Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Затухание энергии электромагнитного поля при прохождении волной пути 1 определяется отношением средних плотностей потока мощности на концах этого участка По(хз) 2ы По(лз + 1) Затухание волны в децибелах (дБ) Е =1О!8ева и 8,бра!. В общем случае, когда направление распространения поля не совпадает ни с одной из осей координат, волновые уравнения имеют вид ЬН+ к~Н = О, ЬЕ+ИЕ=О, а их решения Е=Е е"и ~' а > Н=н„е" "' > где К вЂ” комплексный волновой вектор к = ф- 1а.
76 2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде где 7с — постоянная распространения; а,', н', и а"„н", — действительные и мнимые части диэлектрической проницаемости а, = а', — 7е", и магнитной про- ницаемости Н, = Н', — д~"„или ((вана а!!На) 7(вана + ааНа)1 = (Р а ) ЛаР' Приравняем действительные и мнимые части Р' — а' = оз'(а'.н'. — а".н,'), 2аР = оз'(а',н.' + е".н'.) Решая эти уравнения относительно а и Р, получим Р = озЧаоНо (2.43) а=а,%оно Для обычных диэлектриков и металлов Н' = 1, Н" = О, и формулы (2.43) уп- рошаются ' !!17г~гг ~ 1 .Г!ммвб, Р = озЧаоНо 2 ыЧ~аНо 2 -!' ~'+ ' ~ — ! Д+ч о, а = озЧаоно 2 = ыЧ~айс 2 (2.44) В диэлектриках с малыми потерями ток проводимости мал по сравнению с !! током смещения (о «аа',) 1яб, = —, <10 ' и„следовательно, а — мало. Волна в распространяется на большие расстояния практически без затухания.
Фазовая постоянная Р = «аннов'. Если потери в диэлектрике обусловлены только проводимостью, то о оз Вектор Р определяет направление распространения волны. Он перпендикулярен плоскости равных фаз. Вектор а перпендикулярен плоскости равных амплитуд.
Направление этих векторов может не совпадать. Радиус-вектор г определяет исследуемую точку. Определим постоянные а и Р через параметры среды: 7 =ыЧ'а.й. = (а'.-7а.')(Н'.-Л".) =Р-Л, 77 2.4. Плоская однородная монохроматическая волна 3 Воспользовавшись приближенной формулой (1+а)~ =1+ — для малых а, 2 получим ю2 в+в 1+ г 2в" ! акр в" 60яо а = а~/60НО (2.45) 2 Й' ч'вт Фазовая скорость в диэлектрике с малыми потерями а 1 с Очевидно, в случае диэлектрика с малыми потерями, распространение сигнала происходит с малым затуханием и почти без искажений. В проводниках ток проводимости много больше тока смещения (сэа', «о ) а" » я' н выражения (2.44) имеют вид (2.45 а) В проводящей среде наблюдается большое затухание энергии. Расстояние Л, на котором амплитуда поля убывает в е = 2,72 раза, называется глубиной проникновения (м) Фазовая скорость и длина волны в среде с потерями определяется выражениями (2.38) и (2.39). Очевидно, фазовая скорость и длина волны в среде с потерями меньше, чем в среде без потерь.
В среде с потерями фазовая скорость зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости ие от частоты называется дисперсией., Если гя б, = гя Ь„или е" р' = е'н", то выражения (2.43) имеют следующий вид: а фазовая скорость не зависит от частоты. Таким образом, среда с потерями при условии !яб, = !яб„не обладает дис- персией. Сигнал не искажается при распространении, а лишь уменьшается по 78 2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде величине. В среде существует чисто бегущая волна, так как волновое сопротив- ление среды является действительной величиной и сдвиг фаз между электрическим н магнитным полем равен нулю. В случае монохроматического поля иф иээ где еэ — скорость распространения энергии.
