В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если рассматривать не нидеоичпульсы, а рациоимпульсы, то задача несколько усложнится, так как появятс! дополнительные случайные параметры (частота, начальная фаза и др.), по которым нужно выполнять статистическое усреднечие [7). 8)((о) =-(емт) =- ~ е! "т [У(Т) о(Т. 'о (4.4.16) Если величины т; и ТО прн разных значениях индексов ! и й можно считать независимыми, то, повторив выкладки, аналогичные тем, которые применялись при выводе формул (4,4.8) и (4.4.10), получим следующую формулу: 2А. '~! — о(-) о",( )1 [! — й,(-)~ 52(оу) = — „— К1е " тт 1 — О(юи) (4.4.17) 2АО 1 — ~Н(21()1)о — (! — (9)о) йе 91 — (! — [йг(о) )!е О 'и тт ! 1 — (2!о 460 Иногда указывается плотность вероятности не для интервалов между импульсами 121, а для промежутков времени между моментами появления двух соседних импульсов Т(=(1 — 11 1, 1=-1, 2, ...
(4.4.! 5) Обозначим характеристическую функцию для случайных величин Т; через Рис 4.В. Случайный телеграфный сигнал. (4.5.1) т — сред(ие число скачков в единицу времени. Такой импульсный случайный процесс часто называют случай11ч телеграфгым сигналом; он изображен на рис. 4.8. В данном случае функцию корреляции можно получить непосред, щьчо при помощи формулы (4.3.8). Так как случайная функция ЬВЬ 1, характерлзуемая тем, что в любой момент времени ! равно- 11 роятны два значения $(!): Ао н нуль, причем вероятность того, ,«1 в достатосно большом интервале времени т происходит и скач«а, задается законом Пуассона Ро(п)= — „- е-", ( е)" л1 $(1) в любой момент времени принимает лишь два значения $(!) = = 4о н ь(!) = 0 с равными вероятностями р, = р, = 0,5, то ее среднее значение равно: и!» =- (ь(»))= — Ао'Рь+О ° Ро= 2-Ао (,, ) 4.5,2) Используя те же обозначения, что и в $ 3, для м ля момента спп(т) можем написать си»(т)=($(гф((+т))=-(О 0) р„+(О Ао) Рос+(Ао'0) Рьо+(Ао'Ао) Р»= =Ао Р»с (4,5.3) Вероятность рм совместного выполнения равенств $(!)=Ао и $(~+т)=Ао совпадает с вероятностью того, что за интервал времени т происходит четное число скачков, т.
е. Р„=-Р,Р,(п)= ! = — Р,(п) пря и четном. Следовательно, и (т)=- — А' е — т!' ~~ (ч!' П , п — четное. (4.5.4) и=о Этот ряд можно записать иначе: (ч/т!)" 1 Чуч (ч!'»!)и ! ч~у ( — ъ)т ) ! ( т!т!+ — ч,т!) и! 2 ~нис и! ,м и! ~ 2 и О и=о и=-о си — четное) Поэтому ,п„(т)=.. Аоо(!+е — 2''!) н на основании формулы (4.3.б) получаем окончательное выражение для корреляционной функции 2 ! 2 й(т) =си»(т) — си = — Ар е (4.5.5) (4.5.8) 163 Отсюда видно, что спектр случайного телеграфного сигнала сплошной.
Иногда импульсный случайный процесс вида, показанного на рис. 4.8, получают при помощи одностороннего или двустороннего идеального ограничения нормального стационарного шума. Такие ограниченные (клиппированные) процессы в общем случае ие являются пуассоновскими; их функция корреляции определяется формулой (5.б.4в).
2. Наложение пуассоновских возмущений. Пусть случайный процесс можно представить в виде суммы З (с) = ~', пс а 7 (! — (;). (4,5.7) (нов ~)) = (а ~ ис) (! — 'сс)) =а ~ (ис) 7 (! — (с). Если т — среднее число возмущений, возникающих в единицу мзни, то среднее число возмущений (ис) за очень малый инрвал времени сьсс равно: (и;)=-тсь(с. Поэтому ('.
(!)) = ча ~Р ! (! — (с) Л(; == та ~ с (( — 1с) Ис. о нсь верхнвй предел интегрирования взят равным с потому, ((с — (с) = 0 при ! (»с. Заменяя переменную интегрирования й=х, похучим с ($ (с)) =-та ) С(х) с(х. о ! !з равенств (4.5.5) и (4.5.7) имеем $(() — (К (!)) =- а ~ $пс — (ис)) ~(! — (с).
(4.5.8) 163 Осесь п, — !исло элементарных импульсов (возмущений), возни.аюшнх за достаточно малый интервал времени сьсс, сс — случай~ый момент появления (-го возмущения, имеющего детерминнрон»иную форьу аС(с — (с), где 7(с —. 1,.)= 0 при С(1с. Длительность ,иждого вовк ущения может быть.как конечной, так и бесконечной. ' лучайные дивчины п, и 1с считаются независимыми. Предполо- ~ пм далее, чго моменты появления (с отдельных возмущений также саоиснмьц г. е. вероятность Р,(п) того, что за некоторое время т , знккает п возмущений, определяется по-прежнему законом Пуасьча (4.5.!), в котором т — среднее число возмущений в единицу .!»емени.
