В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Чтобы устранить эту неопределенность, перейдем в (2.3.1) к пределу при Лх ~0. Получим с)1'= Г' (х) с(х. у т р(х,-:..Х(х,)=-~(х,) — Г(х)==-~ ~'(х)( (234) ят 36 Функция г'(х) имеет специальное название плотности вероятности. Введем для нее обозначение (Т'(х): В' (х) =- — —. (2.3.3) Учитывая смысл функции г'(х), на основании (2,3.3) можно дать следующее определение. Плотностью вероятности случайной ве- личины называется такая ьу(г) функция яУ(х), которая, будучи умноженной на малую величину Лх, дает вероятность попадания случайной ( величины в интервал от х до а г г х+Лх.
П р и и е р. На вход осРис. 2.2. Равномерная плотность веро- циллографа с длительностью ятности. р~~~~р~~~ Т в слу~~й~~~ мо- менты времени поступает узкий импульс засвета. Найти плотность вероятности для координаты точки засвета, если моменты прихода импульса по отношению к началу развертки равновероятны, а временем обратного хода можно пренебречь. Вероятность прихода импульса в интервал времени от нуля до 1 пропорциональна 1 и равна 11Т.
Следовательно, г'(1) = ЦТ. По формуле (2.3.3) найдем Ф'(1) = — о — — — — — сопз(, 0 (1 мы. Плотность вероятности )Р(г) равномерна на интервале (О, Т); она изображена на рис. 2.3. Укажем свойства плотности вероятности. 1. Плотность вероятности неотрицательна. Действительно, плотность вероятности В'(х) является производной функции распределения Г(х), которая не убывает ни при каких х. Следовательно, )т'(х) не может быть отрицательной. 2.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (х,, х,) равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах: х Здесь псследнее равенство получено путем интегрирования обеих частей соотношения (2.3.3). Графически искомую вероятность можно интерпретировать как площадь, заключенную между кривой )Р(х) и осью абсцисс в пределах от х, до х, (рис. 2.4). 3. Интеграл от плотности вероятности, взятый в бесконечных пределах, равен единице.
Действительно, из (2.3.3) находим Ь'~ф )Т(х) т(х=Р(оо)— — Т ( — оо) — -- 1 — 0=1. (2.3.5) По существу это свойство является следствием того, что значения случайной величины хг ,г достоверно заключены в пре- Рис. 2ии Определение вероятности по- делах от — оо до + оо.
падания непрерывной случайной вели- Условие (2,3.5) называет- инны в интервал (х(, хя). ся условием нормировки плотности вероятности. Из (2.3.5) следует, что 1Тг(х) имеет размерность, обратную размерности х. Заметим, что постоянную величину а = сопз( можно рассматривать как частный случай случайной величины Х, принимающей с вероятностью р = 1 одно единственное значение х = а. Поэтому плотность вероятности постоянной величины можно формально записать в виде %' (х) = 5 (х — а), (2.3.6) где 6(г) — дельта-функция, определенная соотношением (П.1). в 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В некоторых приложениях полное описание случайной величины при помощи закона распределения может быть заменено более грубым, но зато и более удобным указанием отдельных параметров (чучеловых характеристик) этого распределения.
Наиболее простыми н важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. 1т1атемагическое ожидание случайной величины Х является вероятностным обобщением понятия среднего арифметического. !1усть адик н тот же опыт воспроизводится в неизменных условиях (у' раз, и пои этом случайная величина уп, раз приняла значение х,, щ, раз приняла значение х,, ..., и„ раз приняла значение х„, где ай + тя + ... + т„= Л(. 37 Таоли ца 2,4.1 Рвд распределения «„ «г «и Рп о («т) ч) («,) т («е) у («„) (2А.1) м(сх) =см(х). (2.4.5) М (Х) = ) х'те' (х) с1«. (2А.6) ЭВ Найдем среднее арифметическое М»г(Х) значений случайной величины Х в произведенных )у' опытах: т, «,+тв«в+...+т„х„т,, тв,, т„ »г т =-- х,—;-+ х,у т ... +хв — "-.
В достаточно длинной серии испытаний относительные частоты т,/)т(, т»У)т(, ..., т„(йг событий, состоящих соответственно в том, что случайная величина принимает значения х„х„..., х„группируются около вероятностей п(х,), Р(х,), ..., р (х„) этих значений. Следовательно, среднее арифметическое значение случайной величины в достаточно длинной серии опытов будет группироваться вокруг величины М(Х) ==х,р(ха)+хеп(хе) +...+ х„п(х„), которая называется средним значением илн математическим ожиданием случайной величины. Математическое ожидание случайной величины Х часто обозначают через т„. Итак„математическим ожиданием случайной величины называется значение, около которого группируются в опытах достаточной длины средние арифметические ее наблюдаемых значений. При этом слово «группируются» следует понимать в том же смысле, в каком оно употреблялось в отношении относительных частот событий, которые группируются при больших Лг вокруг соответствующих вероятностей.
Это значит, что сколько-нибудь существенные отклонения среднего арифметического значений случайной величины в )»1 опытах от математического ожидания при достаточно больших Лт будут случаться достаточно редко. Формулу (2,4.1) далее будем записывать в виде М(Х)=т«=- ч'.т хг Р(х;). (2А.2) г=з Из (2.4.2) видно, что математическое ожидание имеет размерность исходной случайной величины, Рассмотрим пример.
