В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(4.6.10) 466 Поскольку все импульсы имеют одинаковую высоту А„то это уравнение распадается на два, справедливые соответственно в течение действия импульса и паузы между импульсами. Если обозначить значения напряжения и(г) в начале и в конце 1-го импульса через У; н У„то можем записать решение уравнения (4.6.2) так; и,(1) = а„+((у'; — а,) ехр[ — к(! — 1~)[, 1; -Сг<1;+тьь и(1)= иа(!) = (у! ехр [ — [1(1 — 1; — т;)), 1,+т; (1< у! ь!, (4.6. 3) )+50 ! ВР а= — —, р=- — а =- гС = ЛС а= )+.Ч)е Аа Величина а, равна максимально возможному значению напряжения на цепочке ЯС, которое может быть достигнуто в течение действия импульса. Рис. 4ЛО. Случайные импульсы прямоугольной формы.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что взятый наугад момент времени 1 совпал с наличием импульса, илн и(!) = и,(1), а через  — противоположное событие, т. е. и(!) = иа(1). При независимости величин т и Л по формуле полной вероятности можем написать [Р (и) =Р(А) ео(и [ А)+ Р (В) со (и [ В) = Р(А) !о (и )+Р (В) ео (иа), (4 6 5) где Р(А) и Р(В) — вероятности несовместимых событий А и В; !о (и [ А)= !о (и,) н ео(и ~ ~В) =!о (и,) — условные плотности вероятности для йзпряжеиня и(у) =- и,(!) и и(у)=и,(!), Для вероятностей Р(А) и Р(В) имеем очевидные выражения Р(А) = ', Р(В) = ' . (4.6,6) Таким образом, задача определения [Р(и) сводится к вычислению условных вероятностей !о(иу) и !о(иа).
Для этого воспользуемся решением (4.6.3). Первое ьыражение (4.6.3) можно рассматривать как уравнени~ между независимыми случайными величинами (у'; и 6 = ! — уо с одной стоповы, и и,(1) — с другой. Действительно, пусть [у'„((у") есть плотно ть вероятности для нижних ординат точек излома кривой и(г) в вьчале импульса (рис. 4.10), а Рд(6) — плотность вероятности для схучайной величины 6 = у — у, при условии осуществления в молент времени г события А. Тогда ва основании формулы (5.1.21) с учетом уравнения (4.6.3) получим то (иа) ) 1[ун [аа + (и1 аа) е )РА (х) ! ) ) / 4[х =- а (1, а) а = ) [[у„[па+(и,— а,)е" ) Рл(х)е'"с[х.
о Это предстянление для го(и,) получено путем перехода от переменной У; к новой переменной и„определяемой уравнением (4.6.3), и от переменной 6 к х. Можно, конечно, поступить наоборот. Путем аяалогичных рассуждений получим следующее выражение для ш(иа): го (иа) = 1 [у'„(и, еву) Рв (у) е'у !)у. (4.6.8) о Здесь 1у„(;/") — плотность вероятности для верхних ординат то»ек излома кривой и(1) в конце импульса н Рв (6) — плотность пероятностх для случайной величины 6 = г — (у, + т,.). Выражения (4.6.7) и (4.6.8) дают представление функций плот. ности верснтности ео(и,) и ео(и,) через неизвестные пока функции Р„(6), Рв(6), йг„(У') и [ьУ„(У").
Найдем эти функции. Обозначим через [У',(т[А) Л, вероятность того, что при осуществлении события А случайно выбранный момент времени 1 приходится именно на импульсы с длительностью от т до т+Л,. Очевидно, кто Рл (6) =- ~ Рл (6 [ т) ЧУ, (т [ А) г[т, (4.6.9) |де Рд(Ь' ,т) — условная вероятность величины 6 при условии осуществления события А и фиксированной длительности импульса.
