В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Например, интегрирование по йт в области !сл дает т,. Поэтому интеграл по области Пл ззпншетст в следующем явном виде: т,— л ьч ггь= 1в,п>х:!'всв>хя !',,в,ног,, яз.я> о о В результате интегрирования по р в области ьсз получим (0 — Л+тс) и, следовательно, интеграл по этой области равен: со л со Т,(Л)= ) ж',(т,)!т, 1"!у,(1,)1!4 ( (!4 — Л+тт) )у,( „)(т,. о о 0 Ььтг (4.3.20) глналогичвым образом можно выразить в явном виде интегралы ЯЛ) и гтлЛ) по двум остальным областям Йз и л44.
Проилтюстрируем методику вычисления вероятностей Р,(Л) и Р,(Л) на следующем тривиальном примере. Пусть прямоугольные то а) дс Го (т Ого Рис. 4.7. Случайная последовательность периодически следующих прямоугольных импульсов одинаковой длительности !а) и со- ответствующая функция корреляции (б). импульсы одинаковой длительности тт= то = сопз1, но разной аиплитудя Ат имеют постоянный период следования Т, (рис.
4.7, а). В данном:лучае плотности вероятности для длительности импульсов и моменюв появления являются дельта-функциями: йгл(т) = = 6(т — а,), лу"4(!4) = 6(! — 4Т,), 4'= 1, 2, 3, ... Очевидно, что для такой последовательности у = 17Т„т-. = т,. П и р вычислении отдельных интегралов будем пользоваться формулой (П.4).
Имеем Р ()с) — т ] (» — (),~) Ь(» )о( — )) р ~ )( о (4,3. 21) Согласно (4.3.19) можем написать СО л ~) )+в ,7,())=-.5ь(. —.)и.ьь(г) — т.)а«[ .ь(.—.,)1.. И нтеграл по переменной» отличен от нуля лишь при 1;+»,— — 1.)»„т. Е. Прн со=)ТС .»)». НО Прн ЭТОМ УСЛОВИИ ИНтЕГраЛ по переменной Г) равен нулю. Поэтому 7«()л)=0. Интеграл (4.3.20) в данном случае равен СО СО 7»()л) в) ~ Ь(го»о)с(») ~ Ь(1) (То)с(1) ~ (1) )с+») Ь(»»о)а»= о 0+с,— Л СО л =. ~ Ь(.; — »„) (», )" (1, +», — ) ) Ь(1; — ГТ„) 41;= о о т(ГТС+»о — ).) при Л)ГТ„ 0 при ),(1Т . Повторив аналогичные рассуждения, получим Го(1,) = О, )г т(»о 1ТС+)') при )л()1'о* () ) [ 0 ) .
(4.3.23) (4.3.22) Сле довательно, ® / т(то+СТΠ— ),)в с ))Т„ =~,(, г+,),(г' где пределы изменения )с определяются неравенством (4.3.18). Если подставить выражения (4.3.21) и (4.3,24) в (4.3.10), а затем в (4.3.б), то получим окончательную формулу для функции ис.
4.7 корреляции. Примерный вид функции корреляции изображен р, б. Она состоит из равноотстоящих равнобедренных трепа угольников с основанием 2», и высотой т.«»»„за исключением «нулевого» треугольника, высота которого превышает высоту остальных на»ол»„где оА — дисперсия высот импульсов. Отсюда следует, что энергетический спектр рассматриваемой последовательности будет дискретно-сплошным, т. е. состоящим из дискретных линий и непрерывной составляющей. й Ь. СПЕНТРАЛЬН««Я ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАИНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ За исключением некоторых частных случаев (например, пуассоновскид импульсов) непосредственное вычисление корреляционной функ).ни сложнее, чем спектральной плотности, Найдем спектральную плотность стационарной случайной последовательности прямоуго.ьных импульсов (рис.
4.5, а) с взаимно независимыми амплитуд)ми А„длительностями»з и интервалами Л«, считая известными плотности вероятности )«'(А), 1о'л(») и )Р'о(Л). Применительно к прямоугольным импульсам вместо ступенчатой случайной функции «)(1), определяемой выражением (4.3.2), удобно ввести ее производоую»)(Г). Рассмотрим реализацию производной т)(1) на конечноминтервале времени (О, Т), где Т= Г.!лв.
Она представляет собой посиедовательность чередующихся биполярных дельта-функций (рис 4.5, в): ь ' (1)= Х 1Ь(à — Г)) — Ь(à — 6 — )1. (4.4.1) с=о По форо уле (3.10.12) с учетом (П.4) находим спектральную функцию т Т. (О)) =~о ~(Ь(à — 1)) — Ь(1 — 1; — »;))е-)-'сГГ=,)' [е '" ' — е '"' '+"] в) С=Π— о «=о ] Г- (о)) ]»=Р (о))Т (о))= ~о,"Я~ [е ) "— е )"Пво Ьч)] Х )=о «=о Х [ед" « — е~ ~ «+'«) ], (4А. 3) где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Двой«ую сумму (4.4.3) целесообразно разбить на три суммы, соответсгвующие Г=й, й=1+и>) и й=1 — и(1. Обозначим их соответсгвенно через ~:о, ~ и ~о: ь 2' =- ь [ ~в г — )~) — )' и))')) ) ) )мс л а+и) ] о=~~,[е ' — е ' 'е ' — е' ' ь = — «'[2 — е'' — е' '), — '"'лсс+ ))] [ "' )+" — е) '+" )+" ] — )вв)С вЂ” В цв+ )) ] [ )в'0 — и Ьц) — О+') — )] Х= ХД ь «вЂ ! Х"= Х Х ) «=О 4$7 (4.4.2) Все далц«ейшие вычисления выполняем по формуле (3.10,14).