Предположим, что случайная величина принимает только два значения: единицу с вероятностью р и нуль с вероятностью (1 — р). Чему равно среднее значение случайной величины? По формуле (2.4.2) находим м (х)=1. р+о.(1 — р); р. (2.4.3) В ряде практических задач бывает необходимо знать математическое ожидание некоторой детерминированной функции случайной величины гр(х).
Очевидно, что функция от случайной величины гр(Х) представляет случайную величину, причем конкретное значение функции ф(хг) осуществляется тогда, когда случайная величина Х принимает конкретное значение хг (табл. 2.4.1). Исходя из формулы (2.4.2) и имея в виду табл. 2.4.1, можно непосредственно найти М(~р(Х)) = ~~~ ьр(х;) р(х;), (2.4.4) Полагая в этой формуле гр(Х) = СХ, где С вЂ” постоянная, получим Следовательно, математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную равно произведению постоянной на математическое ожидание случайной величины.
ьу(х! Если случайная величина Х является непрерывной, то можно привести аналогичные рассуждения, рассматривая непрерывную величину как предельный случай дискретной. Разобьем интервал при- «в х;гг х нимаемых случайной вели- ЧИНОЙ Зиаясннй На НЕПЕРЕ- Рис, 2,$. К выводу формулы длв матекривающиеся отрезки доста- магического ожидание непрерывной точно ' малой длины Лхт случайной величины. (рис. 2.5). В качестве значений дискретной случайной величины примем значения непрерывной сл)чайной величины в средних точках соответствующих интервалов Лхр Вероятность попадания случайной величины в интервал от хг до х;+ Лхг равна (р(хг+'!еЛ«т)Л«г. Для математического ожидания построенной таким образом дискретной случайной величины получим значение ,'~ хЩ«, + ь)»Лху)Л«ь Переходя к »со пределу прп Лх; .и О, для непрерывной случайной величины най- дем Эта формула принимается за определение математического ожидания непрерывной случайной величины.
Формуле (2.4.6) можно дать следующую механическую интерпретацию. Рассмотрим стержень (вообще говоря, бесконечной длины), масса которого меняется по длине пропорционально Ф'(х). Тогда М(Х) дает координату центра тяжести этого стержня. Вычислим среднее значение непрерывной случайной величины, имеющей на отрезке (а, Ь) равномерное распределение.
Учитывая, что плотность вероятности на интервале (а, Ь) постоянна (А(х) == = )У» — сапа(, а вне его равна нулю, из условия нормировки найдем СО в %'(х) сМх = ~ В'» с(х=(Ь вЂ” а) %',=1; В',=1/(Ь вЂ” а). — 'ОЗ О Поэтому М (ср (Х)) = ) юр (х) ЪГ(х)с(х. — ОЭ (2,4.7) При этом размерность М(у(Х)) совпадает с размерностью р(Х). Довольно часто приходится встречаться с суммой (разностью) и произведением случайных величин. Приведем теоремы для математического ожидания суммы и произведения случайных величин. Теорема 1.
Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий: М(Х~У)=М(Х) ~ М(1'). (2.4.8) Для упрощения вывода предположим, что каждая из случайных величин Х н У имеет лишь два возможных значения: х„х» с вероятнастями р,, р, и у„у, с вероятностями д, и у,. При этом возможными значениями величины Х -~- У будут х» ~ уы х» ~: уз х» ~ у» х, ~ у,. Обозначим вероятности этих значений соответственно через рьо р„„рхп р„. ь М(Х)= ) ~~ д х ' 2(» — а) 2 'О Таким образом, математическое ожидание М(Х) совпадает с серединой отрезка. Воспользовавшись плотностью вероятности постоянной величины (2.3.6), нз формулы (2 4.6) получим, что среднее значение постоянной величины равно этой постоянной, Рассуждения, аналогичные техн которые применялись при получении из (2.4.2) формулы (2.4.6), можно применить и к формуле (2.4.4).
Тогда получим следующее выражение для математического ожидания функции от непрерывной случайной величины: Из определения,''математического ожидания (2.4.2) имеем М(Х ~ У)= (х» ~ у») ры+(х, ~ уз) р„+(х, ~ у,) р„+(х, + у») р»» или М(Х~:~ ) = х»(Р»»+Р»»)+х» (Р»»+Р»») ~ У» (Рг»+Р»») ~ Уа (Ры+Р»а). Покажем, что р„+ р„= р,. Событие, состоящее в том, что Х примет значение х, (нероятность этого события равна р,), влечет за собой событие, которое состоит в том, что Х ~ У прйм т з чени е е х, ~ у, или х, ~ у, (вероятность этого события по теореме сложения равна р„ + р„), и обратно.
Отсюда следует, что р, + р„'= р,. Аналогично доказываются равенства р„ + р„ = = р„ рм + р„ = д„ р»з + р„ = д,. С учетом этих равенств получим формулу (2.4.8): М (Х -~ У) =х» р + х, р, * (у» д»+у» д») = М (Х) ~ М (У). Аналогичным образом формула (2.4.8) доказывается для суммы числом (разности) двух случайных величин не толька с двумя, а с б л о возможных значений, а также для суммы (разности) нескольких случайных величин. Теорема 2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и 1' равно произведению их математических ожиданий, т. е.
если Х и 1' независимы, то М(Х~ ) = М(Х)М(1). (2.4.9) П риведем доказательство. Пусть Х и У независимы, причем Х принимает значения х„х„..., х„, вероятности которых р, р, Ве о а У принимает значения у„у», ..., У», с вероятностями у м р ятность того, что Х примет значение х» и одновременн У п ет значение уо т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
