Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 7
Текст из файла (страница 7)
др д1 Подставляя (1.31) в (1.24) и (1.25), получим д'Х Е = -а,р, — + 8габ йч Х, ' дг' д Н=е,— го1Х. 'дг (1.34) гдег — произвольная функция от координат и времени, то Е и Н не изменяются. Таким образом, преобразование потенциалов вида (1.30) не изменяет поля. Такая инвариантность называется градиентной. При наложении калибровочного условия (1.27) электромагнитные потенциалы определяются однозначно. Вектор Герца.
Потенциалы А и у, удовлетворяющие условию калибровки (1.27), можно выразить через вектор Х вЂ” поляризационный потенциал или вектор Герца: 1 9 Уравнения ноля в частных производных второго порядка 37 Сравнивая полученные уравнения (1.22), (1.23), (1.28), (1.29) и (1.33) для напряженностей поля Е и Н, потенциалов А и 9, вектора Герца Х, видим, что все эти величины удовлетворяют одинаковым уравнениям вида 1 д~я др = х о д1 где 1 Х=Х(Р ~~г)» с(вара Решение уравнения (1.35) дано в приложении и имеет вид (П.79) Г -")„ 4к) г Учитывая в (1.22), (1.23), (1.28)„(1.29) и (1.33) значение Х(г — г/и), получим следующие выражения: для запаздывающего скалярного потенциала 9(г) = — ~ 1 Гр(г-г/о) дУ, 4ка, .~ г к для запаздывающего векторного потенциала Н. ~4(г-г/о) д„ 4к.) г для запаздывающего потенциала Герца 1 Г р(г-г/о) 4ка,З г к (1.36) (1.37) (1.38) В большинстве практических случаев объемное распределение токов и зарядов можно заменить их линейным распределением по проводнику, тогда выражения (1.36) и (! .37) примуг вид д(г) = — ~ 41, 1 Г т(1 — г/и) 4ке,г г А()= — "Р(' "/")Л, 4 к.) г (1.39) (1.40) где т — линейная плотность заряда; 1 — ток.
Из полученных выражений видно, что потенциалы в любой точке переменного поля, отстоящей от источника на расстоянии г, в любой момент времени 1 определяются плотностью зарядов и токов источников в предшествующий мо- 1. Основные характеристики и уравнения полл и среды мент г — г/и. Поэтому эти потенциалы называются запаздьвающими. Здесь г/ив время, необходимое для распространения поля от источника к исследуемой точке. Электромагнитное поле возбуждается зарядами и токами проводимости и 1 распространяется от места возбуждения с конечной скоростью и = .
В ~й,н, воздухе скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света. 1.10. Классификация электромагнитных полей Классификация электромагнитных полей основана на зависимости векторов поля Е и Н от времени. Нестациоиврное поле, или быстро изменяющееся во времени поле, создается неравномерно движущимися зарядами.
Это поле в линейной среде описывается всей системой уравнений Максвелла (1 — 1У) и волновыми уравнениями (1.22), (1.23), (1.28), (1.29), (1.33). Электромагнитные потенциалы и напряженности поля связаны соотношениями (1.24) н (1.25). Уравнения состояния для сред записываются в форме (1.7), граничные условия приведены в 8 1.7. дР дВ Очевидно, при быстро изменяющемся во времени поле члены — и — в дг дг уравнениях Максвелла (1) и (11) значительны, т. е. электромагнитное поле в этом случае может распространятся вдали от зарядов и токов, создающих поле. Квазистационарное, или медленно изменяющееся во времени поле, также создается неравномерно движущимися зарядами (Л = Л(г)).
Однако скорость изменения процесса в этом случае много меньше, чем в предыдущем. Квазистационарное поле описывается теми же уравнениями Максвелла, что и нестационарное. Изменяется лишь первое уравнение. При наличии тока проводимости в этом уравнении можно пренебречь током смещения, так как для квазистацио- дР парных процессов — «Л. дг В этом случае уравнение Максвелла (1) будет иметь вид ГОГ Н и Л. Остальные уравнения останутся без изменения.
