В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 18
Текст из файла (страница 18)
математическое ожидание не зависит от выбора момента времени и является постоянным, а корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения расстояния между рассматриваемыми моментами времени. Тогда, по определению (см. 2 5), нормальный процесс будет стационарным в широком смысле. Однако он будет одновременно стационарным в узком смысле, так как плотности вероятности (3.15,1) не меняются при любом сдвиге группы точек 11, ..., 1„ вдоль оси времени на произвольную постоянную величину. При этом и-мерная плотность вероятности нормального стационарного процесса зависит лишь от (и — 1) параметров т„, = ]й — 1,[, так как один из рассматриваемых моментов йи ..., 1, можно взять за начало отсчета времени.
Для нормального стационарного процесса формулы (3.15.1) и (3.15.3) можно записать так: стационарного процесса, которые легко получаются нз фй)рмул (3.1 5.6) — (3.15.9): и)1($) ==ехр~ — — — ~, 1 Г (а — (й>1 1 а г'2п ~ 241 й21(и) = ехр ()ти ой ий 1 (3, 15.18) и)з (ь1 ьй) 1 Х 2»(аз ]'1 — )сй(с> (З1 — йй>' — М (а! (41 — и) (Ее — гл! + (" — и>' 1 2ай(1 — )ай (е>] ' ' [, (3.15.19) Вй(и„и,) =- ехр [1т(и, + и,) — — и' [и)-]- 221(й) и, из -]- и~хЦ.
1 2 (3,15.20) Если среднее значение стационарного процесса равно нулю (т = О), та из (3.15.18) имеем (3, 15,17) с)1 (и) = ехр ( — — пз ий), 2 й 2 Воспользовавшись формулой (3.4.4), находим одномерные моменты стационарного нормального процесса 1 3 5 ... (л — 1)ап при л четном, (В (У)) =- (3.15. 21) 0 при и нечетном. т2п — ! (»1» " » 124 — !) = (ь(11) ". ь (124 — ()) = 0» и гй24(11 " » »24) Х ] е (ь(е() ь(»1)) Все пары 1~1 Х [(ВА)$(11)>Л(1 ) з(г)>" (я(1,) В(1,)>] (3.1 5. 22) Для нормального стационарного процесса $(г) с нулевым средним значением (т =- О) все многомерные моменты нече»ного порядка раппы нулю, а четного порядка выражаются через произведение значений корреляционной функции (й(т): В частности, (3.1 5.23) 105 404 и [( Ъ,— ' 2' па,,),,~, (3.(е.(е) (»=( 2.,»=) где о.й = Я(1) — т]й> — дисперсия процесса З(1), Приведем явные выражения для одномерных и двумерных плотностей вероятностей и характеристических функций нормального )лмм(1п Гз 12 14) = (В (11) йа(12) йе ((з) йа(14)> ~ (~з 11) ~ (14 й) + ~ (14 ~1) й (14 ~й)+ + й (14 ~1) й (13 ~1) тзй (1 12) = (Р (11) Р(12)> = па+ 2йй Ий — ~1) ДвУмеРнУю нормальную плотность вероятности (3.15.19) при т = О можно ц[редставить в виде следующего ряда [231: швЯм $в) — в ~' С[!!вен(3ь)ф(в+ 1!(~ — *).
! ) . (3 15 24) в=б ль,.(т)=(~.(1)1.(! .,) = (' ~8;8в..($ ~в) 1~, ~в= дв( ) = он+' я У„,а№ ь ы «=о (3.15.25) где Л ) $ь 63(а+ !] ($) д Совокупнос еь коэффициентов № ь образует матрицу, приведенную в табл 3151 Таблица 3.15.1 Значения ковффицнентвв лье в е ~ь=б б ~ б 1 О ! О 3 1 О 331 3 ! — 3 зь Можно ука!зать следующее правило заполнения матрицы (№л): 2. 1. Элементы выше главной диагонали (! - й) равны нулю. ьглавной диагонали и на самой диагонали (!)~й) отл"чны от н'.уля только элементы с индексами 1 и й одинаковой четности.
106 Здесь Ф(г) — !энтеграл вероятности (2.8.8), а Ф!">(г) — производная п -го поряу1ка от интеграла вероятности (см, приложение к'). фор Улой (3 1".24) часто пользуются при рассмотрении нелинейи ных безынерционных преобразований нормальных стационарных процессов. (3.15.24) позволяет сравнительно просто находить разл""нь!е двуиерные моменты нормального процесса. действидля дв умерных моментов можем написать 3. Элемент № ь строится так.
К заданному числу 1 добавляем в качестве сомнохнтелей числа (1 — 1), (! — 2), (1 — 3) и т. д. так, чтобы всего был> й сомножителей. Затем добавляем в качестве сомножителей все нечетные числа от (1 — й+1) до 1, исключая само (1 — й+ !). Например, А!б, =6 5.3 1. 2 сомнеж 4. Знак элемента №,» зависит от четности й: для нечетных й это минус, для четных й — плюс. Применяя это правило, нетрудно получить ел~дующие формулы: епвк(т) =- а'[3+ 1214в(т)[, пьы(т) = ав[9+ 72)~в(т[+24)ьв(т)[.
