В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Эта формула может быть обобщена и на моменты более высокого порядка. Однако нас пока интересуют, наоборот, частные результаты, следующие из (5.10.6). Если нормальный процесс Ц1) стационареи н рассматривается одно нелинейное преобразование, то в (5.10.6) нужно положить дг»(з) = дг($) =йф. При этом получим Чгг (гг 1») = й»х ($г (г») $е (гг)) (5.10,10) где ь»(г) и Ь, (г) — нормальные случайные процессы с нулевыми гредннмн знгаченнямгг. В данном случае она принимает вид: д' г г газе, ~ '" (') =.
оед ~ ~ 11»го (») ~гм Я.,) гв, Д, ~„) г]~г]$„(5.10.7) д»1" ("-) где гег, Д, $-.) — двумерная нормальная плотность вероятности (3. 15. 19). Полагая в (5.10,6) дг(К) == д($), п„(Е,) = К, и Уг = 1, получаем формулу, устанавливающую статистическую зависимость между входным и выходным процессами: — ~»» — (-'-) = ог ~ д'(з)пг Д)»$ — сопз1, (5.10.8) Следовательно, т„(т) =- сопз1. ]» (т) + С,. Но из физических соображений ясно, что при Л(т)= О, тп(т)== = С,.= те т» Поэтому дг;» (т) = (($ — и,-) (»1 — и,)) = сопз1 ° Я (т), (5.10.9) 240 т. е.
взаимная корреляционная функция между входным нормальным процессом и процессом на выходе безынерционного нелинейного элемента по форме совпадает с автокорреляционной функцией входного процесса. При вычислении по формуле (5.10.7) функции корреляции процесса на выходе нелинейных элементов с кусочно-разрывными характеристиками, как и в прямом методе ПО], нужно братьтакоезначенне гг, при котором дгю($) представляет сумму дельта-функций [21]. Тогда интеграл в праной части всегда вычисляется и, следовательно, находится производная дь тгг[дге~.
Что касается последующего интегрирования по коэффициенту корреляции Л с целью определения пгм(т), то оно легко выполняется лишь в частных случаях, например, когда воздействующий нормальный стационарный процесс $(1) имеет нулевое среднее значение и характеристика имеет разрыв в нуле, т.
е. дггоД) = + 6($) [22]. Формулу (5.10.6) можно обобщить на нелинейные безынерционные преобразования более общего типа [23] ~де т„= (Ч„(1,, 1,)). В том частном случае, когда Чгв (~г ~г) Ч» (~») Че (~г) ь»» ($» ("»)) кг (ье (1»))> формула (5!0.11) переходит в (5.10.6). Рассмотрим два примера. 1. Частотная модуляция гармонического колебания нормальным в»умом. Раапичные виды модуляции гармонического колебания лучайнымн сообщениями подробно рассмотрены в работах [11, 18].
1]ризедеы здесь один частный пример [11], результаты решения ~ оторого будут использованы в дальнейшем. Пусть имеется стохастическнй сигнал ь (1) = А (1) соз [а»1 + »р (1) — 0], (5.10.12) кагором Аг,г) и гр(1) — действительные стационарные случайные ~ ункции, Π— случайная начальная фаза, равномерно распределеннггя на интервале ( — гг, и). Функция корреляции такого сигнала равна д г (т) =-(А (1)А (1+т) соз [а»1+»р (1) — О] соз [а»(1 + т)+»р(1+ т) — 0]) = = — (А (1) А (1+ т) (соз [»ет + Чг (1 + т) — »р (1)] + + соз [ь»(21+ т)+»р(1+ т) +»р(д) — 20])), В этом выражении необходимо выполнять усреднение по ансамбга» реализаций А(1) и»р(1), а также по случайной фазе О.
Если значение О не зависят от А(1) н»р(1), то в результате усреднения по О т следнее слггаемое в фигурных скобках обратится в нуль и, слез вательно, йт(т) = — (А(~)А(1+ т)соз[егт+ Чг(У+ т) — гр(1)]). 1 'гу формулу можно записать иначе: 1 де» (т) = — г»е (А (1) А (1+т) ехр1 [»аг+ гр (1+ т) — гр (1)]). (5.10.13) .РсС5С бв Рг С5С со Имеем ав с х' т1(ч) =а+ = е 22* Ых, тг яни где в=а!т(, ()=уяояа — '. (5.10.2Щ 212 222 Применим формулу (5,10.13) к частному виду сигнала, модули рованного по частоте нормальным стационарным и!умом $(1) с нулевым средним значением, дисперсией а' и коэффициентом корреляции сс(т): С(!) =Ае сов [сев !+ср (У)) ср (!) — -=2 ) В (х) с(х.
(5.10.14) о йс (т) = — Ао Ке (ехр [122[(т)!) сов сов т, (5.10.15) ссет с сет т т!(т) = ~ ) $(х)с(х — ) $(х)с(х~ = ) К(х)с!х= ) К(х)с(х. о о о Если Э(1) — нормальный шум, то т!(т) будет также нормальным процессом, причем дисперсия его ранна: о,(т) = оя ) ( я(х — у)с(хс(у. (5.! 0.16) о о Одномерная характеристическая функция для у! определяется. формулой (3.15.18): 8,(и) = (ехр(сит!)) = ехр ( — — о,',и). (5.10,!7) Из сравнения формул (5.10.15) и (5.10.17) следует, что йс(т) = — Аор(т)созсовт, р(т)=ехр~ — — Хяо,(т) .