Излучение во внешнее про- дР дВ странство электромагнитной энергии из-за малости производных — и — недг дг значительно. Электромагнитное поле концентрируется около зарядов и проводников с током. д'А д'~р Учитывая малость — и — по сравнению с другими членами, можно дг' дг' переписать уравнения Даламбера в виде: 39 1.10. Классификация электромагиитиык полей ИаА ) Ар =-ИеЛ (1.41) Решение этих уравнений, называемых уравнениями Пуассона, имеет вид: А(г,г) = — '~ — бр', р, Г.)(г) 4к э' ср(г, г) = — ~ — <И'. г р(г) 4яв, г (1.42) Выражения для напряженностей поля через электромагнитные потенциалы„ уравнения состояния среды и граничные условия те же, что и в случае нестацио- нарного поля.
Понятие быстроты электромагнитного процесса относительно. Если область достаточно мала, то при любой скорости изменения процесс, протекающий в ней, можно рассматривать как квазистационарный. В области же, значительной по размерам, проявятся все особенности этого процесса как быстроперемен- ного.
К квазистационарным полям относятся поля, создаваемые переменным током, текущим в проводах. Стационарное поле — поле, не меняющееся во времени, создается равно- мерно движущимися зарядами (поле постоянного тока 1(г) = сопм). Это поле дВ дВ описывается уравнениями Максвелла, в которых — = — = О дг д~ го1Н=Л, п1чВ=р, гог Е = О, 01т В = О. Излучение электромагнитного поля отсутствует. Стационарное поле созда- ется около проводов, по которым течет постоянный ток. Уравнения состояния среды и граничные условия не изменяются. Электро- магнитные потенциалы находятся решением уравнений Пуассона р„(,1 А(г) = — "~ — оР', 4яэ' г ср(г) = ~1 — о'г'.
Гр (1.43) 4яв, э' г Напряженности поля связаны с электромагнитными потенциалами согласно (1.24) и (1.25) соотношениями 1 Н = — го~А, Е=-ягас1ср. Ни Уравнения стационарного поля не являются какими-то приближениями ис- ходных уравнений Максвелла, а точно соответствуют определенному частному случаю. 1. Основные характеристики и уравнения ноля и среды 40 Статические поли характеризуются независимостью от времени и полным отсутствием движения зарядов (т. е. Л = О).
Исходные уравнения и граничные условия электродинамики в этом случае имеют вид: го1Е =О, йтР=р, Р= а,Е, Е,<п = Е,<п, РМΠ— Ю„<п =и (1.44) гогН = О, йтВ=О, В=р,Н, Н,(0 =Низ), В„О> — В„„У (1.45) Таким образом, уравнения разбиваются на две независимые системы; в одну из них входят только электрические величины, в другую — только магнитные.
Уравнения (1.44) описывают электростатические поля. Так как го1 Е = О, то поле потенциально и Е = — йгадф, где ~р — электростатический потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона М~ = -Р/еа. Решение этого уравнения дает ~р(г) = — ~ — оГ. 1 Гр 4лв,.1 г ' г Уравнения (1.45) описывают магнитостатические поля. Первое уравнение позволяет формально записать Н=-йг д рм, где ~рм — магнитостатический потенциал, который, как видно из второго уравнения (1.45), удовлетворяет уравнению Лапласа. Так как граничные условия для Н совпадают с граничными условиями для Е электростатической задачи, то решения магнитостстической задачи совпадает с решениями соответствующей электростатической-задачи и могут быть получены из них простой заменой Е на Н и е, на р,. 1.11.
