Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Основные характеристики и уравнения лола и среды д~р д гв,Е +р,Н где — = — ~ ' оК вЂ” изменение энергии в единицу времени в объдг дг, 2 ~г еме К; Д = ~ — оК вЂ” мощность, преобразуемая в тепло по закону Джоуля— и Ленца (потери); Р' = — ~ЛЕ аà — мощность сторонних источников. Если к Р < О„источники отдают энергию полю, если Р > 0 энергия поля переходит к источникам. Под токами сторонних источников понимают токи, которые в системе уравнений считаются заданными, возбуждающие электромагнитное поле, но создаваемые иными причинами, иным электромагнитным полем, чем поле, описываемое уравнениями.
Для создания электромагнитного поля обычно используют излучающий элемент (антенну), энергия к которому подводится от генератора соединительной линией. Строго говоря, источником электромагнитного поля являются все токи сложной системы: генератор, линия, излучатель. Однако при решении задач считают, что источником поля являются лишь токи излучателя, так как практически генератор и соединительная линия полностью экранированы и участия в образовании электромагнитного поля во внешнем пространстве не принимают.
Поэтому генератор и соединительную линию при исследовании электромагнитного поля из рассмотрения можно исключить, считал, что они играют лишь роль источника сторонней напряженности поля Е, приложенной непосредственно к излучателю (Е также считается заданной). Если Р <О, то ) П(Б + — +Д=Р д6' дг т. е. мощносп сторонних источников, распределенных в исследуемом объеме, расходуется на тепло, выделяющееся в этом объеме, изменение энергии в ием и излучение через поверхность, ограничивающую этот объем.
Если Р >О,то — ~ПЙЯ = — +Я+Р д6' дг т. е. приток мощности через поверхность, ограничивающую исследуемый объем, расходуется на тепло, выделяющееся в этом объеме, изменение энергии в ием и возбуждение сторонних источников, размещенных в этом объеме. 1.9. Уравнения поля в частных производных второго порядка 31 1.9. Уравнения электромагнитного поля в частных производных второго порядка (волновые уравнения) Уравнения для напряженностей поля. Первое и второе уравнения Максвелла с учетом уравнений состояния среды (1.7) можно переписать в виде дЕ дР гогН = во — + — + Л, д1 д1 дН дМ го1Е = Но Но д1 д1 (1.16) или с учетом (1.7б) „дЕ дР го1 Н = в", — + — + и" Е+ Л + Х д1 д1 (1.16а) „дН дМ Нр Но дг д1 Для определения волнового уравнения напряженности электрического поля возьмем гог от обеих частей второго уравнения системы (1 16) д д гоГ гог Е = -Но — гог Н вЂ” Но — го1 М.
д1 д1 Подставляя сюда гогН из первого уравнения системы (1.16), получаем волновое уравнение д'Е д'Р д,1 д гоГ го1 Е + Ново = Но з Но Но го1 М' (1.17) дг1 д1', д1 дг Первый и третий член правой части уравнения (1.17) характеризуют дополнительные источники поля в виде токов поляризации и намагниченности, так как плотности этих токов определяются выражениями др Л„ д1 ' ,)„,„= го1 М, где Л„,„— плотность тока поляризации; Л„,„— плотность тока намагниченности.
Действительно, элементарный магнитный диполь можно представить как ток 1, протекающий по контуру, ограничивающему элементарную площадку оЯ. При этом магнитный момент магнитного диполя определяется выражением ш =1дБ, по=М<У', где <1 Р— элементарный объем. 1. Основные характеристики и уравнения ноля и среды 32 Если намагниченность среды однородна, то токи на общих границах соседних контуров, текущие в противоположные стороны, взаимно компенсируются, и суммарный магнитный ток равен нулю. Если намагниченность неоднородна, то токи, текущие в соседних контурах, неодинаковы, и компенсации не происходит. При этом суммарный магнитный ток не равен нулю. Рассмотрим для простоты случай, когда намагниченносп направлена по оси хз, т.
е. М=(О,О,МЗ), Рис. 1.5. К определению тока намагниченности т' М, 11Р Мз дх, дх2 дхз ДБ Ы дх1 ДХЗ дМз Мз + (хг Йх1 Йх2 (1хз т" 1 дх1 дх Ток на общей границе контуров дМ, 1, = 1," -1„' = — 'дх1 дхз, 1 соответствующая плотность тока З„дМ, дх1 дхз дх, В общем случае М=(М1» МЗ Мз)» Л„= гогМ, Если свободные заряды отсутствуют (р = 0), то д(н В = О и согласно (П.11) гоГ гоГ Е = йгад Йз» Е вЂ” АЕ = — ЬЕ. При этом волновое уравнение (1.17) будет иметь вид д Е д'Р дЛ д ЬŠ— Ново 2 =Но 2 +Но +Но гоГМ.
дг дг дг дг (1.18) что соответствует расположению контуров элементарных диполей в плоскости Ох1х2. Рассмотрим два контура с токами 1„' и 1'„" (рис. 1.5). Если намагниченность среды неоднородна,то токи 1„',„ и 1„' неодинаковы 1.9. Уравнения поля в частных производных второго порядка 33 Аналогичным образом, взяв го1 от обеих частей первого уравнения системы (!.1б) и подставляя го1Е из второго уравнения, получим волновое уравнение напря2кенности магнитного поля д2Н д дР го1 го1 Н+ Ново —, = — О,Н, — го1 М+ го1 — + гог.л дг' дг дг или с учетом того, что йчН=О, получим д'Н д аР ЬН вЂ” 12оао †, —— Ново — гогм — го1 — — го1 Х.
