В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рассмотрим те взаимоотношения, которые могут возникать между отдельными событиями. Суммой двух событий А и В называется такое третье событие С, которое состоит в наступлении или события А, или события В, или в наступлении обоих событий А и В. Для обозначения суммы событий применяется запись С = А + В. П р и м е р 1. Пусть обнаружение воздушной цели производится двумя радиолокационными станциями. Обозначим через А обнаружение цели первой станцией, через  — обнаружение цели второй станцией. Тогда С = А +  — событие, состоящее в обнаружении цели хотя бы одной станцией ( т. е.
или первой, или второй, или и первой, и второй). П р н м е р 2. Оборудование для посадки самолетов при помощи радиосредств состоит из двух основных частей: курсовой системы и глиссадной системы. Пусть А — выход из строя курсовой системы,  — выход из строя глиссадной системы. Тогда С =- = А +  — отказ системы посадки, независимо от того, чем он обусловлен (или отказом только курсовой системьь или отказом лишь глиссадной системы, или по причине <и'каза как курсовой, так и глиссадной систем вместе). Произведением двух событий А и В называется такое третье событие С, которое состоит в осуществлении и события А, и события В. Для обозначения произведения событий применяется обычная запись С. = АВ.
П р и м е р 1, По мишени производится два выстрела. Пусть событие А — поражение мишени при первом выстреле,  — поражение мишени при втором выстреле. Тогда А — поражение мишени двумя выстрелами. П р и м е р 2. Пусть А — безотказная работа приемника, В— безотказная работа передатчика. Тогда А — безотказная работа приемопередатчика. Понятая суммы и произведения событий допускают простое геометрическое истолкование. Предположим, что событию А соответствует пояадание случайно брошенной сточкнв в область А, а событию  — йопадание в область В.
Тогда соТытию А + В соответствует д попадания в область, которая отмечена на 1ис. 1.4 и 1.5 штриховкой. При этом на рис. 1.4 представлен случай, иогда событии А и В несовместимы, а иа рис 1.5 — случай совместимых событий А и В. Произ- дЕ ведение двух событий также может рн быт нс.
т.б. Геометрическая ин- ь инзерпретироваио геометриче- терпретация ски. На рис. 1.6 заштрихована об- двух событий. ласть исходов, соответствующая рисунка видно, что понятие произведению событий АВ, Из этого рисунка видно, произведсмия событий-теряет свой смысл если он , если онн несовместимы. $4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть А и В представляют собой несовместимые исходы одного и того жс опыта. Для таких событий имеет место след юща я теоТеоревта сложения. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: р(А+В)=р(А) 1 р(В) (1.4А) Доказательство теоремы можно провести только чаев.
П сть об ько для схемы слуопыта азн у щее число равновозможных несовместимых р о тт1, причем и из них благоприятствуют событию А, а м х исходов т — событию В, так что р(А) = и/)т( и р(В) = тт)т(. Так как события А н В совместно не осуществляются, то их сумме (А + В) благоприятствуют все (л + т) событий. Поэтому согласно классическом определению вероятности получим ассическому и-Рпт и пт р(А-1-В) = = —, + — = р(А)+р(В). Отметим, что когда вероятностная ситуация не сво водится к схеме тельства). уча, георема сложения принимается за аксиому б у ' ез доказаУкажем на два обобщения теоремы сложения.
Во-пе расппост няется на с я. о-первых, она р рн я на случай нескольких событий, а именно, если события (, В, С,... несовместимы, то р(А+В+С+...) = р(А)+р(В)+р(С)+... (1А.2) 49 Докажем это для случая трех событий. Пусть события А, В и С несовместимы. Тогда р (А+В+С) =р ((А+В)+С) =р (А+В)+ р(С). Но р(А+В) =-р(А)+р(В). Следовательно, р(А+В+С) = р(А)+р(В)+р(С).
Второе обобщение распространяет теорему на случай совместимых событий. Предположим, что события А и В совместимы (рис, 1.5). Из рис. 1.5 непосредственно следует, что событие А + В можно представить в следующем виде: А+В =-А+  — АВ. Согласно формуле (1А.2) имеем р (А+ В) = р (А)+ р (В) — р (АВ). (1.4А) р(А,)+р(А,)+... +Р(А„) =1. (1.4.5) Два несовместимых события, составляющих полную группу, называются противоположными.
