В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 10
Текст из файла (страница 10)
яда. Плотность вероятности м(х) и функция респредепения вероятностей Р(х) непрерывной случайной величины при нормальном законе рвспредепения. Р(х) = — 1 ехр( —, — 1т(х (2.8.6) и тоже изображена на рис. 2.10, Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Согласно (2.3.4) имеем Р(а (Х(Ь) = .....
) ехр ~ — - —:- —,~!(х. 1 Г Г (х — тп)21 .р2,) ~ 2т л Переходя к новой переменной 1=-(х — и)/о, получим Р(а(Х(Ь) = Ф( ) — Ф (:), (2.8.7) — табулированный интеграл вероятности (см. приложение Гу'). Пользуясь таблицами функции Ф(з) и формулой (2.8.7), можно установить, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал от — о до о относительно среднего значения равна 0,683, в интервал ( — 2о, 2а) равна 0,954 и в интервал ( — 3<т, 3 о) равна 0,997.
й 9. ДРУГИЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Кроме нормального распределения и распределения Пуассона при теоретическом и экспериментальном изучении случайных величин могут встретиться распределения других видов. Число возможных распределений очень велико, так как любую неотрицательную функцию )у'(х) > О, удовлетворяющую условию нормировки, можно рассматривать как плотность вероятности некоторой случайной величины.
Ниже приведены наиболее часто встречающиеся в приложениях распределения и кратко указаны некоторые условия их применения. 1. Логарифмически нормальное распределение. Предположим, что большое число и независимых импульсов йт, ..., $„действует на некоторое устройство в порядке возрастания их индексов. Обозначим через х! суммарный эффект, достигнутый в результате действия импульсов й,, ..., $!. В некоторых случаях можно считать, что прирост.
вызванный импульсом ~ть„достаточно мал н пропорционален 1т+! и некоторой функции д(х!): Так как прирост от каждого импульса мал, то приближенно где х = х„ обозначает окончательный эффект, а х, — начальное тпачение. Согласно центральной предельной теореме Ляпунова при большом числе и независимых импульсов $1 сумма (2.9.1) будет распределена нормально. Полагая д(з) ==- э (прирост от каждого импульса прямо пропорционален уже накопившемуся эффекту и воздействующему импульсу), получим, что величина 1дх распределена нормально.
Случайная величина х называется распределенной логарнфмически нормально, если логарифм этой случайной величины рас. пределен нормально. Испольычх/ зуя известное свойство инвариантности дифференциала вероятности, нетрудно записать логарифмически нор- 0,1г мальиую плотность вероят- ности: цвв !й' (х) с(х = — м а) 2л (!як — !к т)в 1 два к ехр ~ — —, ~с!1ях, х >О.
(2.9.2) го гв за х Из формулы (2.9.2) еле. Рис. 2.11. Графини плотности вероятно- ДУ стн логарифмичесли нормального рас- 2 пределения прн !ят=! и 0=0,1; 0,3: О,З. а* (х) = и 1021", (2.9.3) где р = 1де = 0,4343. Абсцисса, соответствующая максимуму плот- НОСТИ ВЕрОятНОСтИ, раВНа Лв 10-а*Л'. УГЛОВЫЕ СКОбКИ ОбОЗНаЧаЮт операцию математического ожидания. На рис. 2.11 изображены три кривые плотности логарифмически нормального распределения для 1ягл = 1 и трех значений о. Для 0 = 0,5 и 0,3 кривые заметно асимметричны, а при 0 = 0,1 плотность вероятности не сильно отличается от нормальной.
2. Гамма-распределение. Гамма-распределение задается плотностью вероятности 1 к а!„! — ~ ~г~ ~-1,~ (т! г ~ ' 1т.т.41 О при х(0, где действительные числа а) — 1 и р)0 представляют параметры распределения и Г(а+1) — гамма-функция: Г (а + 1) = ) е — ' !" т!!. о 66 На осювании общей формулы начальные моменты равны (х") = рп (а + 1) (а + 2) ... (а + и). (2.9 5) Нетрудно установить, что два параметра гамма-распределения а и р опредехяются через среднее значение т„и дисперсию и, по фор- мулам а2 (т )2 (2.9.6) Эта формуха широко используется в теории надежности и массового обслукиваиия, 3.
)(2-распределение. Пусть имеется п независимых нормально. распуеделехных елучайных величин х„х„..., х„причем все оии нормированы (имеют нулевое среднее значение н одинаковую дисперсию ог — — 1). Сумма квадратов этих случайных величин обозначается чсрез )(я! л ув =- ~'„х~с, (О (22( оо) 1=! (2.9.3) и и называстся числом степеней свободы )(в. 11В. зан.
2аа а7 Графики плотности вероятности (2.9.4) при р = 1 для трех значений а =О, 1, 3 представлены на рнс. 2.12. При больших значениях а гамма-распределение переходит! нормальное. Этот результат следует из того и'Гх) факта, что гамма-распределение (2.9.4) справедливо для вв СУММЫ (а т- 1) НЕэаВИСИМЫХ сг-и 7-1 втв величин х=~"„хо каждая из 1=! которых ипеет одинаковую плотность вероятности кй !!2(хт)= - ечр( — ), хт) О, ~ рl получающуося нз (2.9.4) при г и в э а = 0.
