В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 30
Текст из файла (страница 30)
5.2). атсюда следует, что вероятности этих двух событий равны (свояство иивариаптностн дифференциала вероятности): 1)г,(т1) с(т) =спЯ)ссз, т. е. Ч1 Я1 (21г вз ' ' вл) Ч2 Й2 (и1 22г . вл) (5.1.8) Чл = игл Ь1 Ъзг " Вл) (5.1.6) 11 = й1(Ч1, Ч, " Ч.) $2 =- йз(Ч Ч " Ч.) (5.1.9) й«се Пл(Ч1 Чз ".г Чл) гзгучг "г а сг ~гчйг гочс' Рис. 5.5. Случай двузначного преобразования. Рис. 5.2. Взаимнооднозначное нелинейное преобразование. дг1 "' агл (5.1.11) (5.1.5): )у 1(Ч) ггЧ = пг1(й1) А1 + иг (Вз) г)й2 ~ 1 О =-! —, Л= — (=- д(с1 12) ~ ~ дгг О,=- — г---~= аа дй = а(;„;,11= ' = а, ' дч1 ач ~ сому яоз(ЧО Ч) = 1аз(Чь й.(Ч1 Ч)) ~ д„ аю ~ (5.1,! 4) 172 172 Несколько более сложным является случай, когда обратная функция б =- й(Ч) неоднозначна (рис.
5.3), т. е. одному значению 11 соответствует несколько ветвей функции Ь(Ч). Пусть имеются две ветви 111(Ч) и 122(Ч). В данном случае имеются две несовместимые возможности $! < 1 ( Ь1+ с%1; 32 < 5 < $2+ В„(5.1.5) обеспечивакзщие выполнение неравенства Чо ( Ч < Чв+ г(Ч. Поэтому вероятность выполнения неравенства (5.1.6) должна рав'- няться сумме вероятностей выполнения каждого из неравенств Выразив $ через Ч, окончательно получим К1(Ч) =ш1(й,(т~))(й;(Ч)~+ а11(й,(Ч))162" (Ч)!. (5.1.7) Если имеется большое число ветвей обратной функции, то в правой части формулы (5.1.7) будет сумма по всем ветвям.
Формула (5.1.7) дает правило преобразования одномерных плотностей вероятностей при функциональных преобразованиях случайных ве. личин. Приведенные выше рассуждения можно обобщить на случай функционального преобразования нескольких случайных величин а б ",$.. В общем виде принципиальное решение задачи о нелинейных безынерционных преобразованиях случайных процессов дается следующей теоремой. Пусть известна и-мерная плотность вероят. ности ш„Д1, $2, ..., б„) случайных величин б„бз, ..., $„и нужнО найти плотность вероятности В'„(Ч1, Чз, ..., Ч„) для случайных 1клнчин: ~ де функции д,.
— кусочно-непрерывные. Если существуют однозначные обратные функции: и~ интересукщая нас плотность вероятности определяется фор- м улОЙ К л(Чм Чз .- Чл)=гггл(пз(Ч1 " Чл) ." пл(Ч1 " 1 Чл))1 Ол1 (5 1 111) лс г)„— якобиан преобразования от случайных величин В1, бз,...Д„ и слУчайным величинам Чь 11м ..., Ч,: , 'д61 д!г1 и тех случаях, когда обратные функции й; неоднозначны, следует правой части формулы (5.1.10) взять сумму по каждой нз подобж тай1. Рассмотрнм несколько частных случаев.
Пусть Ч1 = й $1) — -- 11, Чз = Ч = Д $1, ~2), (5.1.12) ричем обрагные функции 51 = й1 (Ч1) = Ч1, $2 = й (Ч1, Ч) (5.1.13) однозначны. 11 данною случае якобиан преобразования равен (5,1.1 б) (5.1.17) (5.1.18) й 2. ПРИМЕРЫ (5.1.19) Ч =-айаг(Г), а >О, (5.2.1) (5.1.20) (5.1.2! ) пг,($)= - -- —.. ехр~— 1 Г (1 — лг)г 3 г р'йй ~ 2г" (5.2.2) Отсюда получим г) = $г+ $г, (5.!.22) $=.л: уЧ/а дл ~ 2),а~' Ч =зг ьь (5,1.23) (5.1,24) Ч=-$ $г, Ч $г/ьг' (5.1.25) 1И Из этой формулы получаем одномерную плотность вероятности для одной случайной величины г1: (гг(Ч)= ~ пгг (г1» /г (т)ь Ч)) ~ -д — аЧг.
