В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Она равна ю Ри(ис: и) = ~ Сй р'" с/и— (1.8.3) т=о 29 ТИТЕРАТаРА 1. К о л м о г о р о в А. Н. Основные понятия теории вероятностей. ЭНТИ, 1936. 2. В е и т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1962. 3. Л е в и н Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в ра!иотехнике. Иэд-во «Советское радио», !960. 4. Г н е д е н к о Ь. В. Курс теории вероятностей.
Фнзматгиз, 1961. 5. Б о е в Г. П. Теория вероятностей. Гостехиздат, 1950. 6. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, 4зд-во «Мир», 1964. 7. Л е б е д е в В. Л. Случайные процессы в электрических и механи~ескнх системах. Фи»маттиа, 1958. 8. С и ф о р о н В. И. О методах расчета надежности работы систем, .одержащих большое число элементов. «Известия АН СССР», ОТН, 1954, № 6. 9.
С а а т н Т. Элементы теории массового обслуживания н ее прилокения. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио», 1965. 10. Гпедеико Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Ыатематические методы в теории надежности. Изд-во «Наука», 1965. Глава 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ $4. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Разным исходам случайного опыта на практике, как правило, приходится придавать различную значимость.
По этой причине целесообразно оценивать исход случайного опыта некоторой случайной величиной. Переход от качественного описания явлений к количественяому' позволяет значительно усилить познавательную ценность применяемых методов и получить ряд новых результатов. Понятге случайной величины вводится в теории вероятностей следующим образом. Случайной называется величина, которая в результат опыта принимает то илииноезначение, какое именно— зависит ог случайных обстоятельств опыта и заранее предсказано быть ие может.
Примерами случайных величин могут быть: 1) число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) число искажений в кодово11 комбинации из и символов при приеме ее по каналу с помехами; 3) число выстрелов до первого попадания в мишень; 4) время безотказной работы электронной лампы и др. В первых трех примерах случайная величина является дискретной, а в последнем — непрерывной.
Множество значений, которое в результате опыта может принять случайная величина, в первом и втором примерах конечно, а в третьем и четвертом бесконечно. Бесконечное множество бывает счетным (т. е. его элементы, как в примере 3, можно пронумеровать) или несчетным (пример 4). Для списания случайной величины нужно указать ее возможные значения. Однако характер случайной величины одним таким перечислением ее возможных значений полностью не определяется.
Необходимо еще знать, насколько часто будут осуществляться одни значения случайной величины и насколько редко — другие, или, что то же самое, насколько вероятно наступление тех или иных зна- хг хг б ггх хг хг .х а/ хг о ха ха хг хг .х х, Таблица ?1.2 Ряд распределения Рис. ?.1. Многоугольник распределения вероятностей (а) и интегральная функция распределения вероятностей 16) дискретной случайной величины. 1 ! 2 чр чр~ ! . )я ной величины может служить любого значения х, указать ности, Табл и ца г.1.1.
Ряд Распределения Хк хг (2.1.1) ЗЗ чений случайной величины. Так, в примере 3 для хорошего стрелка наиболее вероятное число выстрелов до первого попадания равно 1 или 2; у плохого эти цифры могут быть большими. Ссютношение, устанавливающее зависимость между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения этой величины.
Обозначим случзйную величину через Х, ее возможные значения — через хг, а соответствующие им вероятности — через рг. Тогда закон распределения дискретной случайной величины можно задать или графически в виде так называемого многоугольника распределения (рис. 2.1, а), или в виде таблицы (табл. 2.1.1), называемой иногда рядом распределения, или аналитически. Примером аналитического задания закона распределения дискретной случай- формула (1.8.1), позволяющая для соответствующее значение вероят- Заметим, что если и — число различных возможных значений случайной величины Х, то в силу первого следствия теоремы сложения имеем Условие (2.1.1) называют условием нормировки закона распре- деления.
Закон рпспределения представляет собой полную статистическую характеристику случайной величины. Можно предложить и другие способы ее описания, но они будут либо менее исчерпывающими, ?ибо (в смысле полноты) эквивалентными закону распределения. П р и м е р 1. Пусть опыт состоит в бросании симметричной игральной кости. Найти закон распределения вероятностей для числа выпавших очков. Возможными значениями случайной величины являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как события, состоящие в появлении указанного числа очков, равяовозможны, то все искомые б вероятности одинаковы, Из условия нормировки 2',рт — — брт — — 1 г=! находим р; = 1/6, г = 1, 2, ..., б. П р имер 2.
Стрельба в мишень производится до первого попадания. Найти рзд распределения для числа выстрелов, если вероятность попадания равна р. Положив 1 — р = — д, можно составить табл. 2.1.2. Действигельно, вероятность попадания при первом выстреле равна р. Чтобы поражение цели произошло со второго выстрела, необходимо промахнуться прн первом выстреле и попасть при втором. Вероягность такого события по теореме умножения равна г)р и т.
