В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.6. -г п,г -г и г Р -г О г з -г и г з -4 -г и г Рис. 2,а. Эволюция закона распределения для координаты частицы, со- вершающей случайное блуждание. й -1- (й — т) = и, найдем, что число шагов, сделанных вправо, должно бить равно (и+ т)/2, а число шагов, сделанных влево, равно (и — т)/2. Таким образом, событие, состоящее в том, что после и шагов частица придет в точку т, осуществится тогда и только тогда, когда из общего числа и шагов вправо будет сделано ровно (и + т)/2 гпагов. Тах как порядок, в котором следуют друг за другом шаги в одном и другом направлениях, не играет роли, то вероятность такого события равна ит-ти Щ- ти и — и Р(т)=-С' р' т) '. (2.6,7) Учитывая свойства биномиального распределения, заключаем, что с увеличением числа шагов и дисперсия числа т (координаты частицы) возрастает.
Любопытно проследить эволюцию формы распределения, начиная с и = 1. Случаи и = 1, 2, 3, 4 при р = д = =- а/а изображены на рис. 2.8. Можно показать, что при неограниченном увеличении и распределение (2.6.6) сходится к так называемому нормальному закону (см. 3 8). Имея в виду, что и имеет очень большое значение, вместо Ри(й) найдем 1!гп Р„(й): й 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА Биномиальный закон распределения весьма часто приходится применять в условиях, когда число независимых испытаний и велико. Вычисления по формуле (2.6.1) при этом усложняются. Поэтому представляют интерес асимптотические приближения для биномиального закона, справедливые при больших и.
Здесь могут встретиться следующие два случая: 1) Когда и -+ ОО, пр тоже неограниченно возрастает (случай постоянного Р); при этом биномиальное распределение сходится к нормальному закону. 2) При и -~ Оо произведение пр = Л, т. е. математическое ожидание рассматриваемой величины, остается конечным (это означает, что вероятность события р = Л/и мала); в данном случае биномиальное распределение сходится к закону Пуассона. Рассмотрим здесь второй случай, начав с примера, Пусть известно, что на телефонную станцию в течение одного часа поступит 120 вызовов.
Вызовы независимы один от другого и поступают в случайные моменты времени. Чему равна вероятность того, что за некоторую минуту этого часа поступит О, 1, 2, ..., /а,... вызовов? Сформулированную задачу можно рассматривать как последовательность нз 120 независимых испытаний, каждое из которых состоит в том, что проверяется, попал или нет в назначенный интервал (здесь длиной в 1 )иин) 1-й вызов, 2-й вызов и т.
д. Вероятность того, что некоторое случайное событие, происходяшее на интервале Т, попадает на его часть длиной 1, равна 1/Т (см. пример в конце 2 3) и в данном случае составляет 1/60. Эта вероятность в условиях задачи мала, однако математическое ожидание такого события при большом числе испытаний (и = 120) сохраняет конечное значение (пР = 120'ео 2). 1 Итак, рассмотрим асимптотическое представление бниомиального закона (2.6.1), когда и — велико, р — мало, а пр = Л имеет конечное значение. Если в формулу (2.6.1) подставить р = Л/и, то можно написать и(л — 1)(д! 2) .. [и — (ь 1)! / ) ла/ ) лл 4Е Воспользуемся хорошо известными из теории пределов формулами; Л лл л 1!ш ('1 'у =е-л И-СО ( оз [ип (1 — — ') = 1. (2.7.1) П-СО ао Тогда окончательно получим )а п4 (")=те . (272) оз Распределение вероятностей, цг определяемое формулой (2.7.2), называется распределением Пуас- ц' сона.
Несколько примеров этого распределения приведены на рис. 2.9. Как ука ывалось ранее, пара- Рис. 2.9. Заиои пуассона. метр Л = — пд имеет смысл математического ожидания. В этом нетрудно убедиться непосредственным вычислениек по формуле (2.4.2). Действительно, СО ао СΠ— ~~~~ йР (й) ~ / — л — Л а=о к=о а=! Ли = Ле-' ~, — = Ле — 'е" =Л. (2.7.3) Р1 о=О Покажем, что дисперсия пуассоноьского распределения тоже равна Л. Дхя этого по формуле (2.5.6) вычислим сначала второй начальный момент: о ! г .) 4 Д К е — л Л У й л 20 аа (Ь ц! а=! СО Л 1(й 1) л' ' а=! е "= Л ~ 1(/а — 1)+1! х а=! СО *-'+ ~ ' (к — 1)! л=! М (/!а) ~~~~ / а )а — ! (к — 1)! ' и за.ало Но РО )4 — 1 з Р!" 1) — — е — ' =,~, р — е-"=), (4 — !)! ! ! !4 — ! (4 — !)! е — '=1.
