В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 31
Текст из файла (страница 31)
?.11. 'гесь поды1тегральная ф5 нкция отлична от нуля лишь при одно:рспенном пополнении четырех неравенств: а . зг (Ь; с(т( — ьз(сг. Россмот)ев условия совместного выполнения этих неравенств, ~и>лучил саедующий результат; О, з)(а+ с, ч — а — с — — а --'- с (з) «. Ь + с, (о — и) (с( — с) ' Ь;- с .
-, т( ( а + с(, (5. 2.29) (р (ч)= о+ с( — ч (Ь -- а) (й — с) ' а+с((ит( (Ь+ г(, т() Ь + г(. з 3. ПЛОТ$ ОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ И КОРМА)ЬНОГО ШУМА Плотное-ь вероятности (ГУз(з)) имеет вид равнобедренной трапеции (рис. 5.7). При (д — с) =- (Ь вЂ” а) трапеция переходит в рав~и~Гедрепньй треугольник. Можно ~оказать !51, что при композиции большого числа незаюгсияых, (авномерно распределенных случайных величии в преале получгется нормальная плотность вероятности.
а а 5 с аяс 5 с ~у а с? Овг( р Рис. 5.7. Композиция двук равномернык распределений, 7. Найдем плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин йг н $о, каждая из которых распределена равномерно (рис. 5.7) (41: 1 1 ь — ' а « ~г(Ь' и — ' с($з(Н' ра,)= ' г(й) = " ' (52.26) О $,(а, $,)Ь, О $з(с, йз)д. Будем считать О( — с)~(Ь вЂ” а). Для нахождения композиции двух равномерных распределений нужно по формуле (5.1.22) вычислить интеграл свертки: со (Р (Ч) = ~ Рбг)4(Ч вЂ” $г)~%~ 182 Вычисли м плотности вероятности некоторых видов случайных пгналов, гасто встречающихся в радиотехнике. 1.
Плотность вероятности гармонического колебания со случайнмзй начал ной фазой. Рассмотрим ансамбль синусоидальных кои баний, имеющих одинаковую амплитуду Ао и частоту гоо, но л>чайные начальные фазы Е (см. рис. 3.10): а (() = — Ао ы п (озо ( + <р). (5.3.1) 1(редполагая известной плотность вероятности го,(<р) для Е, нужно пойти плс ность вероятности (Т'з(з) для а. Иначе говоря, нужно шипи пло ность вероятности для значений а в некоторый фикси(н>ванный момент времени (, если известна плотность вероятности ~,~я начал,ных фаз ~р. Ясно, что начальные фазы могут принимать ныения олько в интервале ( — л, л).
Пусть г) = гоо1 + ср. Тогда а =- Аоз(п Ф (5.3.2) 1зметни, гто каждому выбранному значению 5 из интервала ( — А о, 1 ) соотвггствуют два значения «р в интервале ( — л, л), за исклююлем значений а = хс Ао. Лналогично, произвольно выбранному 183 (5.3.5) -Ае д Ао 5 ьро ' дС [1/2п, — и:==' ф < я, и)ь(ф) = фС вЂ” и, ф)я. гис, КВ. Платность вероятности арчоничеся го колебания с равномерно раттреяеленной начальтой фазой. (5.3.6) Рис. 59. Гармоническое к«леев ние. 5.3.9) та=а %о4 485 З НаЧЕНИЮ 5 СООтВЕтСтВуЮт дна ЗНаЧЕНИя е[) ИЗ ИНтЕрВаЛа (а»Г — П, ао! + и), которые обозначим через е[тт и о[то. Тогда можем написать равенство ~~т (тт "о !)) "[ от (фе — ее!) 1 - ~ А [ут, (5) =- 1/А2 ое (5.3.3) 0 5( — 4о 5).4о дь так как ~ д",<=!А„' 52) — '!'.
~дв — ь о— Формула (5.3.3) показывает, что в общем случае плотность вероятности [о'т(5) зависит от времени н рассматриваемый ансамбль является нестацнопариым. Наибольший практический интерес представляет случай, когда ансамбль является стационарным. Зто имеет место лишь тогда, когда плотность вероятности шт(т[т— аа!) является прямоугольной: и < е[т ~< ао + п~ (5 3 4) ~,И-в.!) =~ 0 е[т(со» ! — ~, тР)аа! + ж. В данном случае (5.3.3) переходит в следующее выражение: — пРи [5[ САе, 1 ьг'т (5) =- л ~ А«2 — ов 0 при [5[ А .
