В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Сделаем замену переменных (рнс. 3.5) гт е> уо = (у>+ уг)/2 4>= >о 2/' т=>> >1 Учить>вао четность корреляционной функции А,(т) = А,( — т) н выполнив интегрированй: по ум получим т т т ~~„1 т ~й™тни а Т ~(1 т 4~' (т) 4)' (3.8 6) о Формула (3.8.6) показывает, чта для вычисления среднеквадратичной ошибки т(Т) временвого среднего значения Х~, не~обходимо звать корреляционную функ- Рис. ЗД. Область интетри рования. нню л,(т).
Однако в двух частных случаях (для м>лых и больших времеяных интервалов Т) можно ЧпЛуЧнтЬ ПрябЛИжЕННЫЕ ОЦЕНКИ а(Т>. Прн Т(~т„, ГдЕ т„— агтрЕ>сленное фор4улой (3.7.3) время корреляции случайного процесса /(у), можно приближенно положить Я, (т) = 1 и из (3.8.6) получим г (3. 8.7) ачк.
24З ционарным, и поэтому его статистическое среднее значение не зависит от времени. Покажем, что дисперсия и'(Т) случайной величины Ет стремится к нулю с ростом T. Для этого вычтем из обеих частей равенства (3.8.3) средние значения (3.8.4): г, — <2,> = -,'- ~ (л <() — <л <(>>) л. а Возводя Обе части этого равенства в квадрат и статистиче. ски усреднгш, имеем Прн этом нз равенства (3.8.8) получаем оценку быстроты сходи- мости т ~ —,' ~ г(1) [1 — (~(1)),<, (2,— ')'" . (3.8.10) Из сопоставления формул (3.8.10) и (2.5.9) следует, что среднее по времени (3.8.3) имеет такую же быстроту сходимости, как и среднее арифметическое (3. 8.
11) одинаковых взаимно независимых случайных величин 2(И), число которых равно 12' = Т)22,. Поэтому для облегчения фактического вычисления среднего значения (Я(1)) целесообразно вместо интеграла (3.8.3) пользоваться суммой (3.8.11), взяв интервал разбиения по времени Л)-22„. Путем временного усреднения можно определить различные статистические характеристики стационарного эргодического случайного процесса. э Р, ЗКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ И КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ Для стационарного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством, можно указать простые методы экспериментального определения основных статистических характеристик. При этом используется тот важный результат, что эти характеристики могут быть определены посредством временного усреднения одной достаточно длинной реализации, Когда Т велико (Т)) т„), формула (3.8.6) несколько упрощается 2о2 2 2 '(Т) < — *~[)с.(т) [ [т = (3.8.
8) а Отсюда видно, что если стационарный процесс 2(1) удовлетворяет условию (3.8.1), т. е. имеет конечнуюдисперсиюо,'и конечное время корреляции т„то 11ш о' (Т) = О. Это означает, что с ростом Т слуао чайная величина Хт стремится к неслучайной величине, равной статистическому среднему значению (2(1)): т (К(1), =Вот ' [2(1)а.
(3.8,9) т т о Предположим, что время наблюдения Т за стационарным эргодическим процессом Ц1) значительно превышает время корреляции т, (Т))т,). Полагая в формуле (3.8.3) Л(1) = ~ь(1) и 2(1)= 3(1)— — тп![ч(1-[- т) — тп), где т — фиксировано, можем написать следующие фо)мулы для среднего значения, дисперсии и функции корреляции: = ~т = — ~~ (1) о(т, а (3.9.1) т 1[э(~) о (3.9. 2) т а[т) =- лт(т) = т ~%(т) т) [й(1+ т) — лт) о[1. (3.9.3) о Часто интегрирование осуществляется при помощи цепочки о©С, ! ое идеальным интегратором.
Ввиду этого и из-за конечного вре- ЕЗ Если э! 1) представляет флуктуационное напряжение (ток) в каком-либо радиотехническом устройстве, находящемся в стационарном состоянии, то согласно формуле (3.9.1) среднее значение т равно постоянной составляю!цей напряжения (тока), которая экспериментадьно легко может быть определена при помощи соответствующих приборов магнитоэлектрической системы. Дисперсия ото равна квадрату эффективного значения переменной составляющей напряжения (тока) и может быть определена при помощи термоэлектрических лли тепловых приборов [6). Функцию корреляции, определенную формулой (3.9.3), в литературе часто называют кратковременной функцией автокорреляция. Для экспериментального определения этой функции приме!!яются спехиальные счетно-решающие устройства, называемые коррелометрами или корреляторами !7, 8, 91.
Основными элементами коррелометра являются линия задержки, перемножнтель, инте! ратор и регистрирующий прибор. В зависимости от того, вы!!олняется хи умножение цифровым методом или путем моделирования, различают коррелометры дискретного и непрерывного дейстоия. Проста(кпая функциональная схема коррелометра непрерывного о йствия изображена на рис. 3.6, Определение корреляционной функции выполняется по формуле т т- — ~ [~ (1) — т] [~ (1 — т) — т )Ж. (3.9.4) ! мени интегрирования возникают методические ошибки в определении функции корреляции, которые можно вычислить, зная аналитическое выражение четырехмерного момента ($(гг)ь(те)ь(ге)ь(га))- В коррелометрах дискретного действия определение корреляционной функции производится по формуле уг((й)= —,, ~~у~ Д()«А) — т)[ч()«А — (А) — т), А=--.
