В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Учитывая органическую связь, существующую между относительной частотой события т и его вероятностью р, а также то, что относительная частота есть неотрицательная величина, ие превосходящая единицы, следует считать, что вероятность р(А) некоторого события А удовлетворяет тем же ограничениям, т. е. (!. 2.!) 0 ..: р(А) (1, Событие, вероятность которого равна единице, называется достоверным, а событие с нулевой вероятностью — невозможнйм.
Следует иметь в виду, что понятия достоверного и невозможного событий в теории вероятностей несколько шире общепринятых. Хотя событие, имеющее вероятность, равную единице, происходит практически всегда, но в принципе не исключено, что при каком-то частном испытании оно не наступит. Аналогично не исключается принципиальная возможность появления события с нулевой вероятностью.
Например, вероятность человеку прожить точно 5 лет, 3 дня, 5 часов и 20 секунд равна нулю, но тем не менее такое событие возможно. Выше было сформулировано так называемое статистическое определение вероятности. При всей своей практической значимости оио имеет тот недостаток, что не дает указаний к вычислению вероятности некоторого события иначе как путем статистических испытаний. Познакомимся теперь с так называемым классическим определением вероятности.
В любой научной теории, в том числе и втеориивероятностей, существует некоторое число изначальных истин, которые нельзя путем логических рассуждений свести к еще более элементарным истинам. Если практика или специально поставленные эксперименты подтверждают их справедливость, то они принимаются без каких-либо дополнительных теоретических выкладок„т. е. как аксиомы. По существу так были введены статистическое определение вероятности г соотношение (1.2.1), которому она подчиняется. Аналогично обстоит дело с классическим определением вероятности, которое опграется на понятие равновозможных событий, вводимое без доказательств.
Классическое определение допускает непосредственный пьдсчет щ !кьттностей и позволяет придать доказательный характер основным формулам теории. Правда, ситуация равновозможности нескольких событий является относительно редко реализуемой, н и обп:еп случае указанные формулы вгс равно приходится вводить аксноматичч кп. Несксопьо событий называются равновозможпымк если условия опыта налагают на пт ноянтение одинаковые ограничения, Д 4ЗгГ и, следовательно, нет причин, по которым олпо из rит могло бы появляться чаще, чем всякое друюе йз событий рассматриваемого множества. Примерами равновозможных событий мсгут быть: 1) выпаденйе Т, 2, 3, 4, Г нлй 6 очков при бросании симмет- Рис.
$.н мишень. ричной нг)альной кости; 2) обрыв какой- нибудь сгицы квполне симметричного» велосипедного колеса; 3) фазисе или противофазное включение наугад двух обмоток трансформгтора и др. Введем еще два понятия. Н б Р К ЩУЯ~ЮИР. из них не могут произойти при одном и том же испытании вместе. Несколько событий называются составляющими полн ю гр пп если в рез'льтате испытания обязательно происходит котя ы одно из них. Пусть го мишени (рис. 1.1) производится однократный выстрел. Обозначим через А событие — количество выбитых очков не более трех (т. е.
О, 1, 2 или 3), а через  — количество выбитых очков более трех (т. е. 4 или 5). Нетрудно видеть, что события А в В являются не:овместимыии и составляют полную группу, поскольку в результгге выстрела обязательно происходит либо событие А, либо собьпие В. Событие А — выбито не более трех очков, к событие С вЂ” забито не менее трех очков (т, е. 3, 4 или 5), также составляют полную группу, однако в отличие от событий А и В являются совместямнмн, поскольку получение в результате выстрела ровно трех очкоь означает одновременное наступление как собьггия А, так и соби гия С. И, наконец, событие Р— выбито не более двух очков (т. е 0,1 или 2), и событие  — выбито более трех очков, являются не:овместимыми и не составляют полной группы, тзк как при одинозном выстреле не охватывают всех возможных результатов (а именно, выбивание ровно трех очков).