Можно показать [18), что трехмерная нормальная плотность вероятности иожет быть представлена рядом, аналогичным (3.15.24). Использовав такое представление трехмерной плотности вероятности, можно указать' правило вычисления трехмерзых моментов. Нормальные случайные процессы наиболее часта встречаются на практике и поэтому занимают особое положение среди других случайных процессов. Большинство встречающихся на практике элект)ических случайных процессов, таких, например, как дробовой пум, тепловые флуктуации, собственный шум типового радиоприем!ика от детектора, атмосферные и космические шумы, представлякп собой результирующий эффект (сумму) большого числа сравнительно слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты времени.
Оказывается, что плотность вероятности суммы неограниченно приближается к нормальной с увеличением числа слагаемых, независимо от того, какие плотности вероятности имеют втдельные слагаемые. При этом важно лишь то, чтобы влияние отдельных слагаемых на сумму было равномерно малым (пркблизитсчьно одинаковым). Математические условия применимости нормальнбго закона распределения даются центральной предельной теоремой, доказательство которой при весьма общих условиях принадлежит А. М. Ляпу~ шву. Укажем, что при линейных преобразованиях нозмальыых случайных сигналов свойство нормальности сохраняется. Если на нход линейной системы воздействует нормальный случайный процесс, то на выходе системы получается также нормахьный процесс.
! !Оэтому можно сказать, что нормальные процессы «бладают свойгвом «устойчивости» по отношению к линейным преобразованиям. При нелинейных преобразованиях свойство но)мальности теряется. Если нормальный процесс $(1) подвергается нелинейному преобразованию т[ = ["(1, $), где )' — нелинейная ф нкция относи- 407 й 16. БЕЛЫК ШУМ Рассмотрим стационарный случайный процесс и((), функция корреляции которого равна дельта-функции, умноженной на некоторую постоянную величину Ага/2 (рис. 3.12, а): (3.16.1) А(т) = -~" 6(т), Как известно (см. приложение 1), дельта-функция равна нулю всюду, за исключением точки т = О, где 6(0) = ест, причем интеграл от дельта-функ-.
г(гер цни по любому интервалу, г ~~ содержащему особую точку ,суй т =- О, равен единице. йг« Отсюда следует, что сггл) рассматриваемый случайный процесс характеризуется тем, что значения ет п(1) в любые два, сколь угодно близкие моменты времени некорре.лированы. Поэтому такой процесс п(1) можно назвать абсолютно случайным процессом. По формулам (3.10.!) и (3.10.9) с учетом (П.4) находим спектральную плотность абсолютно случайного процесса д й в) а) Рис. ЗЛ2.
Корреляционная функция (а) и спектральная плотность (б) белого игума. 5(га) .= ) й(т) е — ' 'г(т =-- — ' == сопИ, 5(/) =-Л',. (3.16.2) Таким образом, спектральная плотность абсолютно случайного про- цесса постоянна при всех частотах (рнс. 3,12, б). 1ЕВ тельно $, то процесс Л(1) будет ненормальным. В частности, в результате перемножения двух нормальных процессов получается ненормальный процесс [см. формулу (5.2.11)). Однако если ненормальный случайный процесс с временем корреляции т, воздействует на инерционную линейную систему (с постоянной времени т,), то процесс на выходе такой системы приближается к нормальному.
Это приближение тем лучше, чем сильнее выполняется неравенство т, )) т,. Тенденция к нормализации случайного процесса является характерным свойством линейных систем. Количественные характеристики степени приближения процесса к нормальному рассматриваются в 3 17. Случайный процесс и(1), обладающий равномерным спектром в очень шираком диапазоне частот, обычно называют «белым шумом» по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошюй спектр. Для белсго шума формула (3.10.3) дает физически непонятный результат: (исперсия (средняя мощность) такого шума о' = еп. Зтот резульгат объясняется тем, что белый шум следует рассматривать как идеализацию, так как реальные процессы всегда имеют энергетический спектр, убывающий с частотой, и, следовательно, обладают венечным временем корреляции т, + 0 и ограниченной средней мощностью.
Белый шум является полезной математической идеализацией, применимой в тех случаях, когда время корреляции шума много меньше всех существенных постоянных времени системы, на которую воздействует шум, или, иначе, когда в пределах амплитудно-частотной характеристики системы спектральную плотность воздевстзующего реального шума можно приближенно считать постоянгной. Ложно указать следующее приближенное условие и правило заиены реальюго шума (процесса) на белый шум п(1). Пусть рассмагривается всздействие на некоторую систему с постоянной времени т, реальногс шума с функцией корреляции й(т) = о%(т), характеризуемой достаточно широким спектром 5(ге) и, следовательно, малым, но конечным временем корреляции тк с[; т,.
В данном случае реальньху шум можно рассматривать как белый шум. За значение спектзальиой плотности /у'а/2 «эквивалентного» белого шума можно взять значение 5(га =- 0) =- 5(0), которое по формуле (3.! 0.1) равхо — ' = 5(оз =0) = ) А(т)г(т = 2) й(т)т(т = 2о т». (3.16.3) — те о Укажем, что если белый шум и(() представляет случайное напряжение, то величина Ага имеет размерность [Ага ) = [вя/гг() = -= [вя сгк!. Приведен два конкретных примера флуктуационных шумов, которые,часто рассматривают как белый шум [24 — 28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