(3.9.5) я=е Рис. З.У. Аппроксимация корреляцион ной функции, Е4 Для надежного определения корреляционной функции число точек должно быть достаточно велико. Выбор длины элементарного интервала А в значительГерек(лами>)сяь икп)етгтллар ной степени определяется характером изменения слу- Ч('ту-т )' "~~~ чайной функции. Если 4ггу ' х случайная функция изме— 1 1с- .1- няется сравнительно плавно, то А можно выбирать ббльшей, чем когда она Лакая Зачту) ~ки совершает резкие и частые колебания. Рис. з.е.
Функциональная схема коррело- Вычисления корреляметра. ционной функции по фор- мулам (3.9.4) и (3.9.5) производят последовательно, начиная с малых значений т, и продолжают до таких значений т, при которых она становится практически равной нулю или начинает совершать очень малые колебания около нуля. Общий к гт1 ход функции й(т) воспроизводят по отдельным точкам (рис. 3.7). При подборе аналитической кривой для функции корреляции необходимо руководствоваться не только необходимой точностью аппроксимации, но и иметь в видУ, () т те та т«,т«7 т«т. та т, т что корреляционная функция стационарного процесса должна ухов,четворять условиям (3.6.7) 'и (3.6.8).
В радиотехнических приложениях часто приходится иметь дело с высокочастотными флуктуационными токами и напряжениями. При разработке коррелометров для подобных процессов возникают практические затруднения, связанные с получением большого числа фиксированных задержек т прн небольших разностях Ат между ними. В таких случаях чаще измеряют при помоши спектроанализаторов энергетический спектр случайного процесса, по которому можно однозначно определить аналитически корреляционную функцию.
Е 10. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ (3.10.3) (3.10.4) Введем важное понятие спектральной плотности (интенсивности) 5(са) стацуонарного случайного процесса $(1), определив ее как преобразование Фурье от автоко реляционной функции. ~ >( )= 1 й( ) лш .1 (3)«)) На оснсванни обратного преобразования Фурье можем написать й (т) = — ~ 9 (еу) е)"' сЪ. (3.10.2) Положив здесь т=О, получим выражение для дисперсии ае= -- ~ 5(щ)(~д. 1 2)( Из (3.6.10) следует, что спектральная плотность 5(со) при всех частотах неотрицательна. Если понимать под $(т) флуктуацяонный ток (напряжение), то величину пе можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим током (напряжением) на сопротивлении 1 ом. Часть этой мощности 3(еу)аЪ(2п выделяется составляюнгями спекгра, заключенными между (о и со+ с(со.
Поэтому функция .8((о) характеризует распределение мощности по спектру. Функцию .')((о) иногда называют спектром мощности илн энергетическим спектром, так как она имеет размерность энергии. Формулы (3.10.1) и (3.10.2) были одновременно получены советским ученым А. Я. Хннчиным и американским ученым Н. Винером, н поэтому называются формулами Винера — Хинчина. Корреляционная функция к(т) и спектральная плотность 3(со) стационаряого случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары преобразований Фурье. В частности, )ем «шире« спектр 3(оу), тем «уже> корреляционная функция /:(т), и наоборот.
Введем энергетическую ширину спектра (ь)„определив ее форм)лой 5(7) = 4 А(т)соз2п)тс(т, (3. 10. 10) 7«(т) =- ~ 5()) соя 2п(т4. о Е (со) = $ (с) е — т'"с Ш. (3.10.12) 5(в) =- 2 ~ й(т)созе»то(т, о тт ,Г3.1 0.7) й( ) = 2~ 5( ). о '(3.10.8) 5 У) =- (5 ( ) + 5 ( — )1 =- 25 ( ) (3.10.9) В6 В7 где 5, =. 5© — значение спектральной плотности при некоторой характерной частоте (рис. 3.8). Обычно берут 5, равной максимуму. спектральной плотности. Тогда произведение времени корреляции тк на ширину спектра сч, есть приближенно постоянная величина.
На рис. 3.8 через ст( оо обозначена ширина спектральной плотности 1 5(1) на уровне 0,55,. Иногда вместо 65 спектральной плотности ст тт 5(в) рассматривают нор- мализованную спектр то ральную плотность Рис, З.а. Энергетическак ширина спектра Л), и Б (СО) =- П ~ 5 (В). ширина спектра Л( на уровне 0,55ш (3.10.5) Разделив правые и левые части формул (3.10.1) и (3.10.2) на по, убеждаемся, что нормализованный спектр и коэффициент корреляции связаны аналогичными соотношениями з(в) = ~ )ст(т) е у 'с(т, И(т) = — ~ у(в)еу"тйо. (3.10.6) Используя свойство четности автокорреляционной функции (3.6.7), формулы Винера — Хинчина (3.10.1) и (3.10.2) можно записать иначе: Заметим, что в формулах (3,10.1), (3.10.2), (3.10.7) и (3.10.8) спектральная плотность 5(в) определена для положительных и отрицательных значений круговой частоты в, причем 5(в) = 5( — в), В отличие от такого двустороннего «математического» спектра, введем одностороннюю «физическую» спектральную плотность 5()), отличную от нуля лишь при положительных частотах )э0: Тогда из (3.10.7) и (3.10.8) получим следующие окончательные фор- мулы Винера — Хинчина: 11ри выпохненни конкретных вычислений следует пользоваться именно этими формулами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
