В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 8
Текст из файла (страница 8)
вероятность того, что произведение ХУ прио рнмет значение х»уо по теореме умножения равна р»уо По фо м ле (2.4.2) найдем и ою тт м М(ХУ)= Х Хх»у»Р,Ч =~'зх,Р„ИХ УЛ =М(Х)М Методом математической индукции эта теорема обобщается на случай нескольких величин. В заключение введем понятие центрированной случайной величины. Случайная величина называется центонподандцй, если ее значения отсчитываются относительно математического ожидания. Для центрированной случайной величины применяется обозначение Х. Таким образом, Х= Х вЂ” М(Х). (2.4.10) Среднее значение центрированной случайной величины, очевидно, равно нулю. Действительно, М (Х) = М(Х) — М [М (Х)[ = М(Х) — М(Х) .= О.
(2 4 11) Е Е. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСПЕРСИЯ ', = ~ч', (х,. — )2р, (2.5.1) а дисперсия непрерывной случайной величины — формулой о2 = ~ (х — гл„)' К(х) ~(х. — СО (2.5.2) Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. В связи с этим часто пользуются еще одной характеристикой рассеяния — средним квадратичным отклоиеннем случайной величины, которое определяется как квадратный корень из дисперсии.
Среднее квадратичное отклонение (СКО) обозначается через а и имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины. Пусть случайная величина принимает только два значения: единицу с вероятностью р и нуль с вероятностью о †: 1 — р. Чему Имеются задачи, достаточно полный ответ на которые дает знание только среднего значения случайной величины. Если, например, перегорает осветительная лампа, то обычно это не приводит к каким- нибудь тяжелым последствиям. Заменив ее второй, потом третьей н т.
д„интересуются обычно только тем, сколько лампа служит в среднем. Если же элемент является ответственным, то целесообразно предупредить последствия, заменив его несколько раныпе ожидаемого выхода из строя. Однако для этого необходимо знать, насколько велик разброс времени безотказной работы относительно его среднего значения. Другим аналогичным примером могут служить артиллерийские стрельбы.
Может оказаться, что математические ожидания двух стрельб совпадают, но в одном из этих случаев стрельба будет кучной, а в другом — чрезмерно рассеянной. В качестве меры рассеяния случайной величины в теории вероятностей вводится специальная характеристика — дисперсия. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины, Дисперсия слуЧайНОй ВЕЛИЧИНЫ ОбОЗНаЧаЕтея ЧЕРЕЗ Оз [ИНОГда ЕЕ ОбаэяаЧаЮт хИ(Х) ).
Согласно определению и формулам (2.4.4) и (2.4.7), дисперсия дискретной случайной величины определяется выражением равна диспеисия случайной величины? Согласно (2.4.3) математическое ожидание рассматриваемой случайной величины равно р. Поэтому по формуле (2.5.1) получим а'= — (1 — р)'р+(Π— р)'(1 — р) = р(1 — р)=ру, (2.5,3) Видно, что дчсперсия максимальна при р =- 4 = 272. Пользуясь формулами (2.5.1) и (2.5.2), нетрудно убедиться, что дисперсия случайной величины У = СХ, где С вЂ” постоянная, равна: ох = Си а„. 2 2 (2.5.4) Следователью, постоянный множитель можно выносить за знакдисперсии, возведя его в квадрат.
Приведем выражение, устанавливающее связь дисперсии с математическим ожиданием нецентрированной случайной величины. Используя порему о математическом ожидании суммы, найдем а', = М [(Х вЂ” т,)2) = М (Х' — 2т, Х+ т ) ) =- = М (Х') — 2т, М (Х) + т„' а2 — М (Хи) т2. (2,5.5) Формулой (".5.5) часто пользуются при вычислении дисперсии. Весьма полезным является соотношение, связывающее дисперсию суммы сдисперсиями слагаемых. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме их дисперсий; 2 2 2 ам~2,~ = а„+ а„.
(2.5.6) Докажем формулу (2.5.6). В соответствии с определением а~„~ю = М [(Х~У вЂ” М (Х ~ У) )'] = М [(Х вЂ” т, ~ У 1- тт)') = =М(Х')+М(У') ~- 2М(ХУ). Так как Х и У независимы, то М(ХУ) = М(Х)М(У). Но математическое ожидание любой центрированной величины равно нулю, т. е. М(Х) =М(У) = — О. Поэтому 2 2 2 амь 1= о,+ а,„ Отметим, что в отличие от математического ожидания дисперсия р;юности независимых случайных величин равна сумме, а не разности дисперсий слагаемых.
Рассмотрим пример. Пусть производится Л' независимых изьн рений некоторой физической величины. Результат х~ каждого (2.6.1) (р»!+»)» — ~ С» ро»!» — » о» (2.6.2) (2,5.10) (2. 5, 11) ~"" Ро !1»-» »=о (2.6.3) моментов (2.5.12) (2.5.13) (2.6.4) измерения можно рассматривать как случайную величину с мате- матическим ожиданием т и дисперсией о'. Требуется найти мате- матическое ожидание т„ и дисперсию о„ среднего арифметического результатов измерений Х = — (к,+х,+ ...
