В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 25
Текст из файла (страница 25)
$ ! ей е г 1 А. 3. Р. Оп 1Ье Бгз1 раззайе Нше ргоЬаЬ!1!1у ргоЬ!еш. 01«уз!са! Ке»юы, 1951, № 4. 47. Ланда П. С., Стратонович Р. Л, К теории флуктуационных переходов различных систем из одного стационарного состояния а другое. «Вестник Московского университета», сер. физ. и астр., 1962, № 1 48. $1 н и р е г з Р, Ь. Н.
Оп 1Ье Пг»1 — раззаяе — Нгпе ргоЬ!еш. Р!й!!рз Кез. йерог1з, 1950, № 4. 49. В а он л ь е в А. М. Применение теории броуновского движения и исследоваигю помехоустойчивости импульсных радиотехнических следящих устройств. <НДВШ, радиотехника и электроника», 1959, № 2, 50. Сгратоиович Р. Л., Ланда П. С. Воздействие шумана генератор с жестким возбуждением, «Известия вузов», Радиофизика, !959, № 1 »1. Л а нц а П. С. Об устойчивости систем с сервоуправлением при наличии слуш йных воздействий. «Автоматика и телемеханнка», 1960, № 1, 52.
Р у ны а Д. П., В а н -В а л ь к е н б у р г М. П, Статистический анализ систем автоматического сопровождения. Труды 1-го Международного коягресса ИФЛК, Статистические методы исследования, 1961, 53. П е р о а ч е в С. В. Срыв слежения во временном автоселекторе, Радиотехника и электроника», 1965, № 8. Глава 4 ИМПЬЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ нв.
Этот импульс будем условно называть нулевым. Для определенности положим (в = О. Влияние шума 5(~) выразится в том, что времена срабатывания (, будут сд~ожать» около своих средних положений тп причем случайные величины ((т — (т), 1 = О, 1, 2, ..., распределены одинаково. Следовательно, случайные величины й,. имеют распределения с разными средними значениями г, = тТ, = 2п((оу„ио с одинаковой дисперсией в 1. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ИМПУЛЬСОВ Импульсный случайный процесс представляет собой последовательность одиночных импульсов в общем случае разной формы, следующих друг за другом через некоторые промежутки времени.
Если форма импульсов задана, то случайными могут быть отдельные параметры импульсов: амллп(ррр(ты) -(Н) плнтуда, длительность, время появления и др. Приведем классификацию случайных импульсов, иллюстрируя ее кон* кретными примерами П1 1. Импульсы без накоп- а) ления (дисперсни моментов появления). Пусть имеется триггерное устройство, которое срабатывает, когда ьуун,) 4) (ЯУ((Р) 144 тр напряжение ыа его входе превышает пороговый уроРис.
4л. импульсы без накопления (а) и вень Н, и при этом оно плотности вероятности лля моментов их вырабатывает импттльс ма появления (б). лой постоянной длительности т к.. 2п(о)в. Предположим, что входное напряжение состоит из суммы сидеальной синусоиды» А пап (отрг т- ~р), где А ) Н, и нормального стационарного шума $(О с нулевым средним значением и малой дисперсией о„'(( Н- (рис. 4.1). Если бы входной шум $(О отсутствовал, то импульсы начинались бы в моменты времени („ определяемые пересечением синусоидой уровня Н (пувктирная кривая на рис. 4.1).
Первый по порядку появившийся после начала отсчета времени импульс имеет абсциссу о,' = о' = сопз(, 1=0, 1, 2, ... (4.1.1) Согласно(9.2.5) можем написать о=о.(з, где а=сев Асоз (оув(р+йр) Характерной особенностью полученной случайной последовательности импульсов является то, что дисперсия ов моментов появления т, раззичных импульсов не растет с ростом номера (, а остается постоянней. Поэтому такую последовательность для краткости а) 0 г гт зг Рте. 4.?. Импульсы с накоплением (а) и плотности вероятности для моментов их появления (б). можно назвнть случайной последовательностью импульсов без накопления (дасперсин моментов появления). Энергетический спектр случайной последовательности импульсов без накопления обычно является дискретно-сплошным. 2.
Импузьсы с накоплением (дисперсии моментов появления). !1редположим теперь, что на вход триггерного устройства воздейтвует только флуктуационное напряжение ~(1) с дисперсией = Н' и триггер срабатывает от выбросов этого напряжения пыше уровня Н (рис.
4.2). * а При некоторых условиях (например, Н,=. 2о:,) можно пренебречь спвясимостью двух значений флуктуационного напряжения, разялениых интервалом времени Т, где Т,=(; — (; (4-.1.2) 144 При этом все величины Т,, ь = 1, 2, 3, ..., будут иметь одинаковую плотность вероятности уьп(Т,) = 77(Т), которую можно вычислить теоретически или же получить путем обработки экспериментальных результатов. Из выражения (4.1.2) следует, что (ь = Т, + Тв+ ... + Т, (4,1.3) Вследствие предполагаемой независимости случайных величин Т, получим бь = (Т, а аь~ = (ов, ь = 1, 2, ..., (4.1 4) где ов — дисперсия случайной величины Ть В данном случае среднее значение и дисперсия момента появления импульса зависят от его номера. Характерной особенностью данной последовательности импульсов является увеличение дисперсии для момента появления импульса 1, с ростом номера.
