В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Функцию корреляции ступенчатого процесса т)(!), получающегося в резухьтатс квантования нормального стационарного шума 6(7) по времени и по уровням (рис. 5.19), можно нычислить следующим образов. Сначала функция корреляции отсчетов т1! на выходе нелинейного устройства с характеристикой 8($) выряжается через фУнхцию ко1Релации отсчетов $,з Затем каждое отсчетное значение !1,. умножается на прямоугольный импульс единичной высоты длительностью Э.
После этого задача сводится к вычислению функции корреляции случайного импульсного процесса (см. 9 3 гл. 4). й 8. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ СИГНАЛА И ШУМА 1!(стод, увложениый в 9 6, можно распространить на нечинейные !!Реобразовакия суммы гармонического сигнала и шума [11). Однако ввщу громоздкости математических преобразований укаьсмлишь применительно к частному примеру путь получения конеч!и,!х формул и приведем количественные результаты, относящпеся учноженяю частоты. Г1усть на нелинейный элемент с характеристикой (см.
рис. 5.12, д) з п! - (по! = ( '!! ' ""' ' ' (з ! 0 при $~е ого г и РО з н, т=з (а= ФО) гго где о ог йо оо ьис. 2.20, Схема умножитеня частоты. Рис. 1.21. Зависимость мощности третьей гармоники от Ог и ()и а=о 204 воздействует случайное напряжение $(1) = з(1) + п(1), где э(1) = =- Аз и! и (ота1+ (р) — гармонический сигнал с равномерно распределенной случайной фазой (у; п(1) — нормальный стационарный шум с пулевых( средним значением и функцией корреляции (5.6.1). Нужно найти функцию корреляции й,(т) для выходного напряжения т1(1).
Нелинейную характеристику (5.8.1) можно записать иначе: т)(1)=д(~(1)) = () () ~ ()' (5.8,2) 0 при п(1)(з — з(1). Считая пока з(1) постоянной величиной, к преобразованию (5.8.2) можно применить все рассуждения, приведшие к формулам (5.6.2 д) и (5.6.4 д). Если затем воспользоваться формулой (5.3.10) и выполнить усреднение по случайной фазе (у, то получим следующую формулу для функции корреляции 111, 151: Фв(т) =- (зо)' ) —," С„„йн(т) сов т(азт, (5.8.3) С = ~~~~ (Аз ) ) (1)(а++ге — ))( т ) (5 8,1) »=а Рассмотрим структуру выходного сигнала. Если входной шум «низкочастотный», т.
е. коэффициент корреляции 11(т) не содержит осциллирующих множителей высокой частоты„то в энергетическом спектре выходного сигнала отдельные коэффициенты Сг„(с точностью до постоянных множителей) имеют следующий смысл: С~за — постоянная составляющая выходного сигнала; г Сьз, и+ 0 — «пнзкочастотные» шумовые составляющие, представляющие искаженный нелинейным устройством входной шум; Сз( — первая гармоника высокочастотного колебания; г С„,, и+ 0 — шумовой спектр около частоты и); г з Со; — т-я гармоника колебания; г Ся„п -,(- 0 — шумовой спектр около частоты у(оо н т. д. Отметим, что в любой конкретной задаче выходной спектр ограничен и поэтому необходимо вычислять лишь определенные коэффициенты С„„.
Ряд (5.8А) сходится достаточно быстро прн Ао - 2п; г при ббльшнх значениях Аа ряд сходится медленно. Примениы формулу (5.8.3) к одному из возможных вариантов умножителя частоты (рис. 5.20). Предполагается, что входной контур имеет рсзонансну)очастоту о)„а выходной настроен на какуюлиби гармонику т(оо. Анодно-сеточная характеристика лампы умно- жителя апгроксимируется кусочно-линейной кривой (5.8.1). 1Пум п(1) на входе умножителя получается в результате прохождения дробовых и тепловых флуктуаций предыдущих каскадов червз высо)одобротный входной контур.
