В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 20
Текст из файла (страница 20)
жительном, а во втор . На рис. 3.!б представлены три кривые: нормальная пло отность р ( . — — О), лотность вероятности с положительным эксцессом и плотность в р ь вероятности с отрицательным эксцессо, . Н т ке п н аппроксимации плотностей вероятностей, не На практике прн ой, часто ог аничиваются очень сильно отличающихся от нормальной, часто огр учетом только коэффнцне то фф нт в асимметрии и эксцесса. В этом случае формулу (3.17.7) можно записать " '=- !'--'-'" ~'— ) -'-'"(=Л "'" 114 ) ~'" ( — -)+ — (Р') ~ — )1' (31712) Характе)истическая функция для плотности вероятности (3.17.!) ранта ~.
т( ")1 „— !'з( — !')', (э(т!3) и=в Разлагая экспоненту в ряд Тейлора, производя умножение и раннивая результат с рядом (3.4.3), составленным нз моментов, )южно убедигься, что моменты линейно выражаются через квазимо)и нты (н насборот), а также найти соответствующие коэффициенты !301, Это обстоятельство и дает основание называть коэффициенты ',» представхяющие линейную комбинацию моментов, квазнмомен:)ми. Можно показать, что многомерные плотности вероятности, не )ень сильно отличаю)циеся от нормальных, аналогичным образом жно представить в виде разложений в ряд по многомерным полимнм Чебышева — Эрмита.
Коэффициентами при этих полиномах ») дут многомерные квазимоментные функции. Квазимоментпые ! (пкции, так же, как моментные н корреляционные, могут быть нользованк для описания случайного процесса [321. !пенность приближенного представления плотностей вероятно- !!)(, не очень сильно отличающихся от нормальной, при помощи »;)знмоментвых функций состоит в том, что можно указать метод )бразования их линейными и нелинейными системами. Тем са» ня в принцчпе решается задача о «пересчете» плотностей вероят» )сй при анализе воздействия случайного процесса на линейные » (и линейны~ системы 1301. где л! !'(л+ +1 л! = Г (л+'л'+'1) (3.! 7.! 4) Если подставить (3.17.16) ровки плотности вероятности (2.5.11), то найдем Первые четыре полинома равны: 1-(."! (а) = 1, 1.1 1(г) = 1 + а — г, 2!.'э"!(г) = (а+ 1)(а+ 61-'з!(г) = (а+ 1) (а+ ~ (3.17.16) 2) — 2г (а + 2) + гз 2)(а+ 3) — Зг(а+ 2)(а+ 3)+ + Згз(а + 3) — гз сом (3 17.19) (3.17,20) 1зб 2.
Ряд Лагерра [33 — 36). Если плотность вероятности (згг($) Р авиа нулю при отрицательных значениях аргумента (например, в случае суммирования ограниченного числа положительных случайных величин), то соответствующий ряд Эджворта сходится медленно. В подобных случаях более подходящей является аппроксимация плотности вероятности при помощи ряда Лагерра: Ч)г,($) = ~ с, е —" $" Й1 (Э) г где !".,~(г) — обобщенный полипом Лагерра ( ! г з "° .г!" (е з зле ) а: — 1. (3.17.15) Полиномы Лагерра ортогональны на промежутке (О, оо) с ве- ггО и 1 е * з" 1.л (Я) 1лрг' (а) Ыз = — Г (и + а + 1) 6„„, (3.17.17) о где Г (г) — гамма-функция. В учетом ортогональностн находим коэффициенты разложения с„: 1 Е.("1 ($)У,($)г$.
(3,17.18) л 1'(л+ л ! 1) Вместо $ рассмотрим случайную переменную т) =- $ф с плотностью вероятности Ю'(т)), причем По аналогии с (3.17.14) можем написать Ю'())= ~ Ь„е- т) ).'„"'®, л=- з ) ~ 7" ()) ~' (Ч) 1) = 'О Ол ~ (! ) (зг! ($) а%. (3,17,21) з в (3.17.21), учесть условие нормнн определение начальных моментов гл ! Ь,= 1 1' (л + 2) (3. 1 7. 22) (а + 1) (а+ 2) — — (а + 2) + 1 2гл глз 1 Так какв фоРмулах (3.17.20) и (3.17.2!) а и р суть произволь ые постоянные, то их можно выбрать так, чтобы Ьз = Ьз = О. Для этого прнравняем правые части выражений (3.17.22) нулю и решим полученную систему двух уравнений: игз глз глз "' лз а=, — 1 = - —,— 1, Р = =- —. (3.17.23) гл гл ' При этом первые четыре коэффициента будут равны: (3.17.24) ! глз(а 1 3) лгз) Г (а +4) ((Р рз ~' Высшие ко!ффнциенты Ь„имеют более сложные выражения.