! [и при заданной длительности импульса т случайная величипл Ь может принимать лишь два значения: единицу при 0<Ь (т л нуль при 6 ' > т, т. е. литйрдтзРА (4.6. 11) Рл (6) = ~ — Цуд ( с) с(т. (4.6. 12) (4.6. 14) 466 Плотность вероятности Ю'г(т!А) легко находится путем рассуждений, применявшихся в начале 9 2. Если рассматривать реализацию достаточно большой длительности Т, содержащую 1. импульсов, то общее время, занятое всеми импульсами, равно и,/.. Часть этого времени, равная т1(т), занята импульсами с длительностью от т до с + А,.
Поэтому йт,(т~ А) =1пп ' (') = — 'йт,(т), ео Подставив выражения (4.6.10) и (4.6.11) в (4.6.9), находим интересующую нас плотность вероятности' Такие же рассуждения приводят к следующему выражению для Рп(б)! Рп (6) = ) (к в (ы) с(ы (4.6.13) о Перейдем теперь к вычислению функций Р к((/') и ск',((/"). Определение этих функций представляет наибольшую трудность при решении рассматриваемой задачи. Если в первое выражение (4.6.3) подставить вместо длительность импульса тп то получим связь между ординатой (/с нижнего излома кривой и(1) и ординатой (/г верхнего излома той же кривой.
Точно также, положив Аг+г = 1 — 1,. — т„из второго выражения (4,6.3) получим связь между (/г и (/'г+о Применяя далее тот же способ, который использовался для получения плотностей вероятностей ш(и,) и в(их), получаем следующие уравнения: В'к((/») = ) 'йгн(ав — ((/" — а„)е"'! уст,(х)е„»г!х, о 'йт, ((/') = ) В', ((/') Ю', (у) еая г!у. а Эта пара интегральных уравнений определяет функции уст„(1/') и В'„((/"). Отметилс, что даже для простейших плотностей вероятностей уст,(т) и йтз(А) решение интегральных уравнений (4.6.14) оказывается довольно трудной математической задачей. Поэтому часто ограничиваются определением одномерных моментов выходного напряжения 114).
1. А м иа н т о в И. Н., Т и х о н о в В. И. Функция корреляции случайной шследовательности прямоугольных импульсов. «Радиотехника», 1959, № 4. 2. С ел х к и н Н. М. Элементы теории случайных импульсных потоков. Изд-зо Советское радио», 1965. 3. Л е в л н В.
Р. Теория случайных процессов и ее применение з радиотехнике. 54зд-во «Советское радио», 1960, 4. 1. е е У. %. 51а11з!1са! 1йеогу о1 согппшп1саиоп. Лойп %!!еу, 1960, 5. Ц я нъ С ю э-С э н ь. Техническая кибернетика, Пер. с англ. Изд-во иностранной литературы, 1956. 6. С т ра т о н о н и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций а раднотехн|ке. Изд-во «Советское радио», 1961. 7.
В е псле 1 %. К., К ! с е Б. О. Зрес1га! дел«Ну апб ап1осогге!а1юп !ппга!оп взнос!а1еб тч!!й Ьгпагу !геяпепсу — зЫВ йеу1пй. ВЕТЛ, !965, ч. 42, Л«Г Б. 8. Теории передачи электрических сигналов при наличии помех. Пер. с англ. Сборник статей под редакцией Н. А. Железнова. Изд, иностранной литературы, 1953. 9. М а к Д о н а л ь д Д. Введение в физику шумов и флуктуаций. Изд-во «Мю», 1964, 10. %оп1ат %. М., Рпнег А. Т. РгоЬаЬг111у депзи1ез о! Ше ыпоогпеб «гапбогп 1е!шгарЬ з!япа!». Лопгпа! о1, Е!ес1гоп!сз апб Соп1го1, 19Б8, № 6.
11. %оп1 агп %. М. Тгап«Шоп ргоЬаЬг!иу депзШез о! Ьйе зшоо1йеб гапдош 1е!еягарт з!Бпа!. Лоцгпа1 о1 Е!ес1гоп1сз апб Сои!го!, 1959, № 4, 12. Мсршбеп Л. А. Тйе ргоЬаЬ«Шу бепзиу о1 Све он1рп1 о1 ап КС Ш1«г «тйеп .Ье !прп1 1з а Ь!пагу гапбогп ргосем. Тгапз. 1КЕ, 1959, 1Т-5, № 4. 13. Т ик о н о в В. И. Воздействие прямоугольных импульсов со случайными цлнтельиостями и пронек«утками на линейный детектор.