Так как еР = а, ! + ф, то (5.3,4) эквивалентно условию Таким образом, если случайная начальная фаза распределена равномерно па интервале ( — л, и), то ансамбль синусоидальных колебаний является стационарным с одномерной плотностью вероятности (5,3.5). Зта плотность вероятности изображена на рис. 5.8. Формуле (5.3.5) можно дать другое физическое толкование, если рассматривать вероятность стационарного процесса как относительное время пребывания процесса в соответствующем интервале.
Действительно, пусть имеется гармоническое колебание с фиксированной фазой фо: 5(!) = А» а[и (ао ! + фа). (5 3.7) КаждОМу фИКСИрОВаННОМу ЗНаЧЕНИЮ 5 ИЗ ИНтЕрВаЛа ( — Ао, Ао) соответствуют два значения аргумента ! на периоде Т =- 2п/ао (рис, 5.9). ЕСЛИ ПО ШМатЬ ПОД ВЕРОЯтНОСтЬЮ [Оат(5) Ьз ОтНОСнтЕЛЬИОЕВОРЕМЯ и[и биваки. гармонического колебания в интервале (5, 5 — Лз), ножом написать т=' с5.3.8) |дк согласто (5.3.7) ь5 = «)о 4а соз («ео ! + фо) й/ =- ао 4! ) А« — 5' илп й! == /и/«)а )т Аоо — 5'.
Подставив в (5.3,8) значения Тмь /ь! придем к )ормуле (5.3.5). СОГЛ»СЬ)е таКОй ИНтЕрПрЕтацИИ, МОЖНО датЬ СЛЕдуЮщЕЕ ПОя~ ЧЕНИЕ ктьедению, лотности вероятности [рт(5) (см. рис. 5.8). В окресвктости от от) точек Г) ( [ тат фа)/ао т О, 1, где о(!;) =. ~ А„, произкздная (скорость) мала 5(Г) = О, нремя пребывания синусоиды вчико, и поэтому плотность верояитости стремится к бесконечности. ) аобо- ; гт, в окрестности точек !) = (/тт — фо)/«та, / = О; 1, произсздная т ко[тость) велика 5(! )= + ааА„, время пребывания мало, 1 плот«есть вертйттности ймеет наименьшее значение.
Можно гоказать [3, 6], что двумерная характеристическаовг[)ункн и ч к двуьерная плотность вероятности сигнала (5.3.!) при у товии ".34) оп[вделяются формулами 'от 2 2 8,(и„ио) = /а (А, 'г ит + ио + 2иои, сова,т) ~! 5 О т(5, те)=-(пА») ' 1)~ /:,„Чт~ ( — ~) Ч" '( — 1созптаат, (,3.10) ~ де /о ()) — функция Бесселя нулевого порядка, ~ а=-1;: =-2 нрп т~(, Р(Л) — . е — А'/оа' А ) 0 А (:3.
16) у,(з) = = е — ацоа' а 1г2г (,'=3.17) —,1 — —— — ) О, (и) а'о (Аи) г)и, Р (А) о (::3.18) ) а,' (::3.19) (5.3.14) Ооевгдю в данном случае Ю'г (з)— 186 187 ( 1)га 1 1 1Р„(г) =--,-' ' — ' (1 го)"-г- Чг~~~(,) (1,о) — ~-7 (,) (5311) Т„(г) — полиномы Чебышева первого рода, Формулы (5.3.9) и (5.3.10) будут использованы в 2 8 и 11 при анализе нелинейных преобразований сигнала и шума.
2. Плотность вероятности сигнала сослучайными амплитудой и фазой. Найдем одномерную плотность вероятности для случайного сигнала з(1) — - А(1) згп [о~о1+ р(1)1, (5.3, 12) где случайныефуикции А(1))~0 и ~р(1) предполагаются независимыми в один и тот же момент времени, и случайная фаза гр(1) считается распределенной равномерно иа интервале ( — я, и). Введем новую переменную $о(1) =- з1п(гоо1+ ар(1)1, плотность вероятности которой определяется формулой (5.3.5) при Ло = — 1.
