В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В отличие от спектрального анализа детерминированных сигналов спектральная плотность случайного процесса не дает возможности восстановить какую-либо реализацию процесса, так как она не содержит сведений о фазах отдельных спектральных составляеосцих. Можно найти множество различных случайных функций (напр«мер, путем трансформации фазового спектра), имеющих одинаковую спектральную плотность и функцию корреляции. Укажея, что спектральную плотность можно определить следующим образом. Рассмотрим ансамбль реализаций стационарной функции с нулевым средним значением, причем каждая реализация имеет достаточно большую длительность Т. Введем формально спектральную функцию т Обозначив через ге(в) функцию, комплексно-сопряженную Р(в). Тогда можем написать ~ Р (со) ' = Р (в) г е (со) = ~ ~ $ (1) Ц (1') е — У С' — г~ с(1 Ж'. (3.10.13) о о Статистически усредним левую н правую части этого равенства: тт ( ( Р (в) ( е) = ~ ~ й (1 — Г) е — г" с' — »э с(1 Ж',.
Ь о Вместо 1 введем новую переменную т =-1 — 1', Выполнив интег- ~ прование по 1', получим т ( ( Р (в) 1, ') = Т ~ й (т) е — Р"' сЕ с. — т Сделаем замену перамениых — Ро =- (1 + 1')/2; (1 = Ро+ Воспользовавшись формулой (П.9) и выполнив интегрирование по Р„ получим У (в) те э (в )) =- 2я Ь (оэ' — в) ~ тс ( г) е — г ( +»ч ст э с(т = 2яб(в' — в)5("+' ) (3.11.6) 3дссь последнее равенство написано па основании (3.10.1). Подставив (3.11.6) в (3.11.5) и выполнив интегрирование с дельта-функцией согласно (П.
4), получим ( 1''(~в г)(')=А 15( ИК(! )!Ч (3.11.7) Обозначим максимальное значение модуля передаточной функции фильтра при центральной частоте в = во через Ко = = )К()во)), а его энергетическую полосу пропускания — через Л)э: ЛГ,= — ';~~К(1 ).~' —,, о (3.11.8) П едположим, что модуль передаточной функции настолько узко сконцентрирован около частоты в„что в пределах полосы част т о Л), спектральную плотность можно считать практически постоянной: (3.11.9) 5(в) = 5(оэо) Тогда в (3.11.7) ее можно вынести за знак интеграла; (~г (в 1) ~х) = 5(в)-- ~ К()в)~ойо Фто реальные линейные фильтры имеют действительную импульсную характеристику 6(1).
Поэтому передаточная функция К()в) отлична от нуля не только при в ) О, но и в симметричной области при в ( О. С учетом этого можем написать ( ~ Р (с о Ро) ~ ') = 25 (ва) й — ~ ~ К (1в)! 'т(в = 25 (во) Ко ~Цэ (3 11 10) о Отсюда длн односторонней спектральной плотности (3.10.9) полу чим следующую окончательную формулу: 5 Уо) — — 1нп .
(3.11.11) Для большинства стационарных случайных процессов статистическое усреднение можно заменить усреднением за достаточно большой интервал времени: т <~Р( „1,)(') =В -'-~(Р(,,г,)(ЧР,. т о Поэтому 5()о) = —, 1ип 11гп 1 ("(р(в, 1,)(о,ц К т. ~Р а),т ~~ э о пли приолнженно т ( о) 2,~ э (во эо) ~ лотто, к,'з|,т.~ ' 'о (3.11.12) (3.1 1.1 3) переатпраийае- тРГР1 мь й уэлапалие.
нэ и трилыпр (1с1 Ея) г~ ~'01йг Рис. З.Ф, элок-схема прибора для экспериментального определения спектральной плотности. э реднить за большой интервал времени (рис. 3.9). При некоторых ~ ловиях носледпие две операции выполняются приближенно чермоприборах или же раздельно при помощи двухстороннего ьпидратичного элемента и усредняющего фильтра (6, 12). ПереЧтаивая фильтр по частоте, можно определить спектральную плот» хсть процесса в любой части спектра. Допустимая величина ЛГ, определяется характером спектральй плотности 5(1). Чем быстрее изменяется спектральная плотность частоты, тем меньше необходимо брать ЛГ,. Однако следует нить в виду, что при уменьшении Л), увеличивается не толь- длительность переходного процесса, но и время корреляции 1 месса на выходе фильтра. Поэтому с уменьшением Л), нужно личивать время интегрирования Т В соответствии с формулой (3.11.13) для экспериментального определении спектральной плотности стационарного эргодического случайного процесса нужно его пропустить через достаточно узкополосный фильтр, выходной сигнал возвести в квадрат и затем $12.
ВЗАИМНАм СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОг НОСТЬ Пусть имеется два стационарно связанных случайных процесса $(0 и т)(г) с функциями взаимной корреляции йгп(т) и й,г(т), которые были определены формулами (3.6.2). Па аналогии со спектральной плотностью (3.10.1) можно рассматривать взаимные спектральные плотности ОО ОО 5;„(ге) = ) йгп (т)е — 1"" г(т, 5;. (ге) =- ) /г,д (т) е — И" г(т. (3.12,1) — ОΠ— ОО На основании обратного преобразования Фурье можем написать ОО ОО л (т) ~5гп( )ег ( й 5 (м)ег г(ы (312.2) 2л СΠ— "СО Поскольку функции взаимной корреляции не обязательно являются четными, то взаимные спектральные плотности не обязательно будут действительными функциями.
