое, магнитное и гравита- ционное поля. Поле градиента скалярного поля также является векторным, Векторное поле графически характеризуется векторными или силовыми ли- ниями. Векторной или силовой линией называется кривая, касательная к кото- рой в каждой точке совпадает с направлением векторного поля. Векторные линии характеризуют не только направление, но и величину поля.
Плотность нх больше там, где величина поля больше (рис. П.З). Дифференциальными характеристиками векторного поля являются: 1. Дивергенция, или расходимость вектора дЛ, дЛ, а~, йч А = (ЧА) = Ч,А, = — '+ — ~+ — з. дх, дх, дх, 2. Ротор, или вихрь вектора е, е, д д д (1 (з )з го1А =(7А) = Математические и физические дополнения 300 Производные второго порядка: йч 8гадф = (ЧЧгр) = Агр, (П.8) д' а' д' где А = Ч~ = — + †+ — оператор Лапласа в декартовой системе коор- 2 дкз длз динат (лапласиан), гоГ йгад гр = [ЧЧгр) = О, (П.9) йч гог А = (Ч[ЧА]) = 0„ (П.10) гоГ гоГ А = [Ч[ЧА]] = Ч(ЧА) — А(ЧЧ) = йгад йч А — ЬА, (П.11) йгад(григ) = Ч(григ) = грЧцг+ цгЧгр = гайгай цг+ цг йгад гр, йч(гРА) =(Ч(гРА)) =гР(ЧА)+ А(ЧгР) = <РйчА+ А8гад<Р, (П.12) гог(грА) = [ЧгрА] = гр[ЧА)+ [АЧгр) = гр гог А+ [А йгад ~р), (П.13) йгад(АВ) = Ч(АВ) = Ч(А,В) + Ч(АВ,).
Здесь индекс «ся означает, что величина с этим индексом при взятии производной считается постоянной. Согласно формуле (П.4) [А[ВС)] = В(АС) — С(АВ) Ч(А,В) = В(АЧ)+ [А[ЧВД Ч(АВ,) = А(ВЧ) + [В[ЧА)). Таким образом, йгас$(АВ) =(А17)В+(ВЧ)А+ [АгоГВ)+ [ВгоГА], йч[АВ] = (Ч[АВ)) = В[ЧА] — А[ЧВ) = В гог А — А гогВ, гог[АВ) = [Ч[АВ)) = [Ч[А,ВД+ [Ч[АВ )). Воспользуемся формулой (П.4) [А[ВСД = В(АС) — С(ВА) (П.14) (П.15) [Ч[А,В]) = А,(ЧВ) — В(ЧА,) = Айч В-(АЧ)В [Ч[АВ,)] = А(ЧВ,) — В,(ЧА) =(ВЧ)А — Вйч А. Окончательно гог[АВ) =(ВЧ)А-(АЧ)В+АйчВ-ВйчА. (П.16) Циркуляция и поток вектора.
Криволинейным интегралом векторной функции А(г) называется интеграл от скалярного произведения вида 3Ад1, где Ь вЂ” кривая (путь интегрирования); д! — направленный элемент кривой. Выражение (П.17) является скалярным и представляет работу векторного поля А вдоль кривой Е. П 2 Векторный анализ к, Рнс. П.5. К определению потока вектора через поверхность Я Рнс. П.4. К определению цирку- ляции вектора Если контур В замкнутый (рис П.4), то интеграл, взятый по замкнутому контуру Т„называется циркуляцией вектора; записывается в виде ) Асй.
к Если одно из направлений нормали пк принять за положительное, то за положительное направление обхода контура В принимается правое вращение по отношению к этому направлению нормали. Потоком У еектора А через поверхность Я (рис. П.5) называется поверхностный интеграл от скалярного произведения У = ~АдБ= ~А„ЙЯ, где Я вЂ” поверхность интегрирования; дБ — направленный элемент поверхности, направление которого совпадает с направлением внешней нормали к поверхности, а величина его равна оо, т. е. ЙБ~пк оЯ. Поток вектора — скалярная величина, характеризуемая числом силовых линий, пронизывающих поверхность.
Если поверхность замкнута, то Ф= ~Ао'Б = )" Аной. ) Ай = ) гогАЙБ ! ° я (П 18) или Теорема Стокса Циркуляция вектора А по замкнутому контуру равна потоку го1 А через поверхность, опирающуюся на зтот контур Математические и физические дополнения 302 ~Ад1 = ~ гог„АОЯ. тать постоянным, то ) Ад! = гог„АЛЯ. с В пределе при ЛЯ -+ 0 ~Ад! тот„А= 1пп АУ-+О д,Я (П.19) Вектор всегда больше своей проекции. Проекция го!„А будет наибольшей, когда пе совпадает с го!А. Очевидно, го!А направлен по нормали к плоскости, в которой циркуляция вектора максимальна. Модуль вектора гогА в данной точке поля равен пределу отношения циркуляции вектора А по границе площадки, проходящей через зту точку и совпадающей с плоскостью, где циркуляция максимальна, к величине площадки, когда она стягивается в зту точку.
Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора А через замкнутую поверхность Ю равен интегралу от йчА, взятому по объему Г, ограниченному этой поверхностью, т. е. ) АЙБ = )д1чАЙЧ. 8 г (П.20) Если объем ЛГ так мал, что в любой точке можно йч А считать постоянной, то ~ А ЙБ и йч АЬУ. В пределе йчА= 1пп з аг о дР (П.21) Дивергенция вектора А в данной точке равна пределу отношения потока вектора А через замкнутую поверхность Я, содержащую внутри себя зту точку, к объему 1; ограниченному поверхностью Я, когда она стягивается в точку. Дивергенция — скалярная величина, характеризующая интенсивность источников или стоков поля.
Те точки поля, где йкА < О, называются стоками поля, векторные линии сходятся к этим точкам; те точки поля, где йч А > О, называются источниками поля, векторные линии расходятся из этих точек. Если йч А = О, то поле не имеет ни источников, ни стоков. где го!„А — проекция го1 А на направление нормали пе к поверхности Я. Если поверхность Ау столь мала, что во всех ее точках го!„А можно счи- П2. Векторный анализ 303 Классификации векторных полей. Потенииальное поле — это безвихревое поле, для которого го! Е = О.
(П.22) При этом Е = — ягж1 ~р, (П.23) так как согласно (П.9) го! ягай <р = О. Функция у называется потенциальной функцией, или потенциалом поля. Потенциал поля определяется неоднозначно, так как ягад(у+ с) = бган ~р. Знак «минус» в (П.23) взят потому, что линии поля Е направлены в сторону убывания потенциала. В потенциальном поле йчЕ~О и, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ЛфиО.
Так как го! Е = О, то согласно теореме Стокса ) Ей! =О. Физически это означает, что работа вдоль замкнутого контура в потенциальном поле равна нулю. Согласно теореме Остроградского — Гаусса ~ЕбЯ аО, т. е. поток вектора через замкнутую поверхность не равен нулю. Соленоидальное поле — поле, в котором нет источников и стоков йтВ = О.
(П.24) Соленоидальное поле можно характеризовать векторным потенциалом А В = го! А, (П.25) так как согласно (П. ! 0) д(иго!А = О. Векторный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ЬА и О, Так как го! А ~ О, то согласно теореме Стокса ~АЙ! иО, т. е. в соленоидальном поле работа вдоль замкнутого контура не равна нулю. Согласно теореме Остроградского Гаусса Математические и физические дополнения 304 т. е.
поток вектора В через замкнутую поверхность равен нулю. Из этого следует, что линии поля вектора В или замкнуты, или уходят в бесконечность. При условии гог С = 0 и д)ч С = 0 поле вектора С является безвихревым, не имеет источников и стоков. Такое поле называется лапласовым и характеризуется одновременно векторным и скалярным потенциалом С = — 8гад Зр = го2 А, которые согласно (П.8) и (П.11) при условии д(ч А = 0 удовлетворяют уравне- ниям Лапласа А<р= О, ЬА =О. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.
Дифференцирование в криволинейных ортогональных координатах. Положение точки М в пространстве определяется радиус-вектором г, координаты которого д3, »уз, дз зависят от принятой системы координат. Положение точки в пространстве можно однозначно определить пересечением трех поверхностей (рис. П.б), которые называются координатными. Пересечение двух поверхностей дает линию, называемую координатной, значение двух координат на этой линии постоянны, а третья меняется. Координаты точки д3, дз, дз называются криволинейными. Наиболее распространены ортогональные криволинейные системы, в которых касательные к координатным линиям в каждой точке пересекаются под прямыми углами.
Эти касательные называются координатными осями; направление их меняется от точки к точке. Рис. П.б. Координатные поверхности, линии и оси ортогональной криволинейной системы коор- динат В общем случае координаты точки в обобщенной криволинейной системе связаны с координатами прямоугольной декартовой системы уравнениями 333 = 3)3(Х,,ХЗ> ХЗ) чз — ч2(х~» «2» «3)» 333 ЧЗ(«1> «2> «3)> и наоборот «3 «3(ч >32 чз) «2 «2(ч3» чз» чз)» «3 хз(ч!» ч2» чз)» П.2. Векторный анализ 305 й, = 12, «1д, (1 = 1, 2, 3), (П.26) где 12, зависят от вида координат и называются коэффициентами Ламэ (повторе- ние индекса не означает суммирования).
Действительно, элемент длины «11! ко- ординатной линии где д»! д»2 д», б»! = — «19«1 б»2 = — о9„0»3 = — «19!. д9! д9! дд! Отсюда «)1! = «19! = 12! «1«2!. Аналогично «112 122 «1«22 ~ «113 23 МЗ На основании этого коэффициенты Ламэ можно записать в виде (П.27) Интервал между двумя точками (П.28) Элементы координатной поверхности: «1е! «112 «113 122 23 «'«12 «'«13> «ззз = «31! «113 = 12«133 «3«1! «1«13 «(зз «111 «112 12«122 «1«1! «~«12 (П.29) Элемент объема «)!' = «(е! «11! = «132 «112 = «)зз «313 = ««А133 «3«2! «2«12 «1«13 (П 30) С помощью полученных соотношений проведем дифференцирование в криволинейной системе координат, В соответствии с выражениями (П.5) и (П.2б) получим В криволинейной системе координат изменение координаты д, на «1д, приводит к перемещению «11, вдоль координатной линии: Математические и фиэические дополнения 306 ягаз), ф = — = — —, йр 1 дзр д1, Ь,дЧ, д~р 1 дзр ягадз <р = — = — —, д1з Ьз дЧз д~р ! дзр ятадз (р = — = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