Ввиду независимости Л(1) и ф(1) можем написать гао(А, К,)--Р(А) =-.—., ~$о~ < 1, о11 — ао где Р(А) — плотность вероятности А(1). Полагая в формуле (5.1.24) $г = А, имеем Нижний предел интегрирования определяется условием = ( — ') (1, т. е. ~А~=А)~~з). Если в формуле (5.3.13) перейти к новой переменной интегрирования х, положив А = ~а~с)тл, то получим Юг~(з)=- — — ~ Р(~з,' сЬх)г1х. В том частном случае„когда амплитуда фиксирована, т.
е. Р(Л) =- б(А — Ао), формула (5.3,13) переходит в (5.3.5). Если амплитуда распределена равномерно в интервале (О, Л), т. е. Р(А) = = 1/А при А САо и Р(А) = О при А)Ао, то из (5,3.14) получим (Ао+ )' Аа — 1п 2ала '~ А 'У Ао ай / ~ 3! ~(Ао (5 3 15) 0 )з!) Ао. Зо мхогхх практических случаях амплитуду сигнала (=З.12) считают рах1ределенной по закону Редея: В даянои:лучае формула (5.3.!4) дает нормальную плаыость вероятно:тг сигнала Следооавльно, если в сигнале (5.3.12) амплитуда и фаза — гезаписпмы води н тот же момент времени, причем амплитуда р"=пределено по ~ акопу Релея, а фаза — равномерно иа инг вале ( — ог, ог), ко сигнал имеет нормальную плотность верояс:ости иуловьм юедним значением и дисперсией оо.
'Укажем ~,71, что для случайного сигнала (5.3.12) при сдел:-нных ранее продположеннях можно найти плотность вероятности о плигуды А (1), если заранее известна плотность вероятности ~'1(з) гамого согила. Ответ дается следующей формулои: ~ де .)а(2) — ЧаУнкциЯ БесселЯ нУлевого поРЯдка; еЧ(и)= ~ И (з)егааг(з — характеристическая функция сигнал з(1). 3. Плота ость вероятности суммы гармонического сигнакях со а лучайной ~ачальной фазой н нормального шума. Вычислим — 1лотпос.гь веуоггности суммы двух независимых случайных нрпо~сов: ~артооничесшго колебания з(1) = Ао сох (Ы+ гр) с равна ерно раслредезехной начальной фазой (5.3.6) и нормального стан-янариого шуха К(1) с нулевым средним значением: мо(з, в =- 1а',(з)иг,$ = — = — е — про'* ~ з~ <.~ 1 оа 1 2г(А~ — о ) !1~ формул (5.1.22) можем написать йа (р(~)= ' ~ ' ехр[ — ",„'~ 1.. — А, Введем новую переменную согласно равенству з=.Аесозф (с(з -- — Ае зтпг$с(тр == — 1' Ае — з дф).
е е Получим в Ч7, (е,) = ~ ехр ~ — -.„— 1 агу о с г сг Рис. 5.10. Плотность вероятности суммы нормального шума и гармонического сигнала со случайной начальной фаэой. Если ввести нормированную случайную переменную ь = ь/а и обозначить через а = Ае!а величину, характеризующую отношение сигналгшум по напряжению, то получим окончательную формулу ~,„г ~- — 'Д вЂ”.
° ту1гт, ~т.аге~ к )гсв е Графики этой плотности вероятности для нескольких значений параметра а приведены на рнс. 5АО. 188 ': 4- МОНЕ ТНЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ НРЕОБРАЗрВАНИИ '1)сть й рактеристика нелинейного элемента т) = — у($) является лцлхгичессзй функцией в окрестности $ = О. Тогда ее можн» раз«гьить в: яд Маклорена: дЦ)=па+а,~+авР+ ..., а = —;.
еН~,' . Д.4А) гетзвляя д статочно большое число первых членов, в зависимости гребуемье точности аппроксимации, можно положить т) (: = — й($ (т))=-а,+аД(г)+ааааа(т) + ... + а„й". (ь). Д.4.2) Эеознач м моментные функции й(г) через М, а т)(1) чере. М. ' птгястичежи усредняя правую и левую части равенства (" 4.2), . еуеим Мх(1'.=<т) (г)) =-а,+а,М(г)+аз М,(г)+ ... + а„М„(С), (э4 3) ~т' гКе(~) = <йе(Е)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