Сигнал, представляющий спектр частот, вследствие дисперсии изменяет форму, а, следовательно, изменяется и распределение энергии в спектре. В связи с этим вводится понятие групповой скорости, характеризующей распространение в пространстве максимума энергии.
Рассмотрим простейший случай, когда сигнал состоит из двух синусоид с одинаковыми амплитудами и мало отличающимися частотами Е(х„с) = Е„е ' соз(вг - Рхз)+ Е„е ' созНв+ дэв)з — 9+ Ь13)хз) = =2Е е 'со — з- — х, со в+ — з- Р+ — х,, Так как Ьв «в и дэ~3 « ~3 Е(хз, г) = 2Е е з соз~ — г- — х соз(вг-Дх ).
э'дэв 43 з — - ~2 2з з. Это колебание можно рассматривать как сигнал с несущей частотой в н огибающей /Ьв дэ13 2Е„е зсоз~ — з- — х, . 'э,2 2 Скорость перемещения максимума огибающей в пространстве и называется групповой скоростью. Групповая скорость — это скорость распространения сигнала, так как информация передается огибающей, а не высокочастотным заполнением.
Максимум огибающей перемещается со скоростью, определяемой из условия Ьв Д0 ззв ЛР— г- — х, = — (г+дг)- — (х, +э3хз), 2 2 2 2 т. е. Переходя к пределу, получим 2.4. Плоская однородная монохроматнческая волна дхз 9 дг д11 Определим зависимость между фазовой и групповой скоростью Отсюда ш до, 1 — —— ое дш Это соотношение называется формулой Релея. Если среда не обладает диод юе персией (фазовая скорость не зависит от частоты и — = 0 ), то Йй дне Если с возрастанием частоты фазовая скорость возрастает, т.
е. — > О, то да ду групповая скорость больше фазовой; если — ~<О, то групповая скорость дго меньше фазовой. Дисперсия, прн которой групповая скорость меньше фазовой, называется нормальной дисперсией, в противном случае — аномальной. Дисперсия, обусловленная проводимостью среды, является аномальной. Среда без потерь. В отсутствии потерь параметры среды е, и р„а, следовательно, и Й = а 1а,р, являются действительными величинами, и уравнения Максвелла в векторной форме, аналогичные (2.41), имеют вид — [кН1 = ва,Е, [кЕ) = ар,Н, т. е.
векторы Е, Н и и взаимно перпендикулярны (рис: 2.5). Волновое сопротивление среды — действительная величина. Магнитное и электрическое поля совпадают по фа- зе, и поле плоской волны является полем бегущей волны. ЗО 2 Поле монохроматического источника в неограниченной среде Рис. 2.5. Плоская волна в среде без потерь В воздухе волновое сопротивление Ео -" о 120п М ее Поле плоской волны определяется выражениями Е=е,Е соз(езз-кхз)=е,Н„2есоз(сзЗ-Яхз), Е„ Н=е Н соз(вг — кхз)=ез — "соз(соз — зхз) 2о Вектор Пойитинга в любой момент времени направлен в сторону распространения волны и определяет плотность потока мощности П = [ЕН) = е, Н„'Х, соз'(езз — кхз).
(2.46) Средняя плотность потока мощности согласно (2 21) равна Нн2 По = КеП=ез — о 2 Мгновенные плотности электрической и магнитной энергии соответственно равны з = — 'Н 2 (езг — йх ), е,Е е, з 2 2 з и,„= — = — 'Н„, соз (езг lсгз). р Н р з 3 2 2 Учитывая значение волнового сопротивления, получим и, следовательно, полная плотность электромагнитной энергии н = и, + в„= р,Н~ соя~(сзг — кхз) =в Е .соз (езг — кхз). (2.47) 2.5. Пассивные и активные среды 81 Фазовая скорость согласно (2.38) аэ 1 с Й.н. Йи (2.48) Длина волны согласно (2.39) 2п 2п иь с Ла Л вЂ” —— ы Й.К. У Х4 Н ЙИ' где с — скорости света в воздухе; Хр — длина волны в воздухе. Скорость движения энергии можно определить по формуле П т = —. э Действительно, вектор Пойнтинга П определяется как количество энергии, проходящей через единицу площади в единицу времени.
