В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть К(х, х,, 1, 1о) — решение уравнения Фоккера — Планка (3.20.12), удовлетворяющее начальному условию К (х, х, г, (о) = Ь (х — х,) и граничным условиям )Уг (а, хо, 1, Г„) =- )о' (Ь, »„1, го) = О. (3.21.3) Ограничимся рассмотрением стационарного состояния, когда плотность вероятности зависит лишь от разности т =-1 — 1„т. е. гг (», »о т) = )г (» ло г го). (3.21.4) Вероятность того, что х не достигнет грзниц а н Ь за время т, находясь первоначально в положении х = х„равна: ь 14 (т, х,) = ~ 'г1о (х, х„, т) И».
(3.21.5) о П рвов усгюви нн одн р, то в начальныи момент времени еще на реализация не успела коснуться г ани ы. реализации пересекут границы что и,т, х,) назвать вероятностью слежения, то ве оят срыва слекения, очевидно, опред пределится равенством ия, то вероятность Р(т, ло .— 1— (т, ло) .— 1 — Я(т, » ) ==. 1 — — ~ 11г1л' »о т)с(». (3.21.7) а Можно показать 14! 1, что ве оятнос урзвненню р ятность Р (т, х„) удовлетворяет дР(г,хы дР 1 д Р— д- — — — — г (ло) дх ' 2 Кг(»о) д .г' Дифференцируя обе части уравнения по т, множив щее уравнеггяе для характеристической функции (3.21.8) где Е(,,)=1+,'т — „1 М,( „). Поста, дставив это выражение и его производные в '3.21." равняв члены п н о ин дные в ( ..9) и приуравнения я и р д иаковых степенях )и получим необ ео ходимые убедиться чгос е н дтг оследовательного определения мо е .
Н м нтов. етрудно среднее время (математнческое ожидание' М достижения г н ра гицы точкой, находящейся в начальный м ние' г'хо' = в положения», определяет о ся уравнением ьны момент 1 доТ и'г 2- Кг(»о) — г-+ К,(»,) — + 1 = О. (3.21.10) Дисперсия З = М вЂ” Мг в пз уравнения — ремени,достиження границы наход тс н я г хо) г + Кг(»о)дх + Кг(»о) ( и — 1 =: О. (3.21.11) д»о дР(г,х ) (и~ хо) = ~ —. ' о фи-.,(т о Уравненяе (3,21.9) по времени первого достижения г ни . Д зволяет находить одноме ные мо р моменты ения границ. Для этого воспольз емся гр дставленяем характеристической " унк У ментам (3 43) функции в вице ряда по мо- Среднее время первого достижения границы Ь(Ь) х,) вычисляется по формуле Т (х ) ~ ~ еэоо г(у е ™ с(з, (3.21.12) К* (у) х» — с« а среднее время достижения границы а(а х„) равно Т,(х,) = ) ( —,ет!э!с(у!с-М'!«12, (3.21.!3) ' - ,) ~~ К«(у) где « ф (г) .= 2 ) — - — г(хо.
Кд (х») .) К,(х,) о (3,21.14) Решения (3,21.!2) и (3.21.13) удовлетворяют нулевым граничным условиям Т„(х, = Ь) = О, Т,(х, = а) = О. (3.21.15) (Т) = ) Т(хо?(!7«(хе) с(хе. а (3,21.16) Отметим, что даже в простых случаях среднее время Т и дисперсия»г) выражаются через довольно сложные интегралы. К настоящему времени рассмотрено сравнительно мало конкретных радиотехнических задач 145, 48 — 531. Применим полученные результаты к линейному дифференциальному уравнению (3.18.10).
Найдем среднее время Та(х„) достижения границы Ь ) х,. Для этого в исходное уравнение (3.2!.10) нужно 440 Обязательное выполнение этих условий следует из того, что производная марковского процесса имеет бесконечную дисперсию (т. е. мгновенная скорость процесса бесконечно велика). Однако' броуновская частица смещается за конечное время на конечное расстояние. Поэтому скорость частицы все время меняет знак, и движение происходит взад и вперед.