Электродинамики движущихся сред 41 1.11. Электродинамика движущихся сред Приведение законов электродинамики к релятивистскому виду заключается в представлении этих законов в четырехмерной векторной форме. Такое представление определяет ряд физических зависимостей между отдельными величинами, важных для более глубокого понимания электромагнитных процессов. Пространство и время представляют собой единую физическую сущность— четырехмерное пространство — время. Пространство и время не утрачивают своей качественной специфики, но в то же время они взаимосвязаны и изменяются одно в зависимости от другого. Пространственные и временные характеристики электромагнитного поля зависят от движения заряженных тел.
Это не простое соединение электрического и магнитного полей, а глубокое диалектическое единство качественно разнородных и одновременно тесно связанных между собой форм существования материи. Обладает ли среда свойствами диэлектрика или магнетика зависит от того, находится она в покое или движении. Но это объясняется не качественным изменением параметров среды, а их относительностью. Магнитогидродинамические генераторы, электромагнитные насосы, ускорители элементарных частиц и т. д. представляют устройства, с которыми все чаще приходится сталкиваться инженеру-радисту. Для ясного понимания принципа действия этих устройств и их расчета совершенно необходимы современные представления в области электродинамики движущихся сред. 1.12.
Уравнение непрерывности преобразования тока и заряда Перепишем уравнение непрерывности (Ч), приняв Х = рч (ч — скорость движения зарядов), в виде Йч рч+ — = О. ар (1.46) дг Преобразуя это уравнение к четырехмерному виду (см. 8 П.3), получим Ч,ри, + — (1 = 1, 2, 3). д/ср дх4 Таким образом, вектор рч и скаляр асср можно рассматривать как три пространственных и одну временную составляющую четырехмерной плотности тока в =(Ри~ Риз Ром,|ср~)* (1.47) при этом (1.4б) переходит в уравнение (3,7,= 131ча = О, (1.48) где а а а а 0= — е~ + — ез + — ез + — е4 дх1 дхг дхз дх4 за мв 1. Основные характеристики и уравнения поля и среды К' 0' Рис. 1.6.
Движущиеся ииерциальные системы — пространственно-временной оператор, соответствующий оператору Гамильтона "7, применяемому к вектору в трехмерном пространстве, и называемый 4-дивергенцией (в отличие от обозначения д1у в трехмерном пространстве обозначается как П(ч), Пользуясь четырехмерным представлением плотности тока (!.47), можно видеть„как ои меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой (рис. 1.6, а). Пусть в системе К имеется ток плотности Л и неподвижный заряд с плотностью р и система К движется относительно системы К' со скоростью и в направлении оси О'х,'.
Матрица преобразования Лоренца от движущейся системы координат к неподвижной (П.59) имеет вид — /и/с Я:"нт О 12 ьЗУЗ О [аь)= у и/с ,ГР/7 ,ГРУГ Отсюда .У, — 1'и/с.У, 1 2 2 ' '12 'УЗ~ 1-и /с У4 +уи/с У1 'УЗ 'Уз 'У4 1-и /с Учитывая, что У4 — — 1рс и У4 — — Ур с, и переходя к произвольному направлению движения, получим 1 12. 'Уравнение непрерывности преобразования тока и зарида 43 Л„+ нр Л„'= Л '77' 1 Р+ —,(п,У1) с 77:.ж (1.49) Здесь в индексах значками 11 и .1.
обозначены параллельные и перпендикулярные направления вектору и. Плотность тока, наблюдаемая в неподвижной системе К' в направлениях, перпендикулярных направлению движения, равна плотносги тока, наблюдаемой в движущейся системе К. Плотность тока, наблюдаемая в системе К' в направлении, параллельном направлению движения, отличается от наблюдаемой в движущейся системе К. Эта плотность тока не равна нулю, когда ток в движущейся системе отсутствует ир Плотность заряда, наблюдаемая в системе К', отличается от таковой в движущейся системе К. Если токи в системе К отсутствуют, то Р Г '77' 'Г' нг а'=р'Г= г г 1 — и 1с Следует отметить, что плотность движущегося заряда увеличивается вследствие Лоренцова сокращения, Заряд же, в частности, заряд электрона, остается постоянным в любой системе, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
