В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Перепилим теперь равенство (5А.2) для двух моментое врелчйг Ет н т~(гт)=-а,+а, й(гг)+ ... + а„й" ((„), Ч(у )=-ав+атй(ут)+" + а.й" ((2) ~ й 1 ейножн левые и правые части этих равенств н выполний опе~ г л ~ тлю усрлнения. Тогда получим выражение для двумемного гп ьента М (( бв) аео+аеа, (М, (гт)+Мт (Евй+ +~-,'Мтт(у (в)+.„+ а,а„(М (тт)+М (ув))+". (э.44) 1! ты)пая еиалогично, получим выражения для высших мом нтов д у (81.
Если характеристика нелинейного элемента т) = Е($) ра=кла~шгается вряд Тейлора в окрестности некоторой точки с, г. е. 9=-а-+ат(й — с)+...+а.(с — с)", ае = 1,." ~~~'~~, (-4б) "=с для ноуантов т~ (г) получим соотношения Аа(г) =ае+а, (й (г') — с) + ... + а, <Д()) — с)"), лКтт (г,ив) — а„+а, а, (М, (()+Мт (Е,) — 2с)+а, (М„(~ю у,)— гйь(,(г,) - сМт(гв)+св)+ ... +а'„(5(е„) — с)л(й(гв) — с)л). (5.4.6) Для получения явного выражения моментов процесса т) (1) через моменты Ч(1) в данном случае нужно воспользоваться формулой бинома Ньютона ($ — с)'=,'» . "' .
Р-гс', г=о 11 (Д вЂ” 1)1 раскрыть члены вида [н (1г) с] [Н (1г) с] [ь ((г) с[ . Й 1~ я! о и и затем выполнить статистическое усреднение. Прн этом, если процесс ч(1) задан своими моментами, то сразу получим нужный результат. Если же процесс ~(~) задан плотностями вероятности нлн характеристическими функциями, то по ним нужно предварительно вычислить моменты (см. $ 4 гл. 3). Из формул (5.4.3), (5,4.4) и (5.4.5) видно, что моментные функции случайного процесса г)(Г) выражаются через моментные функции процесса й(1) линейно, но формулы для моментных функций выходного процесса включают более высокие момептные функции входного процесса.
В этом состоит одна из характерных особенностей нелинейного преобразования по сравнению с линейным. В заключение рассмотрим один конкретный пример. Пусть на нелинейный элемент с параболической характеристикой у=д(х)=аг х+а, х' (5.4.7) воздействует сумма сигнала з(1) н флуктуационного шума ч(1).
Сигнал н шум предполагаются независимыми. Сигнал представляет гармоническое колебание 5(1) = Аосоз (мо1+ гр) с постоянной амплитудой и частотой и случайной фазой гр, распределенной равномерно на интервале ( — гг, л). Шум является нормальным стационарным с нулевым средним значением и функцией корреляции Й(т)=($(1) ч(1+т))=о%(т), где гс(т) — коэффициент корреляции. Найдем функцию корреляции для сигнала г)(1) на выходе нелинейного элемента; т) (~) =аг [г (()+ ч (()]+аг [э (1)+з (1)]г (54.8) Путем статистического усреднения обеих частей этого ра. венства получим (5.4.9) так как ($(1))=-0, (з(1))=0, (з(() $(1))=О, (эг(1)) = — Ао.
Переггнакив равенства (5.4.8), относящиеся к моментам времени 1 и 1-$- т, статистически усреднив результат перемножения и проделан юсложные вычисления, найдем второй момент гйг(г) =- (Ч (с) т) (1+т)) =- — а', Ао сов соо т+а~ ог Я (т)+ 1 г г + — аг Ао] 1+ — „сов 2соот]+ 2аг Аоо гк (т) созсоот + г 47 1 г г +аг гА„'о'+а,' о [1+2ггг(т)]. (5.4.10) Еа основании (5.4.9) н (5.4.10) находим функцию корреляция 1 г 1 г К, (т) = иг (т) — пгг = — а г Ао соз со, т + — аг Ао соэ 2ого т— 8 +гзг~ о Л,' (т)+2аг Ао о й (т) соз ого т+ 2аг а А" (т). (й 4.
11) Зная ф] нкцню корреляции, по формуле (3.10.10) можно вычис. ппь спек'ральную плотность. Если задаться коэффициентоьг корреляции п5ма вида Я(т) = е — "1'1, где а я..ого, т, в результате вычислений 7 5 (г"1 получим Зч(0= ~ а Аг Ь([ — 1о)+ -]--1 а; А45(1 2) )+4аг ог х х ., +4аго ег+(ги()г ' аг+(як1)г + г~о У ~-4аг Асс —,--,— — — —;. (5А,12) ег+ го (1 — 6)г Рис. 5лг. дискретно-сгюошной Характер спектра изображен на с '" Р. ~ н с.
5.11 Спектр Яс()) является и скретно=плошным. Он состоит из двух дискретных спектральа~х лини1 при частотах )о и 2(о, обусловленных только сигналом ] ~ ервые ды слагаемых в формуле (5.4.! 2) ], низкочастотного =плош1к го спек лга, обусловленного шумом (третье н четвертое слагаекп~е), и спношного спектра, расположенного в окрестности 1вгстоты пгяала )с который обусловлен взаимодействием сигнала н шума «результггге нелинейного преобразования, Если бы преобразглвание ~ 1|ло лннеяным (аг=О), то из формулы (5.4.12) следовал бы о чевид~п10 РЕЗУЛ тат: ЭНЕРГЕтИЧЕСКИй СПЕКТР СУММЫ СИГНаЛа И НгКОРРЕ- и рованна-о с ним шума равен сумме энергетических спек" ров.