«Радиотехника», 195, !т" 12. 14. В а: и л ь е в Д. В. Инерционное детектирование случзйной последовательн»сти прямоугольных импульсов. «Известия вузов», Радиофизика, 1960, Рй Б. 15. Мед в ед е в Г. А. Воздействие импульсных потоков Пальма на радиотехнич ские системы с емкостными накопителями. «Известия вузов», !»ахиофнэнк:, 1961, № 2. Глава З ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ арахтернстики дЯ) на том участке оси а, где имеет место достаточно большая вероятность появления случайного процесса в(1). ~!а тзх же чистках характеристики, на которые процесс попадает редко, может быть допущена большая погрешность аппроксимации.
Часто применяются следующие три вида аппроксимации: полиномоя, ломптой линией (кусочно-разрывная аппроксимация) и ~рансцендентиынти функциями (в частности, экспонеитой). Каждый нз э-их видов имеет свои преимущества и недостатки. При этом нужно иметь н виду, что требование точности аппроксимации и треювание простоты аналитического выражения в известном смысле противоречивы и, как правило, плохо согласуются между собой.
а 4. пРеОБРА3ОВАние плОтнОстеЙ ВеРОятнОстей Среди нелинейных преобразований случайных процессов простейшим является такое преобразование, при котором значение выходной функции т1(1) в любой момент времени определяется только значением входной функции $(с) в тот же момент времени: т((1) = й'($ (1)), (5.1.1) где Е$) — некоторая нелинейная функция (рис.
5.1). Такое нелинейное преобразование можно назвать безынерционным или функциональным. К безынерционному нелинейному преобразованию сводятся преобразования, когда входная функция в(с) подвергается дополнительной тРансфоРмации линейной системой Сь а выходнаЯ т1(1)— линейной системой Т.„причем эти системы не оказывают реакции на нелинейный элемент. Такое преобразование можно записать: ц (г) = ~ а (~т $ (г)), (5.1.2) где 7 з и Ез — линейные операторы, описывающие поведение линейных систем. Правила преобразования характернстик случайных процессов линейными системами будут установлены в гл, 6. Поэтому для изучения всех указанных преобразований достаточно рассмотреть преобразование вида (5.1.1).
Относительно вида нелинейной функции дф можно сказать следующее. Обычно ее получают экспериментально как характеристику нелинейного устройства илн элемента (лампы, полупроводника и др.). При аналитическом рассмотрении эту характеристику следует аппроксимировать тем или иным способом. При подборе такой аппроксимации важно то, чтобы достигалась хорошая аппроксимация 470 у(сг~ссг) à — —. слинейная ~Ггг сис алема ьг с (1) Линейная ггЕ~г) 0езынеаииан сасягема ев Еааанае Рио $.П Нелинейные безынерционные преобразования. (5.1. 3) Поскольку плотности вероятности не могут быть отрицательныии, то в формулу (5.1.3) нужно подставлять модуль производной: Ю',(т() = тп,(п(т)))(й'(т() ~.
(5.1,4) 471 При анализе преобразования случайных процессов линейными нли нелинейными системами задача ставится так: предполагая известными параметры системы и статистические характеристики входного пртцесса $(в), требуется найти статистические характеристики процесса т)(1), получаюгцегося на выходе. Рассмотрим простейший случай. Пусть известна плотность вероятности иЯ) случайной величины з и нужно найти плотность версятности %',(т1) случайной величины т( =дД). Предположим пока, что существует однозначная обратная функция й = Ь(т(). Так как сл)чайные величины связаны однозначной детерминированной зависимостью, то из того факта, что в заключено вдостаточно валом интервале (чв, йв + сс$1, достоверно следует, что величина т( будет находиться в интервале (т)„т)в+ г(т)1, где т), =-дЯв) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
