В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 23
Текст из файла (страница 23)
- — 2 У(1 к)(2 к) ) 1 2 (3.20.9) Таким образом, если рассматривать интервалы времени, которые значительно превосходят время корреляции случайной функции, то парнымн корреляциями можно пренебречь, Можно показать [39[, что этот результат распространяется и на корреляции высших порядков. Поэтому для таких интервалов времени случайные приращения оказываются практически независимыми и процесс х(() можно считать приближенно марковским.
Для него с некоторыми уточнениями применимо уравнение Фоккера— Планка. Эти уточнения в основном касаются выражений для коэффициентов К,(х, () и К,(х, ()„входящих в уравнение (3.!9.7). Мы не будем здесь рассматривать эти уточнения [4, 39), а приведем окончательные результаты. Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка Д= Г(х, ~(()). (3. 20. 10) Предположим, что характерная постоянная времени системы т, значительно превышает время корреляции тк случайной функций Р(х, $): где через К обозначена корреляционная функция от соответствующих аргументов.
Такое неравенства выполняется в ряде практиче- ских задок встречающихся в радиотехнике и автоматике (например ство). когда ши)окополосный шум воздействует на инерционно е устрой- Тогда при т, (( т, приближенно, а при т, = 0 точно справедливо следующее уравнение Фоккера — Планка: дУ д ( ! — — — д— ([К1(х) + 4 К (х)! (к ~+ 2 —; [Кк(х) [к [.
(3.20.12) К1(х)=(Р(х, я)), К2(х) = 2 ~ К(Е, Рк)((т, о К'(х) =- 4 ~ К(— ) з, Р,)11т, К(" ") = ([~(' Б) — (~(' а))[[Г(х, Ик) — Гр(,, й)[), К(дд р ',,'Г дд(х, Ц ' дд(х, 1) Г ' В выражетиЯх (3.20.13) аргумент х при статистич с тическом усреднении . а как иксированный рассматривается не как функция времени, а как и параметр, Заметин, что в данном случае появился даполнительн ельнын коэ "я- К'(.
), бусловленный наличием корреляции между х(() и ~(~). Как правило, этот коэффициент необходим д мо учитывать при ,(х) = ( (х, $)) = 0; в противном случае его учет часто мало влияет на результат. Если функция Е(х, 5(()) удовлетворяет условию времонной симметрии о о 1~-. )-~ (од К( —, Р,)2)т= ) К(Г, — — ')2(т, (3.20.!4) и уравнение (3.20.12) можно записать в следующем виде: д!к д — = — [К1(х) Щ + (Кк (ф + — [Ко (х)% )~ . (3.20.16) Если К, и К, ие зависят от времени, то стационарная плотность вероятности при нулевых граничных условиях определяется формулой [о>о;(х) = ехр 2) — -о(г с '~ Г К>(г) г> Ко (х) ~ Ко (о) о (3.20,1 7) где С вЂ” нормировочный множитель.
Можно показать, что условие (3.20.14) выполняется для урав- нения х = ) (х) + д (х) $ (Г); (3,20,1 8) где Г(х) и К(х) — детерминированные функции, а $(1) — стационарное случайное воздействие с нулевым средним значением. В соответствии с (3.16.3) введем коэффициент интенсивности оо >Уо 2 [ (о(1)$(! ! т))дт.
(3.20.1 9) В данном конкретном случае К,(х) =- Г(л), Ко(х) = д'(х) 7>>о и > О.,~)= — ~ — р [> [ ",О.О ~, ~>3О.>О> о Во многих задачах исследуемый флуктуациоиный процесс х(!) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка х =- >' (х, х, $(~)), (3.
20. 21) где З(1) — стационарный случайный процесс с достаточно мальты временем корреляции. Двумерное уравнение для плотности вероятности %'(х, х,Г) в данном случае имеет вид (3. 20. 22) 434 В общем случае стационарное решение двумерного уравнения фок- кера — Планка (3,20.22) в отличие от одномерного уравнения не выражается в квадратурах и для его отыскания требуется само- стоятельное исследование. Необходимо также спецйальйое рассмотрение того случая, когдв в правые части дифференциальных уравнений (3.20.10) и (3.20.2!) входит не сама случайная функция $(г), а ее производная $(() [44).
Рассмотрим два простых примера (см. также э 3 гл. 8). 1. Пусть задано дифференциальное уравнение [45! ох У вЂ” — + — — + ~(7), '.>.0, (3.20.23) где коэффиз.иенты а и )о' постоянны, а стационарное случайное воздействие э(1) имеет среднее значение и и функцию корреляции й-(т) с коэффициентом интенсивности Д[о =- 2 ~ /го(т) г[т = 27>>. (3.20.24) о Будем .читать, что выполняется условие (3.20.11), т. е. >„<< хо = —.
