В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Как и моментные функцгкг, они должны бить симметричными относительно всех аргументов Аналогами к еляционны ий в о номе нем сл чае являются так называемые или семиинва ванты. Приведем определение к)мулянтов и установим их связь с одномерными моментами. Для функции [п(1+я) ряд Маклорена имеет вид 1 2 1 1 4 1п(1+а) = я — — 22+ — га — — за+ ...
з Заменяя 1+я иа гЗ1(и), т. е. полагая а = (21(и) — 1 н используя формулу (3.4.3), можем написать [п6' (и) =(13 — 1) — ~ (11 — 1)'+ — (6) — 1)' — -(Фа — 1)4+ -. = 1 1 1 з 4 —,([и)" — — '» —," ()и)' + — ~ —;()и)" — ... 43 4,5) ! =г ! (3.4.6) пан (3.4.1) где коэфг)ициенты х, называются кумулянтами или сеяиинваргантами, Очевццпо, что кумулянтх„ есть полипом от моментов М„ ...
М„ н, наоборот, момент М„ есть полипом от х,, ..., х„. Приравнивая кгэффициенты при одинаковых степенях ()и) в правых частях выражений (2.4.5) и (3.4.6), получаем: аа2 х,=М1, х,=М1 — Мг=р,, 142 — М2 — 3 "41М2 + 2Мг = Ра (3.4.8) ха = И4 — ЗМ2 — 4М1Ма + 12 Мг Мо — 6М1 = [44 — Зря, Правая часть этого выражения представляет многочлен относительно [и. Совершая перестановки слагаемых в этом многочлене, его можно представить в виде следующего ряда: 1п сг1(и) = ~~» —," ()и)" Уа) Первый кумулянт совпадает с первым моментом (средним значением) де = Мд = (В (1)). Второй кумулянт хз = (В'(б)> — (В (б))' согласно формуле (2.5.5) представляет собой дисперсию и'. Не останавливаясь на значении других, более высоких кумулянтов, укажем, что отношения 'дэ ззвдз зг (3.4.9) 72 называются соот оответственно коэффициентами асимметрии н экс- цесса.
Следует заметить„что кумулянты не сов д р па ают с центральными моментами. Как видно из формул (ЗА.8), расхождение между ними начинает проявляться с де,. Корреляционные функции Кд(бд), Кг(бд, бг), б м лянтам определяются разложением в ряд Макло- ена лога нфма многомерных характеристических функций, Не азложений, укажем окончательные приводя здесь формальных формулы для первых трех корреляционных функци Кд(б) = гед — — Мд(б) = (В(1)>, Кг(~д, Гг) = ((В(Г ) — Мд(бд>1 (В(бв) — Мд(~г)!) =- = (В(1,>В(б,» — (В(б,» (В(г,», (3.4.10) Кв(бд. Гз, (з)=<В(бд) В (бг) В(бз)) — Мд(бд) Кг Рг* бв) — Мд(бг) Е дЕ Кг(быбз) Мд(бз) Кз(бд бз) + 2Мд(бд) Мд(бг) Мд(бв).
формулы (3.4.10) сов- Нетрудно убедиться, что при бд = 1, = г ф р ь функциям можно восстанот с фо м лами (3.4,8). По моментным и корреляционным н ю и, следовательно, плотность вить характеристическую функцию, ед ве оятности. оэтому . . П му моментные функции, так же, как н корреля- ционные, могут ыть нсп б ользовны для описания случайных проОт, что в дальнейшем особую роль будут играть одномерметим, ный момент,( М (г) и корреляционная функция Кг(г„бг), дго по я ка.
Раз- юп ая с двумерным центральным моментом второг р д ющая с двум из ченпю лишь тех свойств случайных ел тео ни, посвященныи изучен еляются этими характеристиками, назы- процессов, которые определя я вается корреляционной теорией случайных процессов. 5 Ф. СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ Важяып классом случайных процессов являются стациозарные случайные процессы. Случайный процесс В(б) называется стационарным в узком смысле, если его плотности вероятности Ж'„4д, ..., В„, бд, ..., 1,) произвольного порядка п не меняются пря любом сдвиге всей группы точек бд, ..., г„вдоль оси времени, т.
е. если прп любых и к бз спрдведливо равенство Е з(Вд - Вю дд " дэ) = )э э(Вд " В~ дд дз -" дз эз) Р 5 1) Иначе говоря, случайкый процесс называется стационарным ес.ди выракения для плотностей вероятностей ке изменяются при изменении начала отсчета времени. Это означает, что стационарный процесс ве~ет себя однородно во времени. Разумеется, что в елучае стацнонарьых процессов равенство, аналогичное (3.5.1), справедливо для функций распределения вероятностей, а также для д арактеристичесдих, моментных и корреляциокных функций.