+хл») = — ~ х!. (2.5.7) ! 1 »=! Пользуясь свойствами математического ожидания (2,4,5) н (2.4.8), получим т„= М(Х) = т. (2.5.8) При вычислении дисперсии случайной величины Х нужно к центрированной случайной величине 1 1 т» Х = д (х,+к,+ ... +кл) = —,~ х; 1=! применить формулы (2.5.4) и (2.5.6). В результате получим о„= о'/№ (2.5.9) Следовательно, дисперсия среднего арифметического Л» взаимно независимых одинаковых случайных величин в Ж раз меньше дисперсии каждой из величин. Более общими числовыми характеристиками, чем математическое ожидание и дисперсия, являются моменты случайной величины. Различают начальные и центральные моменты, Начальным моментом л-го порядка случайной величины называется математическое ожидание я-й степени случайной величины.
Центральным моментом л-го порядка называется математическое ожидание й-й степени от центрированной случайной величины. По определению для начального момента л-го порядка дискретной и непрерывной величин можем написать соответственно формулы: М (Х") = ~ х»~р», »=! М(Х') = т„= ) х'%'(х)»(х. лл Аналогично записываются формулы для центральных л-го порядка: л М(Х») =,Х (х! — т )орь »=! лл М (Х') = Р, = ~ (х — т„)' У (х)»(х, — Ол Согласно приведенным определениям математическое ожидание случайной величины представляет собой начальный момент первого порядка, а»!исперсня — центральный момент второго порядка. формулы (2.5.10) — (2.5,13) позволяют выразить центральные моменты через начальные, и наоборот.
Зная плотюсть вероятности случайной величины или ее закон распределения, можно по формулам (2.5.10) — (2.5.13) найти момент любого порядка. Оказывается, можно решить также и обратную задачу. Для тэго чтобы по моментам определить закон распределения днскретяюй случайной величины, принимающей и значений, достаточно зн!ть и первых (низшнх) моментов.
Для точного определения плотности вероятности непрерывной величины необходимо, вообще говорю, бесчисленное множество моментов. Е 6. БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К бнномнальному закону приводит чрезвычайно распространенная задача повторения опытов. Если вероятность некоторого события А равна р, то вероятность Р„(й) того, что событие А при и опытах появится й раз определяется формулой (1.8.1) и равна С„"ро!7» — ", где 7 = 1 — р, Распределение, общий член которого равен называется бвномиальным. Такое название связано с тем, что ве- роятности Рл(7») можно рассматривать как коэффициенты при и-й степени разложения бинома (ро + д)л в ряд по степеням вспомо- гательной величины ьз Полагая зформуле (2.6.2) а =- 1„получаем условие нормировки бнномиальнокз распределения Вычислим математическое ожидание М(й) числа появлений сонь!тия А пря и испытаниях.
Для этого продифференцируем обе части равенства (2.6.2) по о. В результате получим пр (ро 1 г)л — ! — ~~~ ь~~ ро д» вЂ” о оо — ! »=о Положив о=-1, найдем и ир=-,2„' йри(й) = М(й). (2.6.5) а=о Следовательно, математическое ожидание равняется ир. Этот результат можно было предсказать заранее из физических соображений. Ри/ят цю 04 цз дт Р у г з Рис. 2.6. Биномиальный закон распределения веро- ятностей дискретной случайной величины. В качестве одного из приложений биномиального закона рассмотрим задачу о случайных блужданиях. Пусть частица, имеющая возможность перемещаться лишь вдоль оси Х (рис. 2.7), испытывает случайные толчки. В результате каждого толчка частица перемещается либо на единицу масштаба влево, либо на единицу масштаба вправо. Считается, что каждый из таких шагов происходит совершеннэ независимо от других, причем ве- Ф роятность того, что не- . т ремещение произойдет г т р т г л на шаг вправо, равна р, л-т а на шаг в противоположном направлении Рис.
2.7. Случайное блуждание частицы. равна и = 1 — р, После и шагов частица, находящаяся первоначально в начале отсчета, может оказаться в одной из точек: — и, — и + 1, ..., — 1, О, 1, ..., и — 1, и. Ставится задача — найти вероятность Р„(т) того, что после и шагов частица окажется в точке т. Обозначим через й число шагов, которые совершила частица вправо. Тогда число шагов, сделанных влево, равно (й — т) (см.
рис. 2.7). Учитывая, что общее число шагов равно и, т. е. Умножим обе части равенства (2.6.4) па о и вновь продифференцируем по и полученное произведение. Тогда придем к равенствам: и при (ро+ Я" — ' = ~ Й С, р' т)и — а оа, а=а 1) ря о(ро+д)и — з+ ир(рп+ Р)и 1 =,Я йв С„ряс)"" оа а=о Положив и=1, получим и и и(и — 1) р'+ир =-= ~л йЯСи ради а == ~.
й'Р„(й) = М(йз). а=-о а=а Отсюда по формуле (2.5.5) определяем дисперсию числа появлений события А при и испытаниях: оа = М (Лв) — МЯ (й) =иртг, (2.6.6) Как следует из полученных формул, отношение среднего квадратичного отклонения числа й появлений события А к математическому ожиданию обратно пропорционально квадратному корню из и. Иными словами, с увеличением числа опытов относительное рассеяние величины /а уменьшается, в то время как абсолютное — увеличивается. Примеры биномиального распределения приведены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