В отличие от предыдущего случая такую последовательность условно можно назвать случайной последовательностью импульсов с накоплением. Энергетический спектр такой последовательности является сплошным. Укажем, что точную случайную последовательность импульсов без накопления, строго говоря, получить практически невозможно, так как все источники колебаний (автогеиератор, мультивибратор, блокинг-генератор и др.) при учете естественной нестабильности дают колебания с накоплением. 3. Перекрывающиеся и неперекрывающиеся импульсы.
Другим важным признаком, характеризующим случайную последовательность импульсов, является перекрывание (наложение). Под перекрыванием понимается возможность появления соседних импульсов в столь близкие моменты времени, что они частично перекрывшотся. Перекрывание импульсов обычно зависит от конкретного устройства, генерирующего последовательность импульсов. Если неперекрывающиеся импульсы воздействуьот иа инерционную систему, то на выходе системы получаются перекрывающиеся импульсы. В общем случае практическое отсутствие перекрытия импульсов определяется тем, что вероятность выполнения неравенства Т ( т равна нулю или достаточно мала. Применительно к указанным выше случаям импульсов без накопления и с накоплением отсутствие перекрытия импульсов обеспечивается выполнением неравенств ьт ( ҄— т н о-: Т вЂ” т соответственно.
Следует отметить, что при выполнеиьььь последнего неравенства импульсы не перекрываются, хотя плотности вероятности (У(г,) и )У(бьч ь) при болыпих ь' могут сильно перекрываться. В дальнейшем мы рассмотрим случайные последовательности импульсов преимущественно прямоугольной формы. Случайные импульсы прямоугольной формы в ряде случаев являются хорошей 146 аппроксимацией реальных сигналов, используемых в радиосвязи, радиолокации, телеметрии и других областях.
Кроме этого, поток прямоугольных импульсов может служить математической моделью для описания ряда других процессов. Например, продолжительность работы какого-либо устройства можно задать длительностью импульса, а время нахождения его в ремонте — длительностью паузы. Аналогичные примеры можно привести из теории массового обслуживания и т. и.
12, 3, 41. 5 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСОВ ПО АНСАМБЛЮ И ПО ВРЕМЕНИ Рассмогрим случайную последовательность прямоугольных импульсов, содержащую достаточно большое число импульсов (рис. 4.3). Совместим начало отсчета времени с момеигом появления первого импульса, считая его нулевым. Обозначим момент появления ь-го импугьса через уп его амплитуду А, и длительность тс В случайной по ледовательности отдельные величины Ал тп б, или все являются случайными, т.
е. принимают заранее неизвестные значения. Поутому рис. 4.3 следует понимать как конкретную реализа- а с,, Гь -т) сатлальс Рис. 4.3. Случайная последовательность прямоуголь- иыя импульсов. цию (сфотографированную осциллограмму, полученную в конкретном опыте). Если даже условия опыта не изменяются, то одна реализация будет отличаться от другой. Поэтому функция $(г) при одном и тем же значении аргумента б будет принимать разные значения, представляя собой случайную величину со счетным множеством значений. Описааие случайной последовательности прямоугольных импульсов сводится к указанию вероятностных характеристик трех случайныг величин; А„ т,, б, или А,, тр Ло где Аь — интервал времени вежду соседними импульсами. Пусть имеется случайная последовательность независимых импульсов. Для такой последовательности параметры Аь, тп Аа как одного, так и разных импульсов независимы.
Поэтому последова- 147 )агт (т) Лт = 1!гп М (4.2.4) т = 7.)Т. (4,2.5) Ж'г(т) Лт == 1!гп --- = чт1!ш — . аТ . 1(т) г Т г, 4 ' (4.2.6) К, (т) Лт = 1нп — = Вгп гп (т) . 1(г) М г, д получим Й',(т) = чти' (т), (4.2.7) (4.2.3) 446 тельность независимых прямоугольных импульсов определяется указанием плотностей вероятностей амплитуд импульсов К(А), их длительностей Юг,(т) н интервалов между соседними импульсами Ув(Л). Обычно эти плотности вероятности находятся в результате решения самостоятельной задачи, а именно, конкретного физического анализа работы устройства, создающего импульсы. гис, ял.
Определение плотности вероятности стационарного вргодичесиого процеСса. Зная этн плотности вероятности, можно вычислить средние значения амплитуд импульсов, их длительностей и интервалов между импульсами: тд = (А) =- ) А гтг(А) г)А, гп, = (т) = ) тггг, (т) г(т, со о и == (Л) = ) ЛЖгв(Л)г(Л. (4.2.1) о При рассмотрении эргодического свойства (см. 5 8 гл. 3) указывалось, что некоторые статистические характеристики стационарного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством, можно найти по одной реализации достаточно большой длительности. В частности, одномерную плотность вероятности стационарного в узком смысле эргодического процесса можно определить следующим образом.
Пусть имеется реализация Цг) такого процесса большой длительности Т (рнс. 4.4). Выделим на уровне в, горизонтальную полоску малой ширины Л$ и подсчитаем общее время ЛТ, в течение которого значения случайного процесса заключены в интервале (К $т+ Л$): Дт'Л~1+Л~в!+Л~ (4.2.2) Тогда одномерная плотность вероятности ш Д) при выбранном значении с, пропорциональна относительному времени пребывания случайной функции д(1) в интервале (~„я, + Л$): ига,)Л$ = !1т —. ЬТ Примегительно к плотностям вероятности !ег,(т) н 11ггв~Л) ре. зультат (4 2.3) изменяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