Согхасно центральной предсльиойтеореме плотность Рис, к.1д Графини плотности вероятноверохтност1 суммы при уве- сти гамма-распределения при р-! и личении гисла слагаемых стремится х нормальной. Если в 1)ормуле (2.9.4) положить р = 1/Л и а=-й, где й — целос полохсител1ное число, то получим плотность вероятности Эрланга: )ьа(х) = —, е — '", х) О. Л(кх)а (2.9.7) и (х') аг5 Х'= Ех! , 2.9.10) т=! будет нмскь вид дю ~Ю,9, 12) )Р(Х') = — е т (л:=-2).
:!в Плотность вероятности Ф(х1) зависит только от и, так как расСматривается сумма квадратов нормированных случайных величин. Она определяется формулой н 1 йУ(Х')= „' (Хс)з е ' " Х'>0. 2 Г(2) Из выражения (2.9.8) видно, что (Х') = а, т. е. среднее значение Х' равно числу степеней свободы. Непосредственной проверкой 5 тО у5 г!! гд т!т 55 м~у Кт Рис. 2.13. Графики плотности вероитности Хт прн и=!, 4,!Он 2О, нетрудно установить, что плотность вероятности Х'-распределения (2.9.9.) является частным случаем гамма-распределения (2.9.4) и со значениями параметров а = — — 1 и р = 2, 2 Графики плотности вероятности Х' для п = 1,4, 10 и 20 приведены на рис, 2.13. Из основной формулы (2.9.9) при а = 1 имеем ! 1 В'(Х') ==-(Х') ' е (" = 1) Р' 2г Плотность вероятности всюду убывает, причем оси координат яв- ляются асимптотами.
Прн а = 2 получим В данков случае плотность вероятности является убываю ~ей эк. споненци!льной кривой. Прн п = 3 имеем ! ! Чу(Х') = =(Х')' е ' (п=З). УЫ Кривая пготности вероятности начинается в начале координс.. и возрастает дз абсциссы Х' = 1, после чего убывает„асимптс-ически приближаясь к оси абсцисс. При дальнейшем увеличении чи ла степеней свсбоды асимметричность кривой уменьшается. Если зезависнмые случайные величины х„х„..., хи ногнально распреде!нны и каждая из них имеет нулевое среднее знн ение и одинаков)юдисперсню о! = о', то плотность вероятности дл; суммы 2 квадратоз зтнх величин и 'йГ(Х') = „(Х')' е '~" Х'> О. 1.9.11) 2 а" Г (2) 4. Рас1ределение Накагами (!м-распределение).
При распространении радиоволн через среду со случайными неоднородсэстями (в частном н, ионосферу илн тропосферу) сигнал в точке прис-!а подвержен замираниям (федингам). Это объясняется тем, чтомтрииимаемый с!гнал представляет собой сумму нескольких сосятвляю- 19 щкх г;е ' (с 1, 2, ..., а), проходящих различные пути,гтричем амплитудн г! и фазы О! отдельных составляющих изменя! тся во времени отучайным образом. Определим огибающую си!мала в точке при!ма )г равенством 1 )т! = ~ „, г! ед! ~ = ~ а+ тЬ ~, а = ~'„', г, сок От, Ь = ~! г! з!п! !. т= ! 1=! т=! При н!которых предположениях относительно статист!=!еских характер!етнк величин г! и О! плотность вероятности огиввющей приближенно дается формулой Накагами: !! ()с!) = 2 ( — ) 11 -'е й, Я> О, т> —.
ь2,9.13) Два паракетра этого распределения тт! и Й определяютс соотпоц!ениям! (2.9.17) а для начальных моментов справедлива следуюп)ая формула: г( +,"~ „", (2.9.15) При т = '/2 формула (2.9.13) переходит в одностороннюю нормальную плотность вероятности )р(г) — У 22т ~ 22 /' ' ' (2.9.15) О, .я<О. Если и2=1, то из (2.9,13) получим плотность вероятности Релея: )ОЯ)= о ЕХР( — ц), Я>0. 2/1 г ст~ При )и) 1 формула (2,9.13) дает хорошую аппроксимацию для плотности вероятности Райса: ТЯ) = —, ыр ( — / ), (~), Я '» О, )29)4) где 1„(г) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргу- мента т $ н О т с О 4т Ф ° ) т Ф н О $ Ю О С с с с т Ю >т т Ф т О) т е.
)т ) н т О 1 (г) == ~ ~ е'"')2 — 2)4()р О 2т ) (2.9.19) При этом между параметрами т, 11 и а, Л„имеется следующая связь: 2, 2 Я вЂ” о + г) )и —, ° )') — 1/тит ги О~ -- 22 ~.,4 = ))) о о = — ()и — 1/ т' — т). 60 Если в формуле (2.9.13) перейти от )х к новой перемеино Х = Я/)/й, то получим 1)" (Х) = — Х2 — ' е — "х', Х > О. (2.9.20) г г()и) Вид плотностей вероятностей 7У(Х) для нескольких значений параметра т приведен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