функция корреляции такого шума имеет вид го,', 1((т)= аг(((т) — о»р(т)созе(от, глх где р(т) — тедленная по сравнению с сова)(т функция. Хотя прн исследовании умножителя частоты возникает несколько практически важных задач (преобразование флуктуаций фазы игнала прн наличии дополнительного шума и др.), ограничимся )гиссмотренхем совместного воздействия гармонического колебания входных флуктуаций. Вычислим значение третьей гармоники игнала н отношение сигнал)шум на выходе умножителя.
Если подставить значение коэффициента корреляции (5.8.5) и формулу (5.8.3) и выделить коэффициенты С,',.„которые опреде(иют спектр в окрестности третьей гармоники сигнала (у = 3), (и можно грнйтн к следующему результату: 1(з (т) =- —,,' (.А„) ~' 1),'-',з Рн( ) соз 3„, . (5.8.6) Коэффихиент Огзз, характеризующий мощность третьей гармони) и кольт»гния, в зависимости от рт =- з/А» для нескольких знаний аз = (г/Аа представлен на рнс. 5.21 Кривая 1Эгзз при ат = О, и)(еделяев(ая формулой Г(!и) =- ) а($)е !и!с%.
(5.9.2) сигнат 11о! шум со Х из н= ! (5.8.7) (5.9.3) Таблица 0.0.1 значении коэффициентов 0„з 3 !оо!3 2 !т!озз 2 !ОО4З !ло,з з ! ! !! , 'т !! ! я ь а т,! ! с т ! ! 0,007 0,000 0,001!О, 003!0,000 О,О!40,000!О,ОООО,ОООО,'ООО О,0 !7.'О, ООО!О,'001 О, 003/О, 'ООО 0,011!,О, 000!О, 003 О, 021/0,000,0, 005 О, 022!О, 000,0, 005 0,3 , ,'0,003 0,012 0'с ! !0 004! 0'021 0,3 ~ 0,004 0,017 ! 0,000 0,001 0,000 0,002 0,000','0,00! т) — -- д(5)= — ~ Р(!и) е1и- сти, ! (5.9.!) 207 206 з зАэ ! ! 1 2 Роз -~ )! — 2-Яп2ф,+ 4 Ят!4тРе — —, Ртсоз3тРе), тРэ=-агсюп!3„ дает мощность третьей гармоники в отсутстние шума.
Из графиков видно, что если в отсутствие шума максимум мощности третьей гармоники получается при рт=, О (что соответствует углу отсечки 60'), то при наличии шума этот максимум с увеличением интенсивности шума сглаживается и смещается в сторону больших значений Рт (т. е. меньших углов отсечки).
Значения первых четырех коэффициентов Р,з приведены в табл. 5.8.1. Отношение сигнал(шум определяется по данным этой таблицы формулой й й. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Сущность этого метода, предложенного С. Райсом (3) и подробно описанного во многих книгах [16 — 201, состоит в том, что характеристика нелинейного элемента т!(1) = д($(0) представляется в ниде контурного интеграла где т'. — соответствующим образом выбранный контур интегрирования в комплексной плоскости и. В тех случаях, когда функция д($) обращается в нуль иа бесконечности (0 =- Л- ~), можно ограничиться действительными зна- чениями и к н качестне преобразования (5.9.1) использовать преобразование Фурье, при этом из обратного преобразования имеем Если фтикцня д(~) обра!дается в нуль при $< 0 (или при я, меньшем и!которого фиксированного числа), то следует применять теорию преобразований Лапласа и рассматривать соотношение !5.9.1) как интеграл обращения: се!со и- тс Е(0) — — ~ е г(Р)т(Р 2- ) е "сг'()и)тти, С вЂ” !' со — со — /с Р(Р) =) е-'!а(Б) т(Ь, (Р=!н) Ко!да при $- оо функция дД) возрастает не быстрее некоторой степени ар!умента О, то в качестве контура интегрирования здесь !южно взять действительную ось (С = — О) с обходом начала координат снизу.
В тех случаях, когда функция ЕЯ) возрастает в обе стороны (как при 4 о, так и при $ — — с ), целесообразно пользоваться двусторонним преобразованием Лапласа. На основании соотношения (5.9.1) для первых двух моментов зюжем написать тлл = (Ч) — '' -2 ~ г (Ря) (е!"') т(и, а„(т) = ' т) (1) т! (г + т)) —..=, ~ ) Г ()и!) тс ((из) ск !" Г ;:.