Поэтому Л1 (й») = Х(1+1). Дисперсия величины й равна п4 = М (й») — т4 = ) (1+1),— )» = ).. (2.7.4) Следовательно, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию. Следует указать, что распределение Пуассона (2.7.2) в ряде задач выступает не как асимптотическое, а как совершенно точное.
Нетрудно, например, убедиться з том, что для рассмотренного выше примера распределение Пуассона дает точное решение, если считать, что указанное в условии число вызовов представляет собой среднее число вызовов за 1 час. Действительно, как всякое среднее значение, это число должно выводиться нз результатов наблюдений на интервале времени, значительно превышающем 1 час.
При этом общее число испытаний п -» РР и, следовательно, усговия применимости закона Пуассона точно выполняются. Однако наиболее часто приходится сталкиваться с распределением событий во времени (появление импульсов нлн электронов, поступление заявок нли трсбований и т. д.). В этой связи приведем еще один вывод закона Пуассона, который позволит более четко установить условия его возникновения и пределы применимости.
Последовательность событий, происходящих друг за другом в некоторые моменты времени с„)„г», ..., принято называть потоком. Геометрически поток событий можно изобразить в виде точек на оси времени. Различают регулярные и случайные потоки. Рас. смотрим случайный поток, обладающий тремя специальными свойствами: стационарности, отсутствия последействия и ординарности. В стационарном потоке вероятность наступления некоторого числа событий в течение заданного отрезка времени т зависит только от величины этого отрезка и не зависит от начала отсчета времени; в геометрической трактовке имеет значение только длина отрезка т и не имеет значения — далеко или близко он расположен по отношению к началу отсчета.
Отсутствие последействия в потоке означает, что отдельные события в нем происходят независимо одно от другого, так что «сгущения» событий на одном интервале не приводят к обязательным их «разрежениям» на- другом. Математически это требование формулируется следующим рбразом: длй любых неперекрывающ))хсд где Х вЂ” среднее число событий в потоке, приходящееся на интервал длительности т. Если обозначить через т среднее число событий в потоке за единицу врем«ни, то формулу (2.7.5) можно записать в виде Р(А, т) = —" е — ".
(»Р) 4! (2.7.6) Докажем ее справедливость при Ф = О. Предположим, что вероятность Р(0,т) отсутствия событий на интервале т известна. Вычислим вероятность Р(0, т +Ьт), где Лт — достаточно малый отрезок. За»етим, что отсутствие точек на отрезке т+ Лт есть событие, котэрое можно представить в виде произведения двух событий А н В: одно нз них есть отсутствие точек на интервале т, второе — отсутствие точек на интервале Лт.
В силу независимости этих событяй ( отсутствие последействня в потоке) имеем Р(0, т+ Лс) = Р(0, т)Р(0, Ьт). (2.7. 7) Нс Р(0, Лт) = 1 — Р(1, Лт) — Р(2, Лт) †...=1 — Р(1, Лс), так как в «илу ординарности потока вероятностью наступления за время Лс двух и более событий можно пренебречь. Остается найти Р(1, Лт). С этой целью запишем выражение для математического ожидания числа точек на интервале Лт. С одной стороны, охо равно ~Лт, а с другой,— 0 Р(6„Лт)+1 Р(1, Лт)+2 Р(2, Лс)+ ... Р(1, Лт).
Следовательно, Р(0, Лс) = 1 — тбт (2.7. 8) Р(0, т+ 1Ь) = Р(0, с)(1 — тйт). (2.7.9) о грезкоз !осмеян число событий на одном из них не зависит от числа <обытнй 4»з другом. Наконнх, свойство ординарности потока заключается в том, что !!ероятность наступления двух нли более событий иа достаточно малом интервале времени является исчезающе малой в сравнении с вероятнсстью наступления одного события. Иными словами, ординарным =ледует считать поток относительно рецкнх событий. Покажаа теперь, что для вероятности наступления за время т ровно й событий справедлива формула )4 Р(lг, т) = —, е — ', (2.7.5) и (о, .) — --' — = — чР(0, т).