Очев=дно, что нет дпо бе ить Выразив в последних двух суммах разности врем ен через т« и ру у едиться, что они являются комплексно-сопряженными и следовательно, Ф 8з(а)= (ен'«) = (ех")= ~ е! ".[г (т)дт "о «Эо(а) = (ела«) =- (ег" а) =- ~ е«ша[р (д),(д о (4.4.5) П ская нк ия с м, ри вычислениях следует иметь в виду, что характеристичефункция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых, а также очевидное соотношение 6( — а) = Вт(а), следующее из (4.4.5).
С учетом равенства 1!+л Г~ = ла (ть! ~ -«- д ) « =1 в результате статистического усреднения получим (~~.'~о) = ~ ~ 2 — й,(а) — О, (а)~ =(Е-[-! ) [2 — (),(а) — й, (а)~ = = 2 (Е+1) Ке [1 — «8, (а)[, Е но( ) [ ! — 6~( )1! Н,(. ) — ! ! ! — о,( )н,( ) х ! 1 1 н,(.,) 0,(.~) У- 1 — Оо( )В (и) Г (а) о( )«( В большинстве практически интересных случаев выполняется условие Тщ ! 0,0',,(! — но) (н, !) (! Оь ос) г-[Ре ', ' „„. =-0 (4,4.5) Х+Х* =2йе ~ч.', где через Ре обозначена реальная часть.
Статистически усредняя равенство (4.4.3), можем написать (! Р;(а) !') =(~о)+2Ке (~'„). (4.4 4) истнческ ю Средние значения сумм в правой части выражают а ся через характер кую функцию «9,(а) длительностей импульсов и х ристическ ю функ ю у фу ци «9,(а) интервалов между импульсамш в и характе- При выпохненнн этого условия спектральная плотность согласно фсрмуле (3.10.14) будет равна Б' (а)= йп — — ([Г' (а)[о) =, — 1!ш — 1(~что)+2Ке (~)! = т +т, 2 Г 1 1(ег(~г)+ т,+та 2 2 В [О,( ) [1 — н (»)! [н~( ) — ![ 1 (4 ( )1 л. + т ! 1 — ()~(т) Но(т] Выполхив простые преобразования, получим ( ) 2 [1 — «)~ ( )! 1! на(о~)! 4.4.7) т + та 1 — н (ш) нц(м) ( Воспользовавшись формулой (6.2.12), определяющей спектральнчю плот«ость стационарного случайного процесса через спектральную плотность его производной, можем написать окончательное выражени«м [! — 01(м)! !! — 0,("Ц (4.4.8) ~ (а = „з(т + т ) 1 — Н~( ) На('") Спектральная плотность исходной последовательности прямоугольныхз«мпульсов Ц(), имеющих разные амплитуды (рис, 4.5, а), будет равна х1((~) р 11 «8 ( )1+ 2 К 0 ('") [1 0 ('"и!«)~("') !! 1 1 — а~(ь) Но(т] (4,4.9) Если же независимые прямоугольные импульсы имеют одинаковую ампаитуду А«=-Ао=сопз[, то (А')=тА=А~ ои формула (4.4.9) принимает вид 2Ао [! 0,(ю)! [1 Н),(щ)] 5«(а)= --,, ) це- — о ( ) (.) (4'4 10) Отиетг«м, что формулы (4.4.8) и (4.4.10) симметричны относительно характеристических функций «=«д(а) и Оо(а), Из формулы (4.4.10) можно получить ряд частных результатов.
Так, если длительность импульсов фиксирована (т« = т, = сопз1), то (4.4.1 1) 8 (а)=-е! ч. 159 При этом, введя обозначение Йо((о)=йг(оу) 82((н), имеем 2Ао ~! — О е Ди 2 1 2'(о 1 — ((ое (иии —, )иги . ито1 р п ( 2г) 2 „' о1 «'(лг, -1- год) 1 1 — (уо 2 Выделив действительную часть, получим окончательную формулу 2 . '"Оо гй ((О 4АОО!н 2 1 (9 (и) о ио(т, -1- та) ! ! — 92(и) )о (4.4.1 2) Из симметрии формулы (4.4.!О) относительно О, н Во следует, что если в выражении (4.4.12) заменить т, на с!о = сопз1, то оно будет определять спектральную плотность последовательности независимых прямоугольных импульсов с фиксированными интервалами.
Когда длительности импульсов и интервалы между ними имеют одинаковый закон распределения, т. е. (3,(еу)= 92(еу), (4.4.13) формула (4.4.10) принимает вид [5): 2 ~ (Оо) О о 2А 1 (О,(„,) и (4.4.14) ио(т,-';-т ) 1! — 1-()1( )!' ' Из (4.4.1) при т! = т, = сопз! приход!йч к формуле вида (4.4.12), в которой нужно теперь заменить Н, на 6. В том частном случае, когда постоянен период следования импульсов, т. е.
Тг = =- Т, = сопз(, В((о) =- е'"т, из формулы (4.4.17) получим 42 т,(! (4.4,18) з 5. КОРРЕЛЩИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПУАССОНОВСКИХ ИМПУЛЬСОВ Вычислим корреляционные функции двух частных видов импульсных случайных процессов, а именно, случайного телеграфного сигнала [4) и пуассоновских возмущений [8). 1. Случайоый телеграфный сигнал. Пусть имеется последовагсльность прямоугольных импульсов й(!) с одинаковой амплитудой Отметим, что мы анализировали случайные последоваоельности прямоугольнкх вндеоимпульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