(ехР 1(из 0! + ив из)) т(и!1(из. йналогичнз записываются выражения для других моментов. Видно, кто моментиые функции выходного процесса выражаются через известные характеристические функции входного процесса и !!реобразонаниые характеристики нелинейных элементов. Таким О!разом, зздача сводится к формальному вычислению интегралов и!тза (5.9А!. Этн вычисления во многих случаях удается сравни! сльно про=то выполнить, если входной процесс 0(1) является норальным пумом. При наличии суммы сигнала и шума вычисления, «нх и в прямом методе, становятся более сложными.
в 40. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НОРМАЛЬНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ Если ',(1) нормальный процесс, то в формулы (5.9.4) нужно подставить выражения одномерной (3.15.7) и двумерной (3.15.9) характериспгческих функций. Например, для нормального стационарного процесса й(1) с нулевым средним значением (т = О) с учетом формулы (3.15.20) можем написать пг„(т) = .=: 4, ~ ~г Циг) Е(1ив)ехр ~ — -„,— (иг+ 2)х(т) гггив+иЯ ~ г(и»гггга. ь ь (5.10.1) Когда последний интеграл вычислить не удается, целесообразно воспользоваться разложением е — с ял " =--., — — — (ав )ь'и и )". ~' ( — г)" «дн лг л=а !огда получим ,12 1 т„(т) = ~' — "; огл7'л(т), г)„= — — ~ и" Р' Ци) е 2 г(и.
(5.10.2) г=а Так как лг, =г(„то отсюда полу,(4ГЕг! т' чаем формулу для функции кор, Гг! реляции 42 (,г) л ", 2л ):«л (т) лр л =4 (5.10.3) уг ГЕ <г)! Рис. 5.тк К вьыислению взаимного момента на вы~оде двух нелинейных злементов. В некоторых случаях вычисления интегралов (5,9А) для нормальных процессов упрощаются, если воспользоваться формулой (5.10.7), доказательство которой приводится ниже. Пусть требуется найти взаимный момент ты(йь 12) = —: ( т)г (Гг)т) (12)', для процессов на выходе двух нелинейных элементов (рис. 5.22), на вход которых воздействует нормальный случайный процесс 4(1).
200 По аналогии с формулой (5.9А) можем написать тгг(1, 1+ т) =т„(т) = — ', ~ ~ Ег Циг) Рв Цив) х ь ь Х (ехр 1 (и» $ + и, Г,) ) г(и, г(ив = г =- 4, ) ~ Р, Циг) гв(1ив) тт, (и„ив) гги, г(и„(5.104) ! где 82(иь и,) — характеристическая функция (3.15.9). Заметим, что для характеристической функции нормального процесса справедливо равенство в»е, а)е» „' =( — 1)" (сг, пв иг ив)» йв (и„ив).
(5.10.5) Из (5.10.4) гн (5.10.5) следует, что в' ЫЧ ~'~~У 1Ци,) Р,иидс(И,У(1и,) Р,(!и,)Е,(и, ив)г(и, Подставив с»ода исходное определение характеристической функции 62 (и„ив) = (ехР 1 (и, $ + ив $,)) и изменив порядок интегрирования и статистического усредне- ния, можем написать гэ «гтг (т) ааг а«), Г ° » ° л «Г» !л««т 4 ] Ииг) х (1иг) е! г иг ) (1 ив) ~ з(1 па)е ~ив Из формулы (5,9.1) следует, что — ~ Ци)» Е Ци) Е!а» г(и =дг») ($) = ь' ! 1оэтому ", ' =( )'(ЕГ'(В)Г'(В,)) = =(отгтв) ) й'г 6)02 (й)~~(Б й.)г(йг($„(5.10.6) ~де игв($, 4«) — нормальная плотность вероятности (3.15.8), Формула (5.10.6) устанавливает связь между производными от «паямного»омента по коэффициенту корреляции входного процесса и средним значением соответствующих производных от нелинейных 100 характеристик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