О О дг2 О О дг дг (1.19) Аналогичным путем можно получить волновые уравнения для напряженностей поля Е и Н нз системы (1.16а) л лдЕ л ад'Е го1 го1Е+ Н,"о" — + Н",е",—,= дг ' ' дг' , а'Рлл „ал- „ал" а На 2 На На НΠ— 2 01М дг дг дг дг л „дН „„д'Н го1 го1Н+Н,а — +Н,е,—,— дг ' ' дг2 а'м-, ам- ар- = — е",Но — о'Но + го1 + гога + го1Л дг дг дг (1.17а) л,дЕ л,дЕ ЬŠ— Н,"о' — — Нла, '— = дг дг „дР,дЛ „дЛ д =Н,— +Н,— +Н,— +Но го1М д 2 дг дг (1.18а) „лан л ла'Н ЬН-Н,"а" — — Н",а, "— = дг ' ' дг' д М, дМ дР = а",Н, 2 + о'Но — - го1 — — гога - го1Л дг дг дг (1.19а) 4 Зал !Оо Здесь члены, содержащие Р~, М, Л, можно рассматривать как дополнительные источники поля, порождающие различные нелинейные эффекты (появление гармоник, смешение частот, выпрямление и т. д.) В случае линейной среды уравнения (1.18а) и (1.19а) имеют вид л лдЕ ллдЕ дЯ Наа Нага 2 На ! дг ''дг2 ' дг 1.
Основные характеристики и уравнения поля и среды 34 „дН,„дН ЬН вЂ” Н',о" — — Н',а, "— = — гог 3 дг ' ' дг~ (1.21) или, так как „дЕ „дЛ, дЛ Нао + На =На дг ' дг ' дг Н„о — — го1Л = — о го1Š— гоГЛ вЂ” готЛ, , дН СТ ст дг , „д'Е „дЛ Н,а = Н, а дг2 к дг , „д'Н ЬН-Н'в" — = -гого. кв дг2 (1.22) (1.23) следует, что поле магнитной индукции соленоидально, и вектор В можно представить в виде В = го1А, где А — векторный электромагнитный потенциал. Если среда линейна, то 1 Н = — гоГА.
На (1.24) Подставляя (1.24) в (11), получим гог Е+ — =О. Согласно (П.9) Е+ — = йгад( — ср). дА дг Отсюда дА Е = — ягаг) (р — —, дг (1.25) где у — электромагнитный скалярный потенциал. Векторные уравнения (1.22) и (1.23) эквивалентны шести скалярным, в то время как уравнения Максвелла (1 — Ж) эквивалентны восьми скалярным уравнениям. Неоднородные векторные уравнения (1.22) и (1.23) называются неоднородными векторными волновыми уравнениями, или уравнениями Даламбера. Уравнения длн электромагнитных потенциалов.
Эти уравнения получим для линейной среды. Из уравнения Максвелла (1У) йуВ=О 1.9, Уравнения поля в частных производных второго порядка 35 Потребуем, чтобы Е и Н, выраженные через А и в1, удовлетворяли уравнению (1). Подставим (1.24) н (1.25) в (1) д/ дА гоггогА = р,Л+ а,)х, — ~ — — — агадир . дг 1. дг Преобразуя гоГ гог А по формуле (П.11), получим ЬА+а и +'р МА+в р — )=1х Л, дхА / ду'~ ' ' дг' ' дг (1.26) Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным, связывающим четыре скалярных величины А, и у.
Для того чтобы решить уравнение (1.26), необходи- мо ввести дополнительное условие для потенциалов А н у, называемое условием калибровки ч А+ а,)х, — = О. дф де Тогда (1.26) переходит в уравнение д'А ЛА — в и — =-р Л. в дгх Я (1.27) (1.28) А' = А + агад 7', т' =ге дг ' (1.30) Уравнение для гр найдем подстановкой (1.25) в (1П) д р — — УА — Ь<р = —, дг аа подставляя значение ЧА, из(1.27) получим Лгв-а 1х — =-— д'д р в дгх (1.29) Уравнения (1.28) н (1.29) представляют собой неоднородные волновые уравнения, связывающие скалярный и векторный потенциалы с величинами плотностей заряда р и тока Л. Введение электромагнитных потенциалов А и ~р упрощает решение задач электродинамики, так как решение уравнений сводится к определению четырех величин (трех проекций А и ~р) вместо шести (проекций Е и Н); Е и Н находятся простым дифференцированием выражений (1.24) и (1.25). Два поля физически тождественны, если они характеризуются одними и теми же векторами Е и Н.
Если заданы потенциалы А и у, то согласно (1.24) и (1.25) однозначно определены Е и Н, а значит, и поле. Однако одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Если в выражения (1.24) и (1.25) подставить 1. Основные характеристики и уравнения поля и среды 36 дХ А=в,р,—, ф = — ЙчХ. ' 'дг (1.31) Эти выражения удовлетворяют уравнению калибровки (1.27).
Подставляя выражения (1.31) в уравнение (1.28) или (1.29), получим дел, ' д~!,) е, (1.32) или д'Х р еаНа д~1 (1.33) где вектор р = ) Ю й — называется вектором поляризации по аналогии. С током свободных разрядов он связан также Я=в др дг как истинный вектор поляризации Р (вектор поляризации единицы объема диэлектрика) с током поляризации дР Л дг По существу вектор р отличается от вектора Р. Вектор р определяется неопределенным интегралом, причем постоянную интегрирования можно принять равной нулю, так как достаточно, чтобы вектор Х удовлетворял условию (1.32), а оно будет удовлетворяться независимо от того, будет ли к интегралу приписана постоянная или нет (так как Л = — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