д. й Ъ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие закона распределения, введенное в 3 1, утрачивает смысл для непрерывных величин. Пусть, например, наугад разрезается нить некоторой длины Л. Поскольку точек, в которых может быть (делан разрез, бесконечно много, то вероятность разрезу совпасть иекоторох конкретной точкой оказывается исчезающе малой (равшгй нулю). Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для пгскретных, так и для непрерывных случайных величин, является фт ~ищия распределения. Р (х) = Р(Х «., х). (2.2.
1) 5 3. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ или Функцией распределения или интегральным законом распоеделения вероятностей называется функция Р(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х принимает значения меньше х (т. е. из интервала от — оо до х): Рассмотрим сначала, как строится функция распределения для дискретной случайной величины.
Пусть вероятности отдельных значений заданы графиком рис. 2.1, а. Пока аргумент функции Р(х) остается меньшим или равным х,, функция распределения Р(х), очевидно, равна нулю, так как нет нц одного значения х, которое было бы меньше х,. В точке (х, + 0) функция Р(х) скачком принимает значение р, и остается постоянной в интервале от х, до х,.
Р(х) в точке (х, + 0) скачком возрастает до величины (р«+ р«), так как событие — принять случайной величине значение, меньшее (х, + 0), — распадается на два несовместимых события: принять с вероятностью р1 значение х«и с вероятностью р, значение х,. Аналогичным образом производится построение функции распределения при остальных х (рис, 2.1, б).
Укажем свойства функции распределения: 1) Р( — оо) =- О. Это свойство отражает тот факт, что нет значений случайной величины, которые были бы меньше, чем отрицательная бесконечность, 2) Р(х) — неубывающая функция. Действительно, пусть х, ~ х,. Тогда Р(Х(х») = Р(Х< х«)+Р(х, <Х(х») Р(х»)=Р(х,)+Р(х,с,:Х «,.х»). (2.2.2) Так как вероятность не может быть отрицательной величиной, то из последнего соотношения имеем Р(х,) > Р(х,), х,»х,. 3) Р( оо) = — 1.
Это свойство отражает тот факт, что событие— принять случайной величине значение, меньшее положительной бесконечности, достоверно. До сих пор речь шла о функции распределения дискретных величин. Однако все рассуждения полностью сохраняют свой смысл и для непрерывных случайных величин. Вернемся, в частности, к примеру по разрезанию нити, Если считать, что любые координаты из интервала от 0 до 2'. равновозможны, то вероятность того, что разрез придется на участок от нуля до х будет равна х Л и, следовательно, Р(х) = х ~ Е. В общем случае Р(х) будет представлять собой некоторую функцию более сложного вида, удовлетворяющую указанным выше свой- ствам.
У непрерывной случайной величины функция распределения Р(х) либо непрерывна (рис. 2.2), либо имеет в некоторых точках разрывы первого рода и непрерывные участки возрастания функции. Всякая функция распределе- 20 ния обладает еще одним свойством, игракхцим особую роль для непрерывных случайных величин. 4) Вероятность попадания случайной величины на интервал от х, до х, равна разности функции распределения в этих точках. Чтебы убедиться в этом, достаточно переписать равенство д (2.2.2) иначе: Рис.
2.2. Функция распределения Р (х«( Х ( х») = Р(ха) — Р(ха) нелрерыаной случайной величины. (2.2.3) Это свойст»о остается в силе и тогда, когда случайная величина является дискретной или дискретно-непрерывной, но при этом необходимо иметь в виду, что под словом «интервал» здесь подразумевается участок, включающий в себя крайнюю левую точку н не включающхй правую. Поста»ям задачу — найти такую характеристику непрерывной случайной величины, которая позволяла бы судить, насколько одно значение случайной величины более вероятно (или менее вероятно), чем другие. Напомним, что такой характеристикой для дискретных случачных величин является закон распределения.
Ввиду того, что вероятность какого-либо конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю, рассмотрим малый интервал, включающий в себя интересующее значение х, и затем устремим длину этого интервала к нулю. Итак, густь задано то нли иное значение х. Возьмем некоторое Ах. Предполагая, что функция Р(х) днффереицнруема и применяя к правой части выражения (2.2.3) теорему Лагранжа, имеем Р(х С Х(х+Ьх).=Р'(х+Обх)бх. (2.3.!) ;1десь штрих означает символ дифференцирования, 0 — число, заключенное между нулем и единицей. При заданном Ьх вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал от х до х + с»х тем больше, чем больше г' в точке (х+ ОЛх). Таким образом г" может служить искомой характеристикой. Однако пока эта характеристика не является вполне определенной, так как ее аргумент зависит от произвольно назначаемого Лх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