(5,1.15) д/г Последняя формула позволяет найти плотность вероятности суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин: гкг(Ч)= ) пгг(сг Ч вЂ” Кг)ггКг Ч = 51+52 )Рг(Ч)= ~'.г($„Ч+5г) ~г. Ч=~г-~г, г(Ч) ) гг'г(ьг З ~ ' ~ ( Ч ьгьг ~'г(Ч)='= ~ пгг6ь Ч1г) ~ 1г! г(~ь Ч = гьг/ьгг. Для независимых случайных величин $г и $г с плотностями веРоятности /г(кг) и г/(Сг) в предыдущих формулах нужно по- ложить г ($ ° Ьг) = р (5г) / Яг) При этом формула (5,1.15) принимает вид (Рг(Ч)= ~ О(чг) /(й(Кг, Ч))~ —,,' ~с%г. (Ч)'= ~ /г(ь ) г/(Ч ьг)г$ (р (Ч)=- ~ р($г)1(Ч+ Ь) 1$г, (р (ч)= ~ р(к) /( —," ~;.;-'-, (Рг(Ч)= ~' р(~г) ~(Ч~ги$г~~(~„ Отыскание плотности вероятности суммы независимых случайных величаи по известным плотностям вероятности слагаемых называется композицией законов распределения.
Как показывает формула (5.1.22), композиция двух законов распределения представляет сгбой интеграл свертки. Заметим. что при применении формул (5.1,4), (5.1.10) и (5.1.14) к врактичвзки интересным нелинейным безынерционным преобраюваниям когут возникнуть затруднения, Так, если функции дг являются голиномами вьщге третьей степени, то в общем случае грудно найхи функции Йь т. е. аналитически разрешить систему пелинейныт уравнений (5.1.8) относительно $, Аналогичные трудности возникают при трансцендентных функциях йг При кусочно- линейной аппроксимации функции дг оказываются разрывными и производные дй,/дк» во многих типовых случаях оказываются равны ли бесконечности в некоторых точках.
Более подробно эти случаи рассматриваются в з 4, б и 8. Рассмотрим несколько конкретных примеров применения формул (5.1.4) и (5.1.16) — (5.1.19). 1. Пусть требуется найти плотность вероятности Р'г(Ч) на выходе нелинейного элемента (безынерционный двусторонний квадра- ~ ичный дегектор) когда на него действует нормальный стационарный шум $ (/), имеющий глотность вероятности Прн а)0 случайная величина Ч не может быть отрнцательшй1 и поэтому (Рг(Ч) = 0 при Ч(0. Для г1 > 0 имеем В данном случае функция $ = — /г(Ч) двузначна и нужно поль>гаться фзрмчлой (5 1 7). — --.=--1пгг((/г1/а) + гог( — )' Ч/а)) при г1: О, (Р г (Ч) = ~ 1' а' (5.2.3) О при Ч<, О.
Если лх=О, то получим йтт (й) (ьтх я) а) () ~ !) 4 () 7 (айв(/) при й(/))~ О, )(()=~ 0 при $(г)с О (5.2.5) (ге 4 о у 5-юх -Ь (1 а В' (г))=- (т)/ ) —,, ! 477 17$ 1 ехр( — —,1 при т1 > О, ( ф' (у)) = а ~/2лат~ 'т 2ос / (5.2.4) 0 при х) (О. Для нелинейного преобразования (безынерционный односторонний квадратичный детектор) вместо формулы (5.2.4) получим (см, пример 2) 1 — 6(т))+ ехр( — у)/2аав) при т! > О, 1 К'х(т))= 2 2т)хйкат, (5.2.6) 0 при т) (О. Графики нелинейных преобразований (5.2.)), (5.2.5) и плотности вероятности (5.2.4) и (5.2.5) приведены на рис, 5,4.
2. Найдем одномерные плотности вероятности на выходе типовых элементов с кусочно-линейными характеристиками (рис. 5.4), когда на них воздействует нормальный стационарный шум с плотностью вероятности (5.2.2) И!. Принцип вычисления рассмотрим. на примере ограничителя (рис. 5.5), имеющего характеристику — Ь при $( — р, Ч (г)=Ы($ (1)) = х$(1) при — () «( $ ~ сх, (5 2.7) а при $) сс. На интервале ( — Ь, а) преобразование т) = йт($) в данном случае является линейным: т( = зй. Поэтому внутри этого интервала т. е.