По|разумевается, что т значительно превышает длительн сть злемениарного возмущения. Найдем среднее значение и функцию корреляции случайного !нщесса з(1, представляющего собой результат наложения отльных воза ущений. Прежде нм перейти к вычислениям, приведем один пример, ~ шскяющий смысл отдельных величин. Если рассматривать дробой шум в ззсектронных лампах, то под и, следует понимать число ~сктронов, вылетающих из катода за малый интервал времени ! О (; т„где, — время пролета электрона в лампе; под ас(с — сс)— оч«ульс тока (напряжения) в анодной нагрузке, вызываемый прогон одного электрона, вылетевшего из катода в момент времени яекоторсй фиксированной начальной скоростью.
Чтобы учссть нестационарный (переходный) характер процесса ~с), предполсзжим, что возмущения начинают возникать только »лс момен"л с = О. Статистически усредняя левую и правую .и тн равенсгва (4.5.5), имеем Поэтому для функции корреляции можем написать выражение К (1, )=-ао Х Х([п; — ('.)) [и — (пг) [) Ы вЂ” 1») [(1 — «+ ).
г Так как случайные величины и; — (и») и п1 — <п1> при 1+1 независимы, то К; (1, т)==а» У ([п, — (и;) [о) )(1 — 1,) [(1 — О+т). По предположению, случайная величина и, распределена по закону Пуассона (4.5.1). Согласно (2.7.4) дисперсия пуассонов- ского распределения равна математическому ожиданию, т. е. ([и; — (п~)[т)=(п )»-9Л1ь Следовательно, К:, (1, т) =пот ~;1(г — 1;) [(! — О+т) ЛГ; =аоо ~ 7(х) Г(х+т)»(х. о (4.5.9) Чтобы перейтп к стационарному состоянию, нужно в формулах (4.5.8) и (4,5.9) положить 1-но.. Г1рн этом получим т» = (Ц (1) ) =ыоа ) Г (х)»(х, (4,5.10) о й»(т)» ма' ~)(х)[(х+т) й»х о (4.5т1 1) Эти две формулы в литературе называют формулами Кэмпбелла (9[, До сих пор предполагалось, что все элементарные возмущения одинаковы по форме и интенсивности и отличаются лишь моментами появления. Чтобы учесть неодинаковую интенсивность воз.
мущений, нужно в предыду»цих выражениях считать амплитудный множитель а случайной величиной а,. Величины а, определяют на. чальные значения возмущений. Например, в указанном выше примере дробового шума множителями ат можно учесть неодинаковую интенсивность элементарных импульсов из-за различия начальных скоростей отдельных электронов, вылетающих из катода.
Если значения а,. статистически независимы от и, и 1п то в формулах (4.5.8) — (4.5.11) нужно выполнить дополнительное усред. пение по возможным значениям ап Прн этом формулы (4.5.8) и (4.5.9) примут соответственно вид Можно пжазать [8[, что кумулянты процесса $(1) в стационарном состоянии равны: хе= о (а") ) Г" (х)»(х. (4.5.
14) »Вормулы Кэмпбелла вместе с (4.5.14) позволяют находить ста~псткческие характеристики стационарного процесса $(Г) на выходе побой лине»ной системы, когда на нее воздействуют случайные куассоновск»е возмущения. Для этого нужно лишь знать отклик истомы 1(1) э»а элементарный импульс, возникающий в момент времени 1=0. Воздействие пуассоповских импульсов и, в частности, лу»айного гелеграфного сигнала на интегрирующую цепочку 1»С подробно рюсмотрено в работах [10 — 12[.
Гораздо сложнее решактгся задачи связанные с нелинейными преобразованиями случайных нмпулыиых процессов. 6 6. ДЕТЕК1В4РОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ 5 (7 при (7) О, 0 при (7 (О. (4.6.1) Рис. 4.9. Линейный инерционный детектор. Расчет т»чности интегральных счетчиков радиоактивных излуппий, 1»ако»э»тельных схем и некоторых измерительных радиотехнических усройств сводится к следующей задаче [13 — 151. На ли|пйный детектор (рнс. 4.9) воздействует напряжение $(1), пред- тавхяющее собой случайную последовательность неперекрываюп»ихся пряхоугольных импульсов одинаковой высоты Ао со лучайными и независимыми длительностями т, и паузами Л, ~рис. 4.10).
Полагая известными плотности вероятности Ф'т(т) и 11т,(Л), наГцпм плотность вероятпостя Го'(и) цля напряжения и(1) па выходе дегектора, причем вольтпмперную йирактеристику диода ~1удем счит»ть линейно-разрыв- о! юй, т. е. (4.5.12) и+ Кси С ((й — и). 1 1 (4.5.2) (4.5.13) 46$ (й(1))==9(а) ~ Г(х)»1х, 'о К» (1, т) =- т (а") ~ [(х) ~(х+т)»(х. о Днфферегциальное уравнение, связывающее входное напряжение й(1) с н»пряженнем и(1) на цепочке 1»С, имеет вид где (4.6.4) (4.6.7) [1 при 6(т, [О при 6 ь т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