Если частица в момент времени га находится вблизи границы, то она обязательно пересечет ее через бесконечно малое время. Из физических соображений очевидно, что величины Т, и Т, должны быть положительными. Зная решение уравнения (3.21.10), можно найти среднее время достижения границ не только при дельтообразном (3.21.1)„по и при произвольном начальном распределении (у'е(хе): подставить коэффициенты К, и К„которые были определены ранее (3.19.24). Таким образом, можем написать лт бт 4 сха ' о»(хр Л'о — сххо — — + 1 = 0 или за» т лт оз т ! О Лх' ' ' лх« а о (3.21.17) в А'« где о ==- 4 — стационарное значение дисперсии (3,19.28).
Выполя!гв все вычислениЯ по фоРмУле (3,21,12), по у и — ю» 1 »»га о (3.21.18) где Ф (х) — интеграл вероятности. Нетрудно убедиться, что это решение удовлетворяет основному уравнению (3.21.17), граничному условию Т»(Ь) = О, Траха) а» 0 и Тз(х,) растет с увеличением Ь. литература 1. игл . Я г л» м А. М. Введение в теорию стационарных сзучайиых ж пк- ций.
УМН, !952, № 5 (5!). фупк- 2 Кузхецов П. И., СтратоновичР.Л., Тихонов В И. Прохождение случайных функций через нелинейные системы. «Автоматика и телемеханкка», 1953, № 4. 3. . П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций. Физматгиз, 1960. 4. Ст»т р» т о и о в и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», !961. 5. Оатепрог1 %.
В., зойпзоп !!. А., М!66!е!оп Р. !»!»уз., 1952, № 4. 8!а!!з!!са1 ег.огз 1п»пеазнгешеп! о! гаврош !!ше !цпс!!о . 3 пс юпь . оцгп. Арр1. 6.Тнх э н о в В. И. К вопросу об измерении электрических "л к- уаций прн поможи термоэлектрических приборов. )КТФ, 1955, т. 25, в .
5. ( 7. Чайн , вйп. ко " к о в с к и й В. И. Методы экспериментального оп еде рреляцнон»ых функций, «Изнестия вузов», Радиотехника, 1960, № 5. к .... лен и я 8, «Опрегеление параметров случайных ироцессов>. Пер, с англ. Сборник статей под рсцакпией В. И.
Чайковского. Гостехиздат УССР, 1962. 9.Ланге Ф. 1963. Корреляционная электроника. Пер. с нем. Судпромгиз, !о О. Теор| я передачи электрических сигналов при наличии помех. Пер. » англ, Сбора ик статей вод редакцией Н. А. Железнова.
Изд-во иностранной литературы, 1953, 1!. . Д а в е н и о р т В. В., Р у т В. Л. Введение в теорию случай- пых сигналов и шумов. Пер. с англ. Изд-во иностранной лите ат ы, 1960. 12. Вен и е т У. Р. Основные понятия и методы теории шумов в радиое" у" »охапке.
Пер с англ. Изд-во «Советское радио», 1957. 13. Л з н и и г Д. Х., Б э т т и и Р. Г. Случайные процессы в задзчах автоматического управления. Изд-во иностранной литературы, 1958. 14. 1. е е У. Мг. $1аНз1!са! !Ьеогу о1 сошшцп!са1!оп. Зо!»и %!!еу, 1960. 15. М н д д л т о н Д. Введение в статистическую теорию радиосвязи, т. 2. Пер, с англ. Изд-во «Советское радио», 1962. 16. $1 е чг а г 1 Л 1., ТЬе рогчег зрес1гшп о1 а сагиег 1гейнепсу поды1а1ед Ьу янцза!ап по1зе, Ргос. !КЕ, 1954, № Ш.
17. М е д Ь ц г з1 К. О. ТЬе ро«чег зрес1гшн о1 а сагг!ег 1гейнепсу шодц!а1ед Ьу дапзязп по1»е, Ргос, !КЕ, 1955, № 6. 18. Т и х о н о в В, И. Воздействие электрических флуктуаций на нелинейные радиотехнические устройства Докторская диссертация, ВВИЛ им. проф. Н. Г. Жуковского, 1956. 19. М а л а х о в А. Н. О форме спектральной линии генератора прн флуктуацнях его частоты. ЖЭТФ, 1956, вып. 5. 20. Т и х о н о в В. И., Л м и а и т о а 'г!. Н.
