Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для большинства диэлектриков (не обладающих сегнетоэлектрическнмн свойствами) — ( 10 " м/В Хэ! ХнЕ » ХмЕ »ХнЕ » ... В данном случае символический метод непосредственно не применим, но выражение (2.1) можно представить в виде (П.68) 55 2.1. Основные уравнения Е+Е Е= —, 2 (2.4) где Е=Е е'~ =Е„е"~ы'"еЗ, Е = Е е '"' = Е е л""Явз ражение (2.3), получаем: Х," + — "(Е'+2ЕЕ +Е')+ 2 4 Подставляя (2.4) в вы Р=а + Хп (Ез+ЗЕзЕ'+ЗЕЕ'з+ Е'з)+ 8 Хяз (Е4 + 4ЕЗ Е' бЕзЕ'з 4ЕЕ~З Е'4) 16 (2.5) Ез Ез зз0«+ зе> Ю \ Е~з нз -зз(ынрез =Е е В то их сумма Е' + Е ' = 2Е„', соз(2взт+ 2сз .). Найдем их произведение 2ЕЕ =2Е . Таким образом, выражение (Е' + 2ЕЕ + Е ') содержит постоянную составляющую и составляющую с удвоенной частотой (второю гармонику).
Аналогично зтому, анализируя выражение Е +ЗЕ Е +ЗЕЕ +Е, нетрудно убедиться в том, что оно содержит составляющие с частотой сз и Зсз. Группируя члены, соответствующие постоянной составляющей, первой гармонике, второй гармонике и т. д., преобразуем выражение (2.5) к следующему виду: 0 Р=Р"(сз)+ ~~ Р (нсз), нее где я Р'(щ)=ве — '(Е+Е ) 2 Анализируя структуру выражения (2.5), можно заметить, что в результате перемножения различных степеней Е и Е кроме составляющей с частотой аз появились постоянная составляющая, составляющие с удвоенной„утроенной и т.
д. частотами. Рассмотрим, например, выражение Е'+2ЕЕ +Е, входящее в формулу (2.5). Поскольку 56 2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде — составляющая поляризации, линейно зависящая от амплитуды действующего поля и характеризующая лишь линейные эффекты; Р (нег) =Р„, (нег)созл(сгг+4ге) — составляющие поляризации, нелинейно зависящие от действующего поля (определяющие нелинейные эффекты), в том числе; Р (О) = е, — "Е' + — Х„,'' + ...
— постоянная составляющая поляризации„ Р (сг)=во(ХзФюЕп+ХэгЕзпЕт +-)~ Р„(2щ) = ел(Хл1 Е + Х,г Е Е' ч -) — комплексные амплитуды нелинейных составляющих поляризации с частотами а, 2ег, 3сг, ..., где Х",," — коэффициенты, определяемые через коэффициенты у „, Х,, ... разложения (2.3). Аналогично можно показать, что если в спектре источника содержится несколько составляющих, то в спектре поляризации будут не только гармоники этих составляющих, но и составляющие с комбинационными частотами.
Намагниченность магнетика можно представить в виде суммы М=М'+Мл", где М' =ХМН, л г 3 4 =ХмгН +ХмгН +ХмзН +-. В случае монохроматического источника поле у источника представим в виде Н + Й Н„е'"'+ Н е '"' 2 2 намагниченность М=Хм + и'(Н +2НН +Нг)+ л Н+Н Хьи 'г 2 4 + Хмг (Нг+3НгН +3НН г+Н г)+ 8 или М=М""(О)+М"(сг)+М (со)+М (2сг)+М (Зсо)+... Таким образом, намагниченность нелинейного магнетика также содержит удвоенные, утроенные и т.д. частоты и постоянную составляющую.
При действии немонохроматического источника появляются комбинационные составляющие. 2.1. Основные уравнения Аналогичным путем можно получить выражение для нелинейной плотности тока: У=/ (О)+У"(а)+Л (а)+,1 (2а)+... Согласно уравнениям Максвелла (1.16) и волновым уравнениям (1.18) и (!.19) нелинейные составляющие поляризации, тока и намагничивания в свою очередь возбуждают гармоники поля, а если в спектре источника имеется несколько гармонических составляющих, то и комбинационные составляющие. Таким образом, если источник монохроматический Л = Л„соя(аг+ ~р, ), то в нелинейной среде векторы Е, Н, Р, М и Л можно представить в виде суммы гармонических составляющих О Е= — ,'ГЕ (па)е'" ', 2„ Ф Н= — 2 Н (па)е' 2„„ Ю Р = — ~~Г Р (па) ен"', 2„.„ (2.6) О М = — ,') М (иа)е' ', 2„.
3 Л = — ~~ Л (па)е~"'. 2„. гогН (па) =1па[в,"(па)Е (па)+Р (иа)1+3 (па)+Л (иа),1 (2.7) го1Е (па) =-1пар,'(па)Н (па) — 1пар0М (па), л где и = О, х1, х2„хЗ, ...; в,"(па)=а,"(па) — 1'; р,"(па)=р",'(па)— па — 1р,"(па); У„(па) =0 при и м1. Поле в нелинейной среде содержит большое число гармонических составляющих с частотами па, взаимодействующих друг с другом. Например, при составляющих с частотами а и За появляются частоты За+ а = 4а, За — а=2а, За+2а=5а и т.д.
Таким образом, все гармонические составляющие поля взаимосвязаны. Математически зто описывается уравнениями Подставляя выражения (2.6) в уравнения Максвелла (1.16), заменяя дифференцирование по времени умножением на 1па и приравнивая величины, содержащие одинаковые частоты па, получим бесконечную систему уравнений 58 2.