Тогда можно пользоваться уравнением (3.20.12). Однако предварительно необходимо свести случайное воздействие к белому шуму. Обозначим Ц(() — и = п(г), где п(г) махно рассматривать как белый шум с нулевым средним значением к дельта-функцией корреляции (ч(Г)) =О (п(г)п((+т)) = 'б(т) = Лгб(т) (32025) Теперь уравнение (3.20.23) можно записать так: ~ х >о' — = — ах + — - —,'- и + и (г'). (3.20.2Г>) Г!о формулам (3.20.13) находим коэффициенты >ч Ко(х) = — сох+ 2 +и, Ко=КГ, К'(х).=-0. Подставив отя коэффициенты в (3.20.17), получим стационарную плотность вероятности Г охо — тх Л [Гг„(х) = Схехр [ — — ), х ээ О, (3.20.27) Множитель С находим нз условия нормировки С) хехр( — )г[х = 1, С= — — ~1+а)'2пФ(а)е' ] У 2>Л' !33 где (3.20.31) [Гтст (х) = С ех Р ~ —" (2а' х' — х') 1, пто (3.20.30) 137 136 В частном случае, когда т=О, яз формулы (3.20.27)получаем плотность вероятности Релея (2.9.17) Таким образом, методика применения уравнения Фоккера— Планка к реальным системам включает следующие этапы: 1) проверка выполнения неравенства (3.20.11); 2) если это условие выполнено, то нужно случайную функцию Е(1) привести к белому шуму, для чего необходимо выделить в явном виде среднее значение и затем по формуле (3.!б.3) вычислить коэффициент Лтв; н 3) определение коэффициентов К„К, н К по формулам 3.
20.13). Рис. З.2ц Ствционърнвя ппотность вероятности дпя системы с двумя устойчивыми состояниями. 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение [411 — =- рх(а' — хт)+ п(~), р) О, (3.20.29) и =рха где а(г) — белый шум с нулевым средним значением и дельтаф нкцией корреляции (3.!б.1). ий Уравнением такого го вида определяется амплитуда колебаии кт а ий [см. (8.218)[. автогенератора при учете собственных флуктуаци см. По формулам (3.20.13) вычисляем коэффициенты ! т Кт(х) = рх(ая — хя), К (х) = я гт'в, К (х) =. После подстановки нх в (3.20.17) получаем — — ) ехр[с — (2а хя — хя)~с[х= —.—.— ех ~~ — ав1К, с ) в .~ /'й 2дв К.,(г) — цилиндрическая функция мнимого аргумента.
Плотность вероятности (3.20.30) имеет два максимума (при х = + а и х = — а) и один минимум при х = 0 (рис. 3,21), Заметим, что для уравнения (3.20.29) существуют три состояния равновесия: х = О, х = +а. Из них состояние х =-0 — неустойчивое, а х =- +а — устойчивые. Поэтому флуктуацнонные воздействия могут перевести систему из неустойчивого состояния х = 0 в устойчивые состояния х = ~а (см. 5 4 гл. 8), и наоборот. При этом представляег интерес определить среднее время, за которое осуществляютсх такие переходы. Методика решения подобных задач, важных прн исследовании автозахвата и срыва слежения в устройствах автоматики, приведена в следующем параграфе.
5 30 ЗАДАЧИ О ДОСТИЖЕНИИ ГРАНИЦ. СРЫВ СЛЕЖЕНИЯ Часто п)иходится анализировать работу нелинейных систем, имеющих дзи или несколько устойчивых стационарных режимов. В отсутствие случайных воздействий система, находясь водном стационарном режиме, не может перейти в другой без каких-либо внешних воздействий. Наличие даже малых случайных возмущений приводит к тому, что система начинает совершать малые флуктуацнонные кшебания вблизи одного из стационарных состояний и время от времени переходит нз одного состояния в другое.
Естественно, что при Рассмотрении подобных систем возникает вопрос о вычислении вероятности таких переходов. В качестве конкретных примеров можно указать задачу о возбуждении и срыве автоколебаний в генераторе под влиянием шумов, задачу о срыве автоматического слежения из-за случайных воздействий в автодальномере, фазовой и частотной автоподстройках ндр. Ответ на сформулированную задачу можно получить для систем, процессы в которых являются марковскими, путем отыскания нестационарното решения соответствующего уравнения Фоккера— Планка. Однако в большинстве случаев точное решение получить ие удается. Поэтому приходится ограничиваться знанием хотя бы среднего вреьсеня пребывания системы в том или другом режиме.
Предпояотким, что в начальный момент тв марковский процесс х(с) имеет определенное значение х(гв) = х„находящееся внутри интервала (а, Ь), т. е. начальная плотность вероятности является дельта-функцией; 1Гт(х, гп) = )Г'в(х) =- б(х — х,). (3.21.1) Вероятность 1)(т, »,) удовлетворяет условиям (О, хо) = 1, Я (оо, »о) = О.
138 (3.21,6) Разные реализации случайного процесва х(г) достигают в первый раз граничные значения либо а, либо Ь за разное время. Найдем среднее время Т, по истечении которого в первый раз достигается либо граница а, либо граница Ь. Данную задачу можно понимать так (рис. 3.22). Пусть рассматривается движение достаточно большого числа йг броуновских частиц вдоль оси х, причем в начальный момент времени 1 все частицы расположены в точке х„находящейся внутри интервала (а, Ь).
Пусть 1-я частица впервые достигла какой-либо границы за время Тг Тогда, очевидно, хо т=(т;>= — „~~ т,. 1 г=! а Ясно, что частица может возвратиться в интервал (а, Ь) и снова пересечь границы. Однако это вред мя не характеризует первое время Рнс. 3.22. Время первого до достижениЯ гРаницы. Следовательно, стнжоння границ. частицу, пересекшую границу, сле- дует исключить из рассмотрения. Для этого следует считать, что на границах а, Ь расположены поглощающие экраны, к которым частицы прилипают, Мы не будем здесь воспроизводить математические выводы [38, 41, 42, 46, 47), а укажем окончательные результаты, относящиеся к дифференциальному уравнению первого порядка (3.20.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