Воздействие медленных флуктуаций на автогенсратор. «Радиотехника н электроника», 1956, № 4. 21. Т и х о н о в В. И. Когда нестационарный случайный процесс можно заменять стационарным. ЖТФ, 1956, № 9. 22. Г у д з е н к о Л. И. О периодически нестацаонарных процессах. «Радиотехника и электроника», 1959, № 6. 23. К р а м е р Г. Математические методы статистики. Изд-во иностранной литературы, 1948. 24.
К о л о с о в Л. Л. Резонансные системы и резонансные усилители. Связьиздат, 1949. 25. Т и х о н о в В. И. Флуктуациониые шумы в зле»гонтах приелгноусилительных устройств. Изд. ВВИА илг. проф, Н. Е. Жуковского, 1951 26. В а н -д е р-3 и л А. Флуктуации в радиотехнике и физике. Пер. с англ, Госэнергоиздат, 1958. 27, К и т т е л ь Г. Элементарная статистическая физика.
Пер. с англ. Изд-во иностранной литературы, 1960. 28. М а к-Д о н а л ь д Д. Введение в физику шумов и флуктуаций. Пер. с англ. Изд-во <«Мир», 1964. 29. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов. ДАН СССР, т. 94, № 4.
30. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихон о в В. И. Квазнмомеитные функции в теории случайных процессов. «Теория вероятностей и ее применения», 1960, № 1. 31. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихон о в В. И. Некоторые задачи с условной вероятностью и квазимоыентные функции. «Теория вероятностей и ее применения». 1961, № 4. 32. Кцхпе1»оч Р. 1., $!га1опоч1сЬ К. 1., Т1ЬЬоп о ч Ъ'. 1. Ыоп — Ыпеаг 1гапз!оипаНопз о1 з1осйазНс ргосеззез.
Регяашоп Ргезз, 1965. 33. Л е з н и Ю. С. О распределении случайных напряжений на выходе яекогерентиого накопительного устройства с эксноненциальиой весовой функцией. «Известия вузов», Радиотехника, 1960, № 6. 34. М а г с н ш Л. 1. А з1аН»1!са1 !Ьеогу о11агяе1 де1ес11оп Ьу рц!зед гадаг. Тгапз.
1КЕ, 1960, 1Т-6, № 2. 35. Б о р о д и н В. С. Приближенный расчет функции распределения нормального процесса на выходе типового радиотехнического звена. «Радиотехника», 1961, № 2. 36. 11 еч Р. ?1елинейгные преобразования случайных процессов. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио», 1965. 37. Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение (сборник статей). ОНТИ, 1936.
38. М!пй СЬеп 9Гапд, 1!!г!епбесй О. Е. Оп !Ье 1!геогу о1 1Ье Вго«чп1ап шойоп 1!. Кеч!егчз о1 Моде«и Р!«уз!сз, 1945, т№ 2 — 3. 39. Кузнецов П. И., Стратоновнч Р, Л., Тихонов Б. И. Корреляционные функции в теории броуновского движения. Обобщение уравнения Фоккера — Планка. ЖЭТФ, 1954, вып. 2. 40. К о л м о г о р о в А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. 5 МН, 1938, вып. 5. 41. Понтрягин А., Андронов А., Витт А.Остатистическом рассмотрении динамических систем. ЖЭТФ, 1933, вып 3.
42. Л е о н т о в н ч М. А. Статистическая физика. Гостехиздат, 1944. 43. С т е х а н о в В. В. Курс дифференциальных уравнений. Гост«хи»дат, 19!О. 44. Т н хо и о в В. И. Специальныеслучаи применения уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова. «Радиотехника н электроника», 1962, №я 8 45. Т и хо н о в В. И. Марковский характер огибающей кзазигармоинческнх фпуктуацнй, «Радиотехника и электроника», 1961, № 7, 46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