Поэтому ряд Лагерра обычно применяют в том случае, когда уже первый член Ь, дает достаточно хорошее приближение. Если отбросить лсе члены, кроме первого, то получим 1 Ж'()) =-, („+ 11) Ч е-' Перехода здесь от з) к $ и учитывая (3.17.19), получим следующую приближенную формулу: /4 ~а К,(5) =- —,— ( — ~ е — 1)(11 ~г(е а и р определяются через среднее значение и дисперсию по !юрмуле (3,17.23).
Гравнивая формулу (3.17.25) с (2.9.4), приходим к выводу, что ш рвый члеа ряда Лагерра совпадает с гамма-распределением. 5 18. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССАХ В радиофизике и автоматике большую роль играют случайные процессы, получившие название процессов Маркова или процессов без последействия. Этот класс случайных процессов впервые систематически изучался известным русским математиком А. А.
Марковым. Хотя наблюдаемые физические процессы ие являются в точности марковскими, однако в ряде случаев их приближенно можно рассматривать как марковские процессы. Таким путем удается получить ряд конкретных результатов, применяя эффективные математические методы, хорошо разработанные для марковских процессов. Прежде чем дать определение марковских процессов, приведем краткое описание броуновского движения, представляющего один из конкретных вариантов классической задачи о случайных «блужданиях» (см. 8 6 гл.
2). Теория броуновского движения была разработана А. Эйнштейном и М. Смолуховским 137). Из курса физики известно, что частицы (молекулы) газа или жидкости в отсутствие внешних влияний находятся в постоянном, хаотическом движении (броуновском движении), интенсивность которого зависит только от температуры и плотности. Частица в случайные моменты времени сталкивается с молекулами окружающей среды и меняет при этом свою скорость и направление.
Будем следить, как изменяется с течением времени одна из координат избранной частицы, допустим горизонтальная координата. При этом можно не учитывать силу тяжести; на частицу действуют только систематическая сила трения об окружающую среду и случайная сила толчков. Считая компоненту силы трения пропорциональной х-й компоненте скорости и пренебрегая силой инерции, получим следующее уравнение движения частицы: (3.18.1) ух = п(г), где у — коэффициент трения; п(1) — сила случайных толчков вдоль оси х.
Чтобы поведение частицы было статистически определенным, необходимо указать характеристики случайной силы л(1). Поскольку толчки, испытываемые данной частицей в результате столкновения с молекулами окружающей среды, в разных направлениях равновероятны, то среднее значение (п(1)), очевидно, равно нулю. Случайная сила п(г) представляет результирующий эффект, обусловленный большим числом отдельных толчков. Время корреляции п(1), грубо говоря, равно среднему времени свободного пробега молекул; при большой концентрации молекул оно очень мало. Поэтому согласно центральной предельной теореме случайную силу и(1) можно приближенно рассматривать как нормальный белый шум.
При сделанных предположениях смещения частицы для двух неперекрывающихся интервалов времени, значительно превышаю- 11В щнх время свободного пробега, независимы. Если взять три момента времени 1) 1' ) 1в (рис. 3.17), причем промежутки (! — 1'); (У' — (в) много больше среднего времеви свободного пробега, то поведение частицы на интервале (1', 1) не будет зависеть от того, что проис»одило с частицей до момента Г'.
Поэтому такой случайный процеос можно назвать процессом без последействия. Допустам, что нам точно известна координата х' в момент г'. Вследствие случайного характера воздействующей силы п(1), возможные зтачения координаты х в момент времени г различны и обра- зуютнекотсрый «ансамбль» (рис. 3.17). Мы можеи говорить об условной вероятностх р(х, 1~х', Г) того, что если в мохент времени1' координата равна х', то в момент времени частица будет иметь координату, заключенную в промежутке (х, х + г(х). Условная вероятность т« р(х,1~ х', !"1 характеризует вероятность перехода частицы из состоя- Рн«. злу.
траектории броуновния к в состояние х за время между «кой кв«уняв~ и ! и называется вероятностью перехода. Если частица в момент времени 1' может иметь различные значения координаты х' с вероятностью 1у'(х', 1'), то двумерная плотность вероятности Цу»(х', х, Г,г) равна Ю'«(х', х, г', () --= Ю'(к',1') р(х, г~х',1'). (3.18.
2) Приведем теперь формальное определение марковских процессов 138]. Возьмем в последовательные моменты времени 1» ( 1» ( « "(Гв-а < Ун (рис, 3.18) значения случайного процесса хв = = х(1о), х, = х(1»),,„х ~ = х(1» ~), кв = х(1в). ПРоцесс х(1) является марковским, если условные вероятности р(~в'гв ~~к — ~ г — и хм гВ хо гв) " в " (3,18.3) Пук+ ~ (хв'"''«к ~в " ~ ) ~к( " -~ ~в "'~ — ) зависят лишь от последнего значения х„~ в момент 1„п т. е. если справедлива равенство р(х„,б,~хк „(„б,х,,1,; х„у,) =р(х„, 1„~х„ы1в ~). (3.18.4) Следовательно, для марковских п роцес сов формулу (3. 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