й (2.7.10) Са 1/2 ) е -"* Ж = 1. Р(0, т) = е-"', (2.7.1 1) (2.8.2) ир(х) =- ехр ~— ) Г (х — т) Ч р К2рр ~ 2РР (2.8.3) ~ (х — т) ехр ~ —, ) 1р(х+ (х — т)р 1 пр(х) = Сехр ~— (2.8.1) М(Х).= т, (2.8. 4) При Лт-з. 0 из последнего соотношения имеем Интегрирование этого уравнения при очевидном начальном условии Р(0, 0)=1 дает что совпадает с (2.7,6) прн й = О. Аналогичным образом могут быть получены формулы для других й. й 8.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Как уже отмечалось, при некоторых условиях биномнальиый закон сходится к дискретному нормальному (или гауссову) распределению. Неограниченным уменьшением интервала между соседними значениями случайной величины от дискретного распределения можно перейти к непрерывному. Однако нормальный закон распределения вероятностей применим з гораздо более широких условиях и вследствие этого он играет совершенно особую роль среди других законов распределения.
В теории вероятностей доказывается, что плотность вероятности суммы независимых или слабо зависимых, равномерно малых (т. е. играющих примерно одинаковую роль) слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределения независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые (центральная предельная теорема А. )р(. Ляпунова). Если принять во внимание, что необходимость в вероятностном описании явлений чаще всего возникает тогда, когда приходится учитывать большое число случайных факторов, имеющих примерно одинаковый порядок малости, то станет ясным, как часто встречается при описании случайных величин нормальный закон. Он, кроме того, имеет ряд других замечательных свойств, которые будут указаны позже. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины в ненормированной форме имеет вид где т и а — параметры распределения (имеющие конечные значения); С вЂ” некоторая постоянная.
Произведем нормировку распределения. Имеем ир(х) рзх = С ) ехр ~ —, — 1 дх = 1. (х — т)р 1 — ррр рО Полагая г=(х — т)7о')рр 2, приведем последнее соотношение к виду Так как ) е — '*Их=1'й, то из (2.8.2) найдем С = 1)о ~2п. Распределение (2.8.1) примет теперь свою стандартную форму Остается выяснить смысл параметров т и ш В этой связи най- дем математическое ожидание случайной величины Х, плотность вероятности которой определяется формулой (2.8.3): рррхр=- ' ) **р[ — '*,, '1р,= +т ~ ехр[ —, 1Нх. Первый нз полученных интегралов равен нулю, так как подынтегральная функция является нечетной.
Выражение ) ехр~ —, 1р(х по условию нормировки равно единице. Таким образом, г, е. параметр т имеет смысл среднего значения. .(,) ~ е-2 "„ )/ 2ст 1 (2.8.8) ~гх), г(х) о', = —. 1 2(зе — !*с(1. Применяя далее интегрирование по частям (г = и, 2(е — '*Ж = с(п), получим окон- чательно о', = о'. (2.8.5) Следовательно, параметр о в (2.8.1) и (2.8.3) имеет смысл среднего квадратич- л -г -т а т г з хте! — х! = йт+! Е(х!). Рассмотрим сумму л — 1 ~тх! ! — х; $т+ $2+".
+ 1 л 72 е (х!) т=о х Г ЬХ+ ттз+" + Ьл ) ~(~) ха (2.9.1) 55 Найдем также дисперси!о нормально распределенной случайной величины: о,= ) (х — т)'ехр ~ — 1 с(х. 2 1 Г (х — л!)з 1 .у.й,—. 3 2лз 'со Обозначая 1=(х — т))о )'2, приведем это выражение к виду ного отклонения нормально х распределенной случайной величины, а оз — соответственно смысл дисперсии. График распределения (2.8.3) представлен на рис. 2.10. Функция распределения вероятностей случайной величины согласно (2.3.3) записывается следующим образом: Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