(5.10.18) ! ! 2 2 Можно показать, что оя = 2о' а 2(а(т(+ е — '!'! — 1) прн сс(т) =- ссс(т) = ехр( — а(т(), оя = оя а 2 (е-"* * +ат ['я (2Ф ()/г 2ат) — 1~ — 1( прн ст(т) = стя(т) = ехр( — аята). Соответственно для р(т) получим формулы рс (з) = ехр [ — р (5 + е — ' — 1)[, ся- *г( — я[тс "— 1гг*г' (есуи) — 1)](, ) ""ся! ! Рафики функций рс(з) и ря(з) для двух значений ер = 1 и 10 при- тлены на рнс. 5.23. Пунктиром показаны те же функции, вычислен- «ие приближенным методом (см. 3 6 гл.
8). в с в в су с г 5 5 ис 5С Рис. Э.23. Нормированные корреляционные функ- ции для ЧМ стояастическия сигналов. 2. Воздействие нормального шума на сглаженный ограничитель. ! !усть нормальный стационарный шум $(1) с нулевым средним значением и функцией корреляции сс(т) = оя)~с(т) воздействует на нелинейный эяемент (сглаженный н раничитель) с характернстной [24) (5.10.21) де и и у — постоянные величины.
Нужно найти функцию корреляции шугса у!(с), получающе- ~ осн на вы!оде такого ограни- ~ нтеля. Характеристика рассматри- Рис. $.24. характеристика сглаженноннемого ограничителя изобра- го ограничителя. иена на рнс. 5.24. Из (5.10.21) ледует, что 1!пст!(э) = 0; т!(О) =а и!!сит[(э) = 2а. Поэтому велнчи- — Оя со ~с! а харакгернзует уровень ограничения. Величина у характе- 2а / 121 т[ (ь)= ехр~ — —,1, -! 1 2. ~ 2Т~,]' после преобразований получим где з 1+ — ) аз Отсюда находим аз ,за а-з 1-! ,(, (АоЬ и!+й2+2ив ивсоьсоот)= 2ав т11 (т) =— (5.10.23) (5.11.4) й,(т) = ' агся[п~ ('1 1. аа [1 + (Т/а)з )' а, з=.О (5.10.24) где ризует наклон характеристики ограничителя (точнее, значение производной при $ = О).
Чем больше р, тем меньше наклон. При у — 0 сглаженный ограничитель переходит в идеальный. Написав формулу (5.10.7) при й = 1 и подставив производную эти [О) 2ав1/Пв — з!в ( ( ! ) 612 — 2з!Ов, + 662 дЯ (а) отв Г ! — 112,),) 2в газ из Р [ 2 (Ьв — з!2) 1 (5.10.22) зсТ а 1 ав Тв [Тв+ ав (! !22)] Тз+ аз (1 ДК)' [Тз ! Ов) аз !зв двукратный интеграл в правой части (5.10.22) есть интеграл от двумерной нормальной плотности вероятности по всей области изменения переменных, и поэтому он ранен единице. Следовательно, , + С = — агс яп -,'- С, Па 2ав . ! (,) ~/ ! — вв зз 1 Т '2 !+ о ( а, где С вЂ” произвольная постоянная интегрирования.
Она определяется из условия Лш 11з(т)=0,  [25]. Э 41. НЕЛИ]4ЕЙНЫЕ ввРЕОЬРАЗОЬАНИЯ СИГНАЛА И ШУМА Рассуждения, приведенные в 99, легко обобшаются, когда нелинейному п]еобразонанию подвергается сумма нормального шума Цг) и гарм! нического колебания ь(1) =- Аосоь(соо1+ О), имеющего гл~чайнуюяачальную фазу О, не зависящую от $(1).
Характсристическая функция суммы т](!) = з(1) + $(1) равна произведению характеристических функций слагаемых". .! з з (ЕГ„) (ЕП )(Етаз) Е 2 ' ~ Е!Хзисазо в[О= Е 2 [О(АОи), 2г. (5.11.1) где [о(Аои) — функция Бесселя нулевого порядка. А!!аЛОГкв!НО ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ ХаРаКтЕРИСтИЧЕСКОй ФУНКЦИИ С УЧЕ- !ом (3.15.24) и (5.3.9) получим (Е!!Оаоои,я!) (с!!аз!в+и,Ез!) (Е!!язв во,з,)) =-ехр [ — — (и1 -+ 2)сиз ивти2)) 12(АО У и!+ и,+2и, и, соь соот). ав 2 2 ] 2 2 2 (5 1 1 2) Если псдставить эти выражения для характеристических функций в (5.94), то получим формулы для первых двух моментов. !1ри вычистении тзт(т) часто используется известная теорема сложения бесселевых функций: =;2«', ( — 1)' ~, .1„(АО из) У„(Ао и,) соь тсов т, (5.11.3) о где С о — — 1; ~,=2(ч ч'= 0).
Воспользовавшись также раз,пожением экспоненты схп ( — о'Еивив) в ряд, получим т.,() = (а(ц(!)) а(](1+ ))) = —, С„'завазСО(т) СОЬ Чя, т, з з ' ~иа р([и) 2,(А и)е 2 " 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
