В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Покажем это, например, для плотности вероятности )агг(т). Рассмо-рим ансамбль, содержащий достаточно большое число 1т' реализаций, наблюдаемых на выходе одновременно работаюгцих ндектичныч систем. В какой-либо фиксированный момент вромени 1 будем имгь М импульсов ансамбля (М <Л1). Из этих М импульсов часть иьпульсов т(т) будет иметь длительность, заклюсенную в интервазе (т, т+ Лт), где Лт — достаточно малая величина.
Тогда Рассметрим теперь одну реализацию достаточно больше й дли- тельности Т, содержащую большое число импульсов 7.. Очгвидно, что средне число импульсов, появляющихся в единицу в(емени, равно Обозначим число импульсов в реализации, длнтельност~ 'которых заключена в промежутке (т, т + Лт), через У(т). Тогда суммарная дгля времени ЛТ, занятая такими импульсами, равна: ЛТ = т1(;). Если определить плотность вероятности по времени аиалогичю (4.2.3) как относительную долю времени реализации, занятую кмпульсами длительностью от т до т + Лт, то с учетом (4.2.5) мсэкем написать униты;ая, что для однородных во времени процессоп справедливо равенство Форму.а (4.2.7) показывает различие между плотностями вероятности полученными на основании рассмотрения одной Ззеализации и ансамбля реализаций. Это различие следует иметь в виду прн экспееиментальном определении плотности вероятности Ю',(т) по осциллограммам.
Хотя пользуются как плотностью ве(азятносзя Фд(т), так и плотностью вероятности Ю',(г), в дальнейгхем мы будем в виновном оперировать с плотностью вероятности !г',(т), онределяегой путем усреднения по ансамблю. (4.3.2) а) (4.3.3) с, д/с) бс с г сю со С,ч в> (4.3.5) [О при других (4.3.1) 150 $ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СЛУЧА51НЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ Рассмотрим стационарную случайную последовательность прямоугольных импульсов (рис. 4.5, а) с взаимно независимыми амплитудами А„длительностями т. и интервалами Ля, где индексы (, 1', й принимают всевозможные значения.
Будем считать заданными плотности вероятности ()У(А), %'с(т) и Рая(Л) для указанных параметров импульсов. -б(С.С,-Г) -б(С-С;Га -б(С-С ч-с, и-б(С-С -ГЛ Рис. АЗ. Случайная последовательность прямоугольныя импульсов (а), соответствующие ей прямоугольные им- пульсы единичной высоты (б) и ия производная (я). Одной из важнейших статистических характеристик импульсного случайного процесса является спектральная плотность (илн функция корреляции). Оказывается, что в данном случае легче вычислить спектральную плотность, чем функцию корреляции.
Поэтому здесь мы лишь кратко укажем метод непосредственного вычисления функции корреляции [11, а в З 4 более подробно разберем метод вычисления спектральной плотности (5, 51. Запишем рассматриваемый случайный стационарный импульсный процесс в следующем виде: При такой записи в явном виде выделена амплитуда импульсов.
Очевидно, что стационарный случайный процесс гоставленньй из последовательности функций )с(С вЂ” (;), копирует исходный илпульсный процесс й(С) с той лишь разницей, что теперь все импулыы имеют амплитуду, равную единице (рис. 4.5, б). Учитывал взаимную независимость отдельных параметров импульсов, для среднего значения можем написать тгсс=--(й(т))=,~я (Ас) (сс (С вЂ” гс)) = стсА ~ (сг (С вЂ” тт)) =- сссА(т)(т)). При вы ислении среднего значения случайной последовательности прямяугольных импульсов единичной высоты воспользуемся следующсй теоремой. Среднее значение равно вероятности события, состоящего в том, что при случайном бросании точки на ось преиени она упадет на одно из оснований импульсов, а не на промежуток мекду импульсами. Действительно, случайная функция т)(С) в любой момент времени может принимать только два значения: О и 1.
Обозначим вероятности эгих значений соответственно через р, = Р(т)(г) =0) и р, = Р(т)(С) = 1). Очевидно, что (1о р, есть вероятность того, что рассматриваемый момент времени окажется нз основании какого-либо импульса. В свою очередь, она равна етношению средней длительности импульса к среднему интервалу между моментами появления двух соседних импульсов, т. е.
т, ! рс-— -- =угли ' (4.3.4) гл,+т,~ ™ т,—,т ((озтому внражение (4.3.3) можно записать в окончательном виде: Укажемтеперь метод вычисления функции корреляции. По определению функция корреляции равна: )г ().) = ттт()ь) — т'„гпт т (),) = (й(С) й(С+).)). (4.3. 6) тм(Х)=(А') Ре(Х)+т., )~ Рг(Л). (4.3.10) ЕЕ ЕЛ Е, Е а! — ~ Ф,(т) с(т — — — ч Ю'~ (т) (Ет !Ео (4.3.1 1) (4.3.9) т„(Х) = т„( — Х). 432 Воспользовавшись выражением (4.3.1), представим двумерный момент второго порядка лгм(Х) в виде суммы тм(Л) =- ~Х (А~) ((! (Š— Ч У!.'(Š— Е!+ Х))+ е» +1 ~~,', (А;) (А!) (!'! (Š— Е~) Д(Š— ЕЕ+2)) = ~ к!= — е» «пФЕ! =(А') ~ (Е!(Š— Е!)~!(Š— Е!+Л))+тл ~ (~(Š— Е!))еЕ(Š— ЕЕ+Х)).
» = — О» !, Е= — о» п~!> (4.3.7) Входящие в (4.3.7) средние значения слагаемых найдем на основании теоремы: среднее значение ( Е,(Š— Е,) Е,.(Š— Е! + Л) ) равно вероятности события, состоящего в том„что при бросании Х-отрезка (т. е. отрезка длительности Х) нз ось времени этот отрезок упадет обоими концами на основания Е-го и Е-го импульсов, но ни один из концов не упадег на промежуток между импульсами. Действительно, пусть Е(!.