Примерами противоположных событий могут служить: попадание в мишень и промах, выпадение четного и нечетного числа очков при бросании игральной кости и т. д. Событие, противоположное А, обозначается через А (читается «не А»). В применении к противоположным событиям формула (1.4.5) приобретает вид р(А)+р(А) =!. (1А.б) Этот результат принято формулировать в виде специального следствия теоремы сложения. Следствие 2.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. 20 Докажем теперь два следствия теоремы сложения. Следствие 1, Сумма вероятностей несовместимых событий, составляющих полную группу, равна единице. Пусть события А„А„..„А„несовместимы и составляют полную группу, Запишем для нйх теорему сложения: р(А,)+р(А,)+...+Р(А,)=р(А,+А,+...+А„). Но событие А, + А, +...+А„достоверно, так как оно осуществляется при каждом испытании, и вероятность его равна единице.
Следовательно, В закдючение рассмотрим пример. Из урны, в которой находятся 3 к)асных шара, 2 белых н 5 зеленых, наугад вынимается один шар. Чему равна вероятность того, что вынутый шар не белый? Из трех событий: А — вынутый шар красный,  — вынутый шар бельй и С вЂ” вынутый шар зеленый, событию Р— вынутый шар не белый, благоприятствуют два события: А и С, т. е. Р =- = А + С. Поэтому в соответствии с (1.4.1) получим Р(Р) =Р(А)+Р(С)= 1о + ш = 1б ° 3 5 8 Даннум задачу можно решить и другим способом. Заметим, что события Э н В являются противоположными, т. е. Р = В. Используя хторое следствие теоремы сложения, найдем р(Р)=1-р(В) =1 — — = —, 2 8 $5.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Нескспько событий могут находиться между собой в таких взаимоотношениях, что вероятность одного из них зависит от осуществления др~гих. В связи с этим введем следующие определения. Собыие А называется статистически зависимым от событий Вы В„..., В„если вероятность события А зависит от того, осуществились с»бытия Вы В„..., В, или нет.
Если же вероятность А не связана с осуществлением событий „„..., Вл, то событие А называется статистически независимым от событий Вы В,,, Вл. Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошли события „„..., В„называетсяумовнной н обозначается через р(1 ~Вы В„..., В„).
Если же прн вычислении вероятности события А события В„В,, ..., Вл во внимание не принимаются, то вероятность р(А) называется безусо~вдпй. Согласно определению собйтие А статистически зависиг от события В, если р(А ~В)чьр(А). Если же р(А )В) = р(А), го А не зависит ат В*. Отмен«м, кстати, что факт зависимости или независимости можно обычко установить без вычисления соответствующих вероятностей, хсходя из смысла рассматриваемого явления. Например, вероятность безотказной работы передатчика не зависит от исправности приемника, находящегося на другом конце радиолинни (и наобо)от). Однако зависимость будет наблюдаться, если приемник 8 гриведениых определениях слово «статистически» иногда опускав«- «в, но ре~ь идет именно о статистической закономерности,проивлнющейсн в гом, что событии В влияет иа событие А в большом числе опытов, и»манин относител ную частоту его появления.
р(С)=р(А) р(В)=-0,8 0,9=0,72. (А~В) р(АВ) р (и) (1.5.3) 2 к Рис, т.а. Параллельное соединение элементов в систему. 23 22 н передатчик входят в комплект одной радиостанции с общим источником питания. Перейдем теперь непосредственно к теореме умножения. Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного нз них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое: р(АВ)=р(А) р(В1А)=р(В) р(А(В). ' (1.5.1) Доказательство теоремы проведем для схемы случаев. Пусть общее число равновозможных исходов опыта равно Л/, причем событию А благоприятствуют й исходов, событию  — 1 исходов, событию А — т исходов Е-В (рис.
1.7). в ю~ю т~* у ир р~в~яь в ю л д произошло„то общее число равповозможных исходов равно й. Из них событию В благоприятствуют тп исходов. Следовательно, р(В ~ А) = и//г. Но Рис. Еу. К доказательству теоремы Лт/Л = (Лт/П)/(Й/П), т, Е. умножения. р(В~А) = Р-( ), (1.5.2) р(А) ' что и доказывает первую часть формулы (1.5.1). Аналогичным образом можно показать, что Когда имеется несколько зависимых событий А,, А,, ..., А„, формула (1.5.1) принимает вид Р(АтАв... Ал) =- =р (Ат) р (Ав / А) р(Ав ~ А, А) ... р(А„~ Ат А, ... А,,). (1.5 4) В общем случае, когда ситуация равновозможности не имеет места, теорема умножения принимается без доказательства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