Эта энергия заключена в объеме прямоугольного параллелепипеда с единичным основанием и высотой 7э, Очевидно, скорость распространения энергии и равна этой высоте. Чтобы найти значение Ь, надо разделить энергию П, заключенную в объеме параллелепипеда, на энергию единицы объема эе. С учетом (2.4б) и (2.47) Уо ! т, =е,— '=е, Сравнивая (2.48) и (2.49), получим 1 цэ це ~ Г э/ааИа В случае немонохроматического поля это условие сохраняется, так как фазовая скорость не зависит от частоты, форма сигнала не изменяется и не изменяется распределение энергии в спектре.
2.5. Пассивные и активные среды э а 5ааэ э э !эа ра эра' Постоянная распространения плоской волны в такой среде определяется выражением А=взэ/к,Р, =3-5а, где !3 — фазовая постоянная; а — постоянная затухания. Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны в однородной изотропной среде с комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями; 82 2.
Поле монохромотического источника е неограниченной среде Среда называется лассиеной, если а > 0 и она поглощает энергию распространяющегося электромагнитного поля. Среда называется активной, если а < 0 и она отдает энергию электромагнитному полю. Если в", >О и р„" >О, то а>0 нсредапассивна. Если а", < 0 н р"„< О, то а < 0 и среда активна. Если в', >О, а р", <О нлн а", <О и р', >О, то для определения характера среды надо определить знак величины а = -!ш[а Примеры активных сред: область электронного пучка, в которой электроны отдают энергию полю; среда внутри конденсатора, емкость которого периодически изменяется (параметрические колебания); активные среды, используемые в квантовых усилителях и генераторах.
При распространении плоской волны в активной среде в направлении осн хз электромагнитное поле определяется выражениями Е = Е ем~в сов(ай — ~)х1), Н=Н е~"~" сов(аг-рх, -<р). При распространении волны на расстояние! напряженность поля увеличивается в е'8 раз, мощность поля в е™ раз. Величину ~а~ можно назвать коэффициентом усиления активной среды. При этом величина 0 н 8,69~а~! определяет усиление в децибелах. Поток электронов в переменном поле. Рассмотрим свойства некоторых сред более подробно.
Для простоты полагаем, что поле имеет продольную электрическую составляющую, совпадающую с осью электронного пучка, и однородно по сечению пучка. Если электрическая составляющая поля совпадает с направлением движения электронов, то они тормозятся, н энергия поля увеличивается за счет уменьшения кинетической энергии электронов. Происходит излучение (а<0), среда ведет себя как активная. Прн противоположном направлении электрической составляющей поля электроны ускоряются, кинетическая энергия их увеличивается, а энергия поля уменьшается. Электроны поглощают энергию поля (а > 0), среда ведет себя как пассивная. Рассмотрим случай торможения электронов.
Определим напряженность электрического поля выражением Е=е Е„,е""' 1 а \ где к = ~3 — 2а — постоянная распространения. Скорость электронов можно представить в виде суммы двух слагаемых: ч = е1ие + ези аз 2.5. Пассивные и активные среды где ио — постоянная составляющая, определяемая постоянным электрическим полем, создаваемым внешним источником; и — переменная составляющая, оп- ределяемая переменным полем 6 =-и ел"' ", и » и знак « — » определяет торможение электрона. В линейном приближении уравнение движения электрона имеет вид: хз т 1жеЕ ,1 о или (2.50) где е и т — соответственно заряд и масса электрона. Запишем полную производную скорости и = и(х„г) г(хз — = — + — — '= — +ив йг дг дх, й дг дх, и найдем уравнение движения электрона в символической форме: е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