Поле монохроматического источника е неограниченной среде (2.7), в правые части которых входят амплитуды Р (пв), М (нв) и Л (пв)„ причем каждая из этих амплитуд зависит не только от своей составляющей поля с частотой нв, но и от всех остальных гармонических составляющих. Таким образом, все уравнения (2.7) оказываются взаимосвязанными. В случае линейной среды уравнения (2.7) имеют вид госН (в)=Уве,"(в)Е (в)+Х (в), го1Е (в) =-увы",(в)Н (в), (2.8) где е," — комплексная диэлектрическая проницаемость, выполняющая функцию диэлектрической проницаемости проводящей среды.
ва еа у в а о здесь в, = е„е, = —. в Отношение Наличие мнимой части объясняется гистерезисом, т. е. отставанием по фазе вектора В от вектора Н. Отношение ра называется тангенсом угла магнитных потерь. в", о вц вша равное модулю отношения плотностей тока проводимости и смещения, называется тангенсом угла электрических потерь среды 'Упр и 188, = — = —. ,У,„вв, Мнимая часть комплексной проницаемости в, может быть обусловлена не только проводимостью, но и явлением гистерезиса„т. е.
запаздыванием по фазе вектора Р относительно вектора Е. Оба эти фактора приводят к выделению тепла в веществе, т. е. потерям. Разделение сред на проводники, полупроводники и диэлектрики может быть произведено по значению 188,. Так, если,У„, ».У,„, т. е. 18 б, » 1, то током смещения можно пренебречь и такую среду рассматривать как проводник. Если ток смещения значительно больше тока проводимости, то 18 8, «1, и такую среду можно рассматривать как диэлектрик. Если токи проводимости н смещения примерно равны, то 188, м 1, и среда является полупроводником.
Магнитная проницаемость также является комплексной величиной На На у1за' 2.1. Основные уравнения 59 Уравнения Максвелла (2.8) при отсутствии стороннего тока (а" = О) имеют вид гогН (в) = сае,"(в)Е„(в), гойЕ (в) = — уа)с",(в)Н (а). Система уравнений не изменится, если Н„заменить на Е, е," на — и,". Это свойство уравнений называется перестановочной двойственностью. Волновые уравнения в символической форме. Подставляя (2.6) в уравнения (1.18а) и (1.19а) и приравнивая члены, содержащие одинаковые частоты па, получим: АЕ (па)+(лв)~е,"(па))с,"(пв)Е (пв) = =-(пв)')с,"(па)Р (па)+ упа[)с',(па)Х""(па)+ + сс: (па)Л" + р, гос М„"," (пв)1, (2.9) йН„(па) + (пв)' е," (пв)р„" (па)Н„(пв) = = — ~па)~ е,'(пв))с М (па) — )пагосР (пв)— -госЛ„'(па)-госЛ (па), (2.10) или АЕ (а)+)с'Е (в)=рэД."(а)Л (а), лН.
(а)+ У~зн. (в) =-гоа~(а), (2.1 1) где к=вД,"р," =в = Р— са — постоянная распространения; 13 — фазовая постоянная; а — постоянная затухания. где п= 0, к1,к2,кЗ, ...; 3 (па) =0 при и ~1. Если в спектре источника содержится несколько частот, то системы (2.9) и (2.10) будут содержать уравнения, написанные для гармоник этих частот и комбинационных частот.
Системы (2.9) и (2.10) представляют собой системы бесконечного числа связанных уравнений. При решении конкретных задач нелинейной электродинамики в зависимости от постановки и желаемой точности решения ограничиваются определенным номером гармоник, так как они быстро убывают с возрастанием номера. Это же относится и к комбинационным частотам. При этом число уравнений сокращается, а сами нелинейные уравнения становятся приближенными.
Если среда линейка, то уравнения (2.9) и (2.10) имеют внд ЛЕ (а)+в е,'(а)Д,"(а)Е„(в)= увы,"(а)Л (в), съН (а)+а'е,'(в)р,'(в)Н (а) = -гог,) (а) 60 2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде Физический смысл этих величин будет рассмотрен в э 2.4. Используя вве- денный в э 1.9 векторный н скалярный потенциалы, перепишем выражения (1.24) и (1.25) в символической форме 1 Н = — госА, )са Е = -йгас( ф -ЗсоА. Волновые уравнения для электромагнитных потенциалов (1.28) и (1.29) в символической форме имеют вид ЬА + lс А = -)с,"Л Ьф+/с~ф= — р /а,'.! (2.12) При отсутствии потерь и выражения (2.12) имеют вид ЛА+ /с~А = -)с"„Л уф+)с ф= — 1) Решения этих уравнений получим, представив (1.36) и (1.37) в символической форме (П.84).
С учетом временнбй зависимости при отсутствии потерь по- лучим л г )и мо-г/ю) 4к г ° и роо-оъ) 4кв", г Для комплексных амплитуд решения имеют вид л г3 ° -)ь ° И.~гЛ е 4я г рот е-жг ф И', 4яе," „~ (2.!3) где Решения представляют суперпозицию сферических волн, расходящихся от точечных источников, сосредоточенных в объеме К 2. Е Основные уравнения 61 Если объемное распределение токов и зарядов заменить линейным распределением по проводнику, то выражения (2.13) будут иметь вид л г уст -жг Н. '7. е б! 4я Л 1 гт„е" 4яе", ~ г с (2.14) где 7„— амплитуда тока в проводнике; т„— амплитуда линейного заряда (Кл/м).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
