В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2. 14. Отметим, что формально т-распределение (2.9.13) можно привести к виду т'-распределения (2.9.11). Для этого в формуле (2.9.13) нужно перейти от й к новой переменной )/2 = й и положить и =- л/2, где и — целое положительное число. т н О т Ф О О. Э Ю т Ой с с О. т с Х О аи ) Глава 3 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (хв) Г ( " + 1) (2.9.22) ЛИТЕРАТУРА 5. Распределение Вейбулла.
В теории надежности и массового обслуживания применяется распределение Вейбулла; соответствующую плотность вероятности можно привести к следующей стандартной форме: %' (х) = Тх' ' ехр ( — х'), х) О, Т) О. (2.9.21) Начальные моменты определяются формулой Отсюда получаем выражения для среднего значения и дисперсии: (х) Г (т+ ) оя 1(1! ) Гя(Т+ ) На рис. 2.15 приведены графики плотности вероятности (2.9.21) для у = 0,5; 1,0; 1,5; 3.
При у = 1 плотность вероятности является экспоненциальной функцией; при у = 3 она близка к нормальной, 1. Г и у р м а н В. Е, Введение в теорию вероятностей и математи. ческую статистику. Изд-во «Высшая школа», 1963. 2. П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций. Ч»изматгиз, !960. 3. К р а м е р Г.
Математические методы статистики. Изд-во иностранной литературы, 1948. 4. Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теории вероятностей н математическая статистика в технике. Гостехиздат, 1955. 5. Х а л ь д А. Математическая статистика. Изд-во иностранной лн. тературы. 1956. 6. !Ч а Ь а й а гп ! М. ТЬе ш-6!я1г!Ьп!!оп-а йепегз! 1оппп1а о1 1п1епяпу гдзРПЬех!оп о1 гзр!д 1ай!пйя. 5!а!!я!!са! ше1Ьог1я 1п гаопо тгаче ргорайамоп, Регнзшоп Ргеяя, 1960. 7.
1. е Ь гп а и Е. Н. 5Ьарея, гоошепы япд еяпша1огз о1 Гпе %е1Ьп11 6!я1г1Ьп1!оп. Тгапя. 1ЕЕЕ, 1963, Ц-12, Ы 3. й й. ОБЩ!ТЕ СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССАХ Случайзый процесс характеризуется тем, что какая-либо физическая величина изменяется в некотором абстрактном прост)листве случайным образом. Конкретный. вид.случайного процесса (т.
е. единичная фотография или осциллог(заьща)..в.определепном опыте называется реализацией случайного процесса. В качестве синониМов уй«требляются также термины «выборочная функьия» и «траектория случайного процессаз. В радиотехнике наиболее часто приходится оперировать ! о случайными процессами, зависящими от одного аргумента — в)мгмени. При этом лод случайным (стохастическим) процессом обычно понимается ьлектрическая величина ( ток, напряжение, напзяженность поля и др.), изменяющаяся случайно во времени.
Для фзрмального обозначения зависимости случайногз процесса от аргументов применяются случайные функции. Еочи 9(1) есть случяйная функция, представляющая случайный пропесс, то се значение 6(уг) пРи фиксиРованном значении аРгУмента Я! лЯетсЯ случайной величиной. Это означает, что при неизменных у«агониях опыта значения $(1») в реализациях, полученных для идеггичных систем, бчдут различными. В этом состоит существенное ! тличие случайной функции от детерминированной (регулярной), згачение которой однозначно определяется значениями аргументов. В завгпимости от характера изменения во времени и методов !»ассмотреяия случайные процессы можно разделить на три хгуппы: импульсные, флуктуационные и специального вида.
Импульсные процессы представляют собой последоватемьность одиночньп импульсов в общем случае разной формы, следуюшьях друг га друГОМ ЧЕРЕЗ СЛуЧайНЫЕ ПрОМЕжутКИ ВРЕМЕНИ. КаК ПраВ1 ЛО, рЕ- илпзации импульсного процесса представляют собой кусо» но-разрывные ф нкции времени. К импульсным процессам можноштнести искусстве:но создаваемые импульсные помехи, а также некоторые з 2. ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ Предположим мысленно, что имеется большое число У полностью одинаковых систем (рис. 3.1), образующих некоторый «аисамбльв систем (т. е.
полную группу событий). Пусть все системы работают одновременно при одинаковых условиях. На выходе этих систем наблюдается случайный процесс $(Е). Если к каждой системе подключить одинаковые регнстри- хтггтЕ х Егг> рующие приборы (например, осциллографы) и на всех приборах в одно и то же время отсчитать мгновенные значения, то получим отличающиеся друг от друга зна- чения хд(Ед), хв(Ед)...„х„(Ед).