плотность вероятности для у((1) по виду совпадает с плотностью вероятности для $(1). Вероятность того, что г)( — Ь и т)' эа равна нулю, а вероятность а того, что т) заключено в интервале ( — Ь, а) равна )%'т(х))с(т(. Все значения $, для которых $>а, преобразуются ограничителем в одно значение т) = а (рис.
5.5). Аналогично, все значения й < — р преобразуются в значение т) = — Ь. Следовательно, вероятность з, = )!ах(й)с(й преобразуется для у) в дельта-функцию, расположен- Рис. 5А. Нормальная плотность вероятности входных флуктуаций аЧ(";), нелинейнь е характеристики элементов т(=хт(й) и плотности вероятности (т~(т!) флуктуаций на выходе соответствующих элементов. )Р (Ч) =- — „,"', ( ~+4") (5.2.13) ]р'г(Л) = 2м» '„7 ъ ° -су — «г яи ик ] Л = [' Х'+ ~' гя О. (5.2.14) где О у 2 5 а Рис.
5.6. Функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента и ее аппроксимации. д(л', у) |сов ср — Л з]п ср~ и (2 т) ' сап ср я соз ср ~ [Я вЂ” (лг„сов зк] и Мп З)]2 ] х ]ув(2, ср) = ~ —,— ехр 1<ли сделать замену переменной ° = [2 — (тк с р+ т, з]п р)]ус где 2, 2 т=- г и„+гиу, (5.2.19) 1а1 1аа Если величины Бг и Бя некоррелированы ()с = О), то формула (5.2.12) переходит в распределение Коши: 6. Предположим, что имеются две нормально распределенные независимые случайные величины Х и у, имеющие одинаковые 2 2 дисперсии о, = а = ая, но разные средние значения т„и и,. Вычислим плотность вероятности случайной величины Совместная плотность вероятности случайных величин Х н У равна: Г (х —,)'+ (У вЂ” ) 1 агя(Х, У) = пгг(Х) сот(]г) = —, ехр (5.2.15) Перейдем от переменных Х и У к новым переменным 2 и ср: Х = 2 соз ср, 1' = 2 з]п ср.
(5.2.16) При этом возможные значения ср предполагаются заключенными в интервале ( — и, гг). Переходя в формуле (5.2.15) к новым переменным в соответствии с (5.1.10) и учитывая, что якобиан преобразования переменных равен: получим совместную плотность вероятности для случайных ве- личин 2 и ~р: Хв — Ы(м, 5+ ~у«1п;)+ ( '„+ мг) 2«я (5.2.17) Введя обозначения пг,созср+ и з[пср = тсоз(ср — т]г), (5.2.18) формулу (5,2.17) можно записать нначе: %', (2, ~р)==- -- —, ехр ~ —,в,' )+ 1. (5.2.20) Найдем одномерные плотности вероятности для 2 н ср. Интегрируя (5.2.20) по всем возможным значениямм гр, пспучаем = — —,е '" 7о[--) (5 2 21) 1О(2) = —; ~ Ев оке Су-ОП С]гр (5.2.22) — функцгп Бесселя нулевого порядка сг мнимого аргумента ~рис.
5.6). Для вичисления плотности вероятности «фазьв ср нужно проин~ггрироват (5.2.17) по всем поло,ьнтеггьныи значениям 2>0: Г пгя (глт спят -] гл вот)в 1 ]['г(ср) = 2 ехр ~ о я ] Х и учесть определение интеграла вероятности (2,8.8), то придем следуюцей формуле: г ††' лг сов т + и в]п у ]у,(р)=- — е "+ ' -' — х 2« в )г Зт пг ссе з + глу ваап т г Г лгв — (гл сов т + гл «1п з)2 ) Рассмотрим два частных случая: а) Пусть т =- 0 (т =- а1„). Тогда из формул (5.2.21) и (5.2.23) получим Р-~-и (Тс (с) — е аа' г ~~'мс) о и 2 и паке 2 (вс (Р) аа ( к со т (р 1 слк соз т) 2и б) Предположим, что т =-т =-. т=О.
В данном случае г В',(2) =- —., е '»*, 2 > О, (5.2.24) (5.2.25) (5.2.26) ! о-а (Р) 2 1 (5.2.27) Плотность вероятности (5.2.26) называют законом Редея, а плотность вероятности (5.2.2!) — законом Райса 131, а иногда обобщенным законом Релея. Графики этих плотностей вероятностей приведены на рнс. ?.4 и 7.9. Графики плотностей вероятностей (5.2.25) изображены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