Тогда при бросании отрезка длительностью Х возможны четыре различных исхода. 1) С вероятностью рм левый конец упал на основание Е-го импульса, а правый иа основание Е-го импульса, при этом Е!(Š— Е,) Е!(Š— Е, + Х) = 1. 2) С вероятностью Р«г левый конец упал на промежуток между импульсами, а правый на основание Е-го импульса. В данном случае !",(Š— Е,)Ее(Š— Е;+ Х) =О ЕЕ(Š— Е!-1 Х) = О.
Применяя аналогичные обозначения для других двух случаев, находим среднее значение (Е;(Š— Е;)1Е(Š— ЕЕ+Х))==1 Рм+О Рм+О Рге+О Ро«=Р««(438) Для определенности совместим момент Е, появления «нулевого! импульса с моментом появления импульса, в пределах основаних которого окажется левый конец Х-отрезка.
Такое совмещение правомерно, так как случайная последовательность предполагается стационарной, причем в данном случае Обозначим через С; событие, что левый конец Х-отрезка находится на основании нулевого импульса, а правый — на основании Е-го импульса. Например, событие С, состоит в том, что Х-отрезок весь лежит внутри основания нулевого импульса; С, — левый конец лежит на основании нулевого импульса, а правый — иа основании первого импульса и т. д. Обозначим вероятности этих несовместидых событий через Р!(Х), Е=- О, 1, 2,...
Тогда формулу (4.3.7) мож!о записать в таком виде Таким «бравом, задача определения функции корреляции (4.3.6) сведена к мячислению вероятностей Р!(Х), Е = О, 1, 2, 3, ... Пользуясь фор«улой (4.3.8), эти вероятности можно выразить через У',(т) и )У'«(Л) 111. Повторив рассуждения, приведшие к формуле (4.2.7), можно убедиться, что вероятность того, что произвольно взятый момент времени Е попадает на основание импульса с длительностью т Рис.
4.6. К вычислению вероятностей Р»(Х) и Р,(Х). п интервале (т, т+ г(т) равна Ф,(т)!Ет. Вероятность же того, что он распаде«кен в элементарном интервале (р, р+ !Ер), отстоящем на 1»асстояниг р)0 от начала рассматриваемого импульса, равна ~ЕЕ»Ет, так хак в пределах импульса равновероятны все значения р (рис. 4.6, з). Поэтому вероятность того, что момент времени Е находится на расстоянии р от начала какого-либо импульса с длительностью т, заключенной в интервале (т, т+ ЕЕт), равна Если момент времени Е расположен указанным образом, то вероятнось попадания момента времени Е-+ Х (правого конца Х-отрезка) на;от же самый импульс будет равна единице при р+ Х (т, т. е. если р изменяется в пределах 0(р(т — Х.
Проинтегрировав (4.3.11) пс этим значениям р и учитывая условие (4.3.9), имеем ( (т — ! Х ~ ) ч К, (т) Ет при ~ Х ~ ( т, т 'и',(т) дг ) !Ер= 0 при ~ Х!) т. (4.3.1 2) Если теперь проинтегрировать (4.3.12) по всем возможным значениям длительности т, то получим вероятность Ро(Л) нахождения Л-отрезка на нулевом импульсе: Р (Л)=м ) (т — ! Л!) Ж',(т) 41т. (4.3.1 3) ~л~ Вычислим вероятности" Р;(Л), 4' = 1, 2, 3, ..., рассматривая случайную последовательность прямоугольных импульсов единичной высоты т)(1).
Для сокращения записи обозначим совместную плотность вероятности )'гз(тв тт гт)=)т л(то) ть'л(тт) )ьгг(лт). (4.3.! 4) где то — длительность нулевого импульса; г; — момент появления 1-го импульса. Вероятность того, что левый конец Л-отрезка находится на основании яулевого импульса с длительностью (то, со 1- с!то) и расположен на расстоянии р от его начала, дается выражением (4.3.11) и Равна УВ'л(то)с(твглР, где 0(р< т,.
(4.3.! 5) Если левый конец Л-отрезка находится в пределах основания нулевого импульса, то вероятность нахождения его правого конца в пределах основания 1-го импульса (рис. 4.6, б) совпадает с вероятностью выполнения неравенства гс — Л ( р(гл — Л+ть (4.3.16) Следовательно, для вычисления вероятности Рг(Л) нужно проинтегрировать выражение у )ь л(то) )4'л (тт) )4 т (!4) с(тол(тт с!лт гтР= тг )4'з(то ть гл) с!тогттл Йт 41р (4.3.17) по всем значениям р, т„ть уо прн которых левый конец Л-отрезка расположен на основании нулевого импульса, а правый — на основании 1-го импульса. Так как выражение (4.3.17) не зависит от р, то целесообразно проинтегрировать его сначала по р.
Из (4.3.15) и (4.3.16) получаем, во-первых, условие совместности этих неравенств — „(Л(!4+, (4.3.18) н, во-вторых, четыре области интегрирования: лз„й„ы„зз4, в каждой из которых можно выполнить интегрирование по р; ь)л — если 0(Л, т„-'гт — Л+ть то 0(р(то, Ы,— если !т(Л, то)!т — Л+то то 0(р(1,+Л+т;; '44' — если !4) Л, то) !г — Л+ть то 14 — Л~ (л< !т — Л+ч', й)4 — если уг)Л, то(!т Л+тг, то 1; — Л(р(т,. $54 Проингегрировав (4.3.17) по этим областям, получим интересующую нас плотность вероятности Р,(Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