ХмЕОЕ хеЕГг) Выделим из общего числа У те и, значений, которые заключены в достаточно малом интервале (з, з + Л$). Оказывается, что при достаточно большом числе У относительная доля ид/У значений, заключенных в этом интервале, стремится к некоторой определенной величине, пропорциональной Л$ и зависящей от Е, как от параметра. Следовательно, можем написать Рис. ЗЛ. стдисамбл»» одинаковых систем. (3.2.1) 1~оп †' = %'д(з, Ед) Л$. к- виды атмосферных помех (например, грозовые разряды) и помех от электрических аппаратов.
Флуктуационные процессы представляют собой результирующий эффект очень большого числа часто следующих элементарных импульсов, налагающихся друг на друга. Реализации флуктуационного процесса имеют вид непрерывных функций времени. К числу флуктуационных процессов относятся тепловые и космические шумы, шумы электронных ламп, полупроводниковых приборов и др. Случайные процессы специального вида могут быть весьма разнообразнымн. Можно привести следующий пример.
Пусть гармоническое колебание Асов(адЕ+ ф) модулируется по амплитуде флуктуацнонным напряжением, а по частоте — случайными импульсами. Тогда получим случайный процесс специального вида А(Е)соз(ад(Е) + ~р(Е) ). Укажем способы описания случайных процессов, Функцая Кд(3, Е,) называется одномерной плотностью вероятности сдучайного процесса. Одномерная плотность вероятности является важной, но не полной характеристикой случайного процесса. Она дает представление о пвоцессе лишь в отдельные, фиксированные моменты времени, не указывая, например, как значения х(Е,) в момент времени Е, влияктла дальнейшее поведение процесса при Ев ..» Ед. Можно сказать, ч1о одномерная плотность вероятности характеризу«т процесс стати«есин и не дает представления о динамике его рывития.
Более волной характеристикой случайного процесса является двумерная плотность вероятности, характеризующая вероятностную связь между значениями случайной функции в два произвольных момента времени Е, и Е,. Двумерная плотность вероятности определяется аналогично одномернов.
Предположим, что на выходе рассматриваемых У идмдтичныв систем в два момента времени Е, и Ев берутся огсчеты мгновенныв значений: хд(Ед)„хв(Ед), ..., х, (Е ), хд(Е«), хв(Е«), ..., х (Ев). Вьделим нв этих отсчетов ту часть и, значений, которые в иомент времени Е, заключены в пределах ($д, $д + Л$д) и одновременно в момент времени Е, находятся в пределах ($в, $«+ Л$«).
'Тогда можно написать 11ш — ' = %'в($д, $„Ед, Ев)Л$дЛ$«. в3.2.2) лФункция тгв(зд, $д, Е„Ев) называется двумерной плотноствю вероятности. В общех случе двумерная плотность вероятности также не дает псчерпывакщего описания случайного процесса. Она позволяет судить о свявн между вероятными значениями случайной функции лишь в двв момента времени. Достатовно полное и дега.льное описание случайного процесса дается многомерными плотностями вероятности.
Плотность вероятности йгв(зд, $«, ..., $,и Ед, Ев, ..., Е,), называемаЯ и-меРной, опРедсляет вероятность того, что значения случайной функции $(б) в и моментов в)емени В, П,..., Е„заключены соответственно в интервалах Д„Кд т Л$д), (Зв, 4« + ЛК«), ..., ($„, $„+ ЛЦ„). При достаточно лшлых Лзг эта вероятность равна К,(зд, ", в„, Ед, ", Е„) Леьд "- Льва ! 1лотность вероятности й7,($д, ..., $„гд, ..., Е,) позволяет судить и связи между вероятнымй значениями случайной функцив в и произвольных моментов времени. Таким образом, случайный процесс в общем случае описывается при помощю и-мерной плотности вероятности и тем детальке«, чем ыольше и, где ),($„(,) =1 57,($„$,, (д, (.) ($,. П ь вероятности В'($„гд ~ $„гг) называется услмной ы~~- лотност постыл вероятности для $, при заданной величине $з плотность вероятности (У($„(д ~ $„(г) содержит больше (по крайней мере не меньше) сведений о $,, чем безусловная плотность вероятности мгд($д, (д). для условной плотности вероятности должно выполняться условие нормировки ~% ($,, (д~$г, Гг)($д=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