Рассмотрим опыт с >»' равновозможнымн исходами, которые несовместимы и составляют полную группу". Пусть и из них влекут за собой событие А (благоприятствуют событию А). Иначе говоря, событие А распадается на п частных случаев. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу возможных исходов (1.2.2) р(А)= л, О>,ределенную таким образом вероятность можно легко вычислить без проведения испытаний. П р и м е р 1. Найдем вероятность того, что при бросании симметричной игральной кости число выпавших очков будет нечетным. Интересующее нас событие А — нечетное число выпавших очков, распадается на три частных случая: выпало одно, три илн пять очков. Прн этом все они входят в полную группу нз 6 равно- возможных, несовместимых событий.
Следовательно, р(А) = аг 1/а П р и м е р 2. В партии из >ч> изделий М бракованных. Наудачу выбирают и изделий из этой партии (п с. >»). Чему равна вероятность того, что среди них окажутся т бракованных (т < М)? Общее число возможных выборов из >»' изделий по и равно числу сочетаний из >»' элементов по >и >у! С" = >у (м — и)! и.' Число возможных выборов т бракованных изделий из общего числа М равно См.
Поэтому число комбинаций, влючаюших в себя ровно т бракованных изделий, равно числу сочетаний из М по т, умноженному на число сочетаний из (% — М) небракованных изделий по (п — т). Таким образом, в соответствии с классическим определением вероятности получим (1.2.3) "и Классическое определение не снимает вопроса о соотношении между вероятностью и его относительной частотой, однако многочисленные эксперименты подтверждают, что относительная частота собьпий в схеме случаев группируется вокрут величины л/>х~.
В этом и заключена реальная ценность классического определения. Понятие равновозможности событий применяется к опытам с бесконечным числом исходов. Типовой может служить следующая * Полную группу равиовозможных, несовместимых событий называют схемой случаев пан схемой урн, задача. В обласгь 6 наугад бросается «точка» Я. Какова вероятность того, что гочка Я попадет в область д, являющуюся частью Хотя каждое из множеств 6 и д содержит бесчисленное множество точек, естественно считать, что «вместимосты> множества 6 больше и притом во стохько раз, во сколько площадь 5о области 6 превосходит площадь э» области д.
Исходя из равновозможности всех рассматриваемьм вариантов, естественно считать, что искомая В общем слу>ис множества 6 н д могут иметь другую размерность (длины -- и од>к>мерном случае, объема — в трехмерном и т. д.), по приведенная формула сохраняет свой смысл, с той только разницей, что множества в об- Рис.
ЪЗ. Реавертна осцивпог- рафа. Рис. «.2. Определение геометрических веров»- ногтей. щем случае оцениваются так называемой мерой (длиной, пло- шадью, объемоя). Таким образом, в общем случае фо м ла п и- нимает вид: р (А) Ра (1.2А) виду явною геометрического смысла вероятности вида (1 2 а) называют также геометрическими.
П р и м е р. Пусть Т вЂ” полный период развертки осциллографа и Л вЂ” е,о часть, которую занимает обратный ход. Какова вероятность то:о, что импульс, длительность которого пренебрежимо мала, появится во время обратного хода развертки (рнс. 1.3), если считать, гго все моменты появления импульса за период Т равновозможны Очевидно, р(А) = га>Т. ,5 3. СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ В примененаях теории вероятностей часто возникает необходимость выразит1 вероятность некоторого сложного события через вероятности составляющих его событий.
Например, вероятность безотказной рабозь> самолета в течение некоторого промежутка вреотдель меня целесообразно выразить через ве)>оятности безотказно р б й а оты (>ам «чэегпт0в»ДГд 1>(эзвол~>т часть летных испытаний 2 д д дта Рис К5. Геометрическая интерпретация суммы двух совместимых событий. Рнс. 5Л. Геомвтрическая интерпретация суммы двух несовместимых событий. самолета заменить стендовыми испытаниями агрегатов. Существуют и другие ситуации, требующие усложнения применявшихся до сих пор методов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