490 Хотя выше мы ограничились анализом воздейстния флуктуаций лишь на элементы с кусочно-линейными характеристиками, однако тот же метод применим и для элементов с кусочно-разрывными характеристиками более общего вида. Например, для преобразования Ч (() = Е(() =- ~ 10, $<. а, (5.6Л1) $ а(ч — а)', Ц >е получим т,=-.эпт [~1+ —,', ~ с0 ( — —,~ —. — Ф'~ —,Я (5 6 12) й (, ) ов ~т, );п(т) и ~(',) ~ с0ш ю ~ — -'-)~, (5.6.13) я=! в а Следует также указать, что полученные выше формулы приме- нимы к кусочно-разрывным преобразованиям суммыдвух и большего числа нормальных стационарных взаимно коррелированпых флук- туаций.
Если ~,(() и 5я(0 — нормальные стационарные н стацио- нарно связанные флуктуации с нулевыми средними значениями и функциями корреляции (В (()а,((+ ))= 7)~ (), <В,(()В.(1+))= ~Яв(), Дс(1) $я((+т))=о,о, Кся(т), то в предыдущих формулах нужно положить о'--ос+о~а+2о, и, Я„(0), )с (т) — и Ссос Яс (т)+па )с,(т)+п,ов [)т,в(т)+чтя( — т)1). Эффективность использонания 6-функции проявляется не только при вычислении корреляционных функций выходных флуктуаций, но также и при определении высших моментов [11[, а также при рассмотрении кусочно-линейных преобразований негауссовых флук- туаций [!2[. Изложенная методика с успехом может быть применена к вы- числению функции корреляции различных случайных сообщений, квантованных по уровню [13,141 0 7.
КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СООБЩЕНИЙ В общем случае под квантованием можно понимать преобразование непрерывной функции времени в ступенчатую кривую. В современных системах связи часто применяют преобразование исходного сообщения в ряд фиксированных значений, при помощи которых осуществляют модуляцшо радиосигнала и его передачу для 200 последующего восстанонления сообщения на приемной стороне, Прн этом сообщение подвергают квантованию. Обычно применяют два способа квантования: 1) по уровням и 2) по времени и по уровням. Процесс квантования сообщения $(() по уровням поясняет рис. 5.18. Разобьем интервал нозможных значений функции $(с) па элементсриые подынтервалы точками зь кв, ..., $су с. Величины ча принято изнывать порогами квантования, а разность между ними Рис в.та.
Квантование по уровням. 'с, == 3с — Ц с — шагом квантования. Если истинное значение «аойщения ь(() в какой-либо момент времени ( находится внутри щ которого подынтервала Лс, то вместо него берется соответствуюнсссй уровень т1,. При этом вместо непрерывной функции я(г) будет : случена ступенчатая кривая т[(1).
Такое преобразование можно уцествить„если исходную функцию $(г) подвергнуть нелинейному ~п еэбразованию д($) ступенчатого вида (рис. 5.18). Квантование по времени и по уровням можно получить путем .К смотрения временных отсчетов функции $(1) через определенные ссврвалы времени В (стробирование), пропускания этих отсчетов рсз неливейный элемент с характеристикой д(3) ступенчатого и ы и последующего расширения отдельных отсчетов до величины исг"рвала квантования по времени с9. Сказанное поясняет рис. 5.19.
11редположим, что квантованию по уровням подвергается норси пый стационарный шум я(с) с нулевым средним значением и 201 7=у!'О 2 4, 8 16 ! 32 1,~1 Число уроанса Лг Срсднснааарагиянан ность с а'($)-= Х А!6| — ~,), найдем лг — ! 1 ~ ф ..., ( о )~ З" !;) (5.7.2) 262 203 функцией корреляции ав)с(т). Обозначим разность между соседними уровнял!и квантования через Л! = т(г+! — т(и !' =- 1, 2, 3, тзу — 1.
Будем для простоты считать общее число уровней кванто- вания четным числом, а функцпю д(~) — нечетной, т. е. ф$) = = — ф — 9). Тогда, очевидно, среднее значение процесса т)(5) равно нулю, а функция корреляции определяется формулой (5.б.3): з„(! —. —,7'.~ ) а(аев "(Цз!) "„,' [з!!! рис. 5др. Квантование по времени и уровням. Выполнив интегрирование по частям и учитыная, что м — ! Подставив это выражение в (5.7.1), получим формулу для функции корреляции 14ногда представляет интерес задача выбора оптимальных порогов яли урозней квантования, при которых средняя квадратичная погрешность между 9(5) н т((5) минимальна: е~„г„= (19 (1) — т( (5)1').
(5.7.3) Результаты решения этой задачи приведены в работе П41, Для частного случая, когда разность между соседннмн уровнями квантования постоянна (!з! = Ао = сот!81), оип частично йоспронзведезы в табл. 5.7.1. Прн этом принято о=-- 1. Т а 6 а и ц а 6.7.1 Оптимальиыс уровни квантовании Разность з!сжку соседними уров-,' ниин ае )1,596 ~0,9957, :0,5860 0,3352 ~ 0,1881 погреш0,36340,1188~ 0,03744 0,01154 ! 0,00349 Оказываегся, что при числе уронней квантования )у'=.:;8 неравномерный шаг квантования по уровням незначительно уменьшает величину среднеи квадратичной погрешности (например, для 7!7 = 8 прн неравно!зерном шаге в' г„= 0,03454 вместо 0,03744).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