Стационарные случайные процессы, аналогично установивхдимся детермиянредванным процессам, получаются в установнвзпемся режиме работы системы при неизменных внешних условиях, Стационарные процессы являются частным случаем нестационарных процессов. Примером нестационаркого случайного процесса здожет быть любо(д случайный процесс в переходном режиме работы систем (напрнмер, дробовой шум в диоде в начальном периоде после включения накала катода, случайный процесс ка выходе инердцяонной системы в начальный период при воздействии на вход системы даже стапяэнарного случайного сигнала и т. д.). Из раведства (3.5.1), в частности, следует; (д'д (В, 1 ) = Ж'д (В, бд — бд) = 11у, (В) ( В и В г б ь б з ) Ж ( В В т ) т б е ь р ) Таким обрезом, для стацнонаркого случайного процесса а-мередая плотность вероятности, л-мерные моменты и корреляционные (дунк~дин зависят не от и, а от (гд — 1) моментов времени, так как одзддд из пгябранных моментов времени можно всегда принять за начало отсчета времени ( например, положить бд = О).
Как видно нз первой формулы (3.5.2), одномерная плотность осрзятностя стационарного процесса не зависит от выбракнопз мода нга времени. Поэтому одномерная плотность вероятности я гддномсрные моменты не учитывают временных характеристик стациодпряого сл>чайного процесса. Например, изменение масштаба по «и времени а произвольное число а раз не изменяет одномерной «лстностн вероятности, т.
е. процесс, протекающий в а раз быстрее и ш медленнее, будет иметь одну н ту же одномерную плоткасть згрсятности Грубо говори, описание случайкого процесса при отиости вероятности подобно заданию лишь поыощи одномерной плотности еро ического колебания Асоз(огг — гр ( + ) без указания амплитуды гармониче его частоты и фа и фазы, Отсюда ясно, что о писание процесса при р стн является неполным.
фу кции ста лотности вероятности Будем обозначать моментные и корреляционные ционарного случайного проне р ческое ожидание (среднее значение) стационарного = Мг не зависит от времени т = я(г)> = ~ В ~у ФИ% о ная ф нкция Уг (гв гг) = Кг (г„гг) заДвумерная орреляционна фу висит лишь от разности времен т = гг — гг и опред й(т) = <й(гг) — т1 [к<[г) — т1> = Я(г )з(г + т)> — т'= = ~ ~ (Бт т)(Вг т)Ю'г(ьсььсг т)с[ьсг Вг. с[ г) . (3,5. 4) Дисперсия стационарного процесса о' = 1г (О) = <[З (г) — т1 г) <сьг(г)> тг ~ д ц)г[тг (р [ьс (3.5.5) постоянна и равна значен нию корреляционной функции при нуле- вом значении аргумента. адач многомерные плотПри решении нек р р ото ых ппактических з пользуется лишь поическ д имость функции корг е ассматриваются и ис ического ожидания и завис стоянство математическ т= г — г .
В связи с этим вве- ~ж~ы й(1„гг) только от разности ~=~г —,. та иона ности в широком смысле. эцио тарным в широком ~~учаиныи проц смысле, если его математическое ожидание посто висит от времени), ), а корреляционная функция только от разности аргументов г, и ггг ( .5.6) й (1„гг) = й (гг — гт) = й (т), т = гг — г,. <3, та иона ность в шир ш роком смысле не тождест- С айные м~~ы стат всегда стацнонарн в шир~гсгтгг ти в эком смысле. луч " ционарные в узком смысле, будут всегда ста смысле, но не наоборот. й и часто встречающийся Однако имее д ется о ин весьма важный и рых понятия стационар- класс стационарных р ц п о ессов, для которы адают. Это — норши оком смысле полностью совп ( з 15) плотности вероятности мальные стационарные процессь которых по н л остью определяются математич корреляционной функцией.
з б. КОРРогЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Функциг корреляции между значениями одного случайного процесса в два разных момента времени называется автокорреляционной функцией. Общее определение автокорреляционной функции дается вторым соотношением (ЗА.10), а применительно к стационарным процессам — формулой (3.5,4): й(т) <сь<г)ьс(г [ .)> г„г <3.6.1> Если имеет.я два стационарных случайных процесса $(г) и Ч(г) с математическими ожиданиями т: и тгп то можно рассматривать функцни корреляции между этими процессами: Кгл <гп 1г) = <й (1 ) — тг! [Ч (гг) — т 1), 'г д (11 гг) <[т[(11) лгз1 [ь (~г) те1) ° (3.6.2) Если функции корреляции гггз(гг, гг) и йлг(гь гг) зависят лишь от разности т=тг — г„то процессы З(г) и т)(г) называются стационарно сгязанными.
Очевидно, что для станционарно связанный процессов справедлива формула йгг(гг гг) = йгл(т) = йд( т). (3.6.3) В отличке от автокорреляционной функции функции корреляции (3.6.2) между значениями разных процессов называются взаимными ко1 реляционными функциями. Формулы (3.6.1) и (3,6.2) обобщаются на комплексные случайные процессы. Если $(г) и г)(1) комплексные случайные функции с математическими ожиданиями тг и т„, то автокорреляционная и взаимно корреляционная функции определяются формулами [31: й< ) =<[В(г) — тг[И'(1т+т) — т;-1>, (3 6А) Уг.;г (гт, [,) = ([$ (1,) — тг) [т[' (гг) — т,,]), (3.6.5) где звездочюй обозначены комплексно-сопряженные величины. Для выяснения физического смысла корреляционной функции рассмотрим дза частных случая, когда две действительные стационарные слугайные функции З(1) и т[(г) независимы или, наоборот, .жестко» связаны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