Однако если случайные функции $(г) и т)(г) действительные, а не комплексные, то взаимные корреляционные функции будут также действительными. Воспользовавшись далее формулой (3.6.3), легко убедиться в справедливости следующих соотношений: 5;и (ге) =- 5тг( — го), 5.п (ге) — 5т, (ге). (3.12.3) Рассмотрим два частных примера [!3[. 1. Спектральная плотность суммы двух стационарных и стационарно связанных случайных процессов. Найдем спектральную плотность 5г(ге) сУммы ДвУх стаЦионаРных и стаЦионаРно свизанных процессов $(1) и т)(1), имеющих известные авто- и взаимно корреляционные функции й.„(т), )г„(т), /г.: (т), й„г(т): ь(1) = $(1)+ т[(г). (3.12А) Корреляционная функция ггг(т) суммарного процесса, очевидно, равна ь ( ) 1 и (,) [ ггг„(т)[-й„(т).
(3.125) По определению (3.10.1) находим спектральную плотность 5„. (ы) = 5г(ге) + 5 (ге) + 5гп (ге) + 5г(ге), (3.126) где 5г (ге) и 5;(ге) — взаимные спектральные плотности (3.12.1). Для действительных случайных функций с(г) и Ч(г) справедлива формула (3.12.3) и поэтому соотношение (3.12.6) можно записать иначе: 5г(ге) = 5г(ге) + 5 (го) + [5;и (ге) + 5г ( — ге)[. (3 12 7) Если дза стационарных и стационарно связанных случайных процесса некоррелированы между собой (гггп(т) =- йфт)=0), то их взаимные спектральные плотности равны нулю и спектральная плотность их суммы равна сумме спектральных плотностей этих процессов. Отметин, что суммарный процесс ь(1) может быть стационарным в широком смысле, если даже процессы $(1) и т)(г) сами по себе не являются стационарными.
Например, пусть случайные процессы А,(г) и А,(1) независимы, стационарны, имеют нулевые средние значения и одинаковые автокорреляционные функции. Тогда ~(г) = = А,(г)созо( и т[(г) =- А,(г) з!пвг не являются процессами стационарными в широком смысле. Тем не менее суммарный процесс ь(г) = ь(г) + Ч(г) будет стацнонарен (см. 9 1 гл. 7). 2. Спектральная плотность произведения двух стационарных некоррелироваиных процессов. Пусть случайный процесс ь(г,т,) равен пропзведенню двух стационарных некоррелированных процессов я(г) и т1(г+ т,): О (~) т[ (' + то) где то — фиксировано.
Зная корреляционную функцию (3. 12. 8) йс(т) = (, "[г) 3 (г + т) т[(г + те) 11(г + т + то)) =- й,: (т) й, (т), (3.12 9) по формуле (3,10.1) находим спектральную плотность 5г(ге) = ~ Йг(т) й (т) е — г г(т. (3.12.10) Подставив сюда йп (т) = — ~ 5, (ы') ег ' . Й»' и изменив порядок интегрирования, получим 5;( ) = — ~~ 5,( — ')5п( ')Ы.
(3А231) 1 г 93 Пцтеграл в правой части (3.12.11) называется сверткой двух спекральных плотностей. Таким образом, спектральная плотность произведения двух стао непарных некоррелированных случайных процессов равна свертке и ктральных плотностей перемножаемых процессов. $13. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА Н айдем сначала корреляционную функцию случайного сигнала а(1) = Ао соз'(аоУ+ ф). (3.13.1) у которого амплитуда Ао и частота ао известны, а начальная фаза ф является случайной величиной, равномерно распределенной на л10 интервале 2п, т. е.
имеет плотность вероятности 1/2п прн — и < ф (ус, 0 при других ф. (3.13.2) Несколько реализаций случайного сигнала а(1) приведены на рис. 3,10. Так как в данном случае среднее значение равно нулю 1и,= — (з(1)) =Ао2-) соз(аог+ф)пф=О, то для функции корреляции можем написать й,(т) = (з(1)з(гч+ т)) = Ао (сок (ао у + ф) сок(шоу+ аот+ 1р)) = 1 о о ! 1 2 4я ) = — А о сок ао т + Ао — „" сок (2ао 1+ ао т + 21р) гор =- — Ао сок а, т. 2 (3А3.3) В данном случае корреляционная функция оказывается периодической и имеет такой же период, как и исходный сигнал (см.
рис. 3.11). В отличие от обычного флуктуационного шума в данном случае корреляционная функция при т-» оо не стремится к нулю. Этот факт можно использовать для обнаружения и выделения достаточно длинного, но слабого сигнала а(1) на фоне более интенсивного шума П4). Действительно, пусть имеется сумма сигнала а(г) н стационарного шума и(!): (3. 13 А) Ч (1) = з(у)+ и(1). Если сигнал и шум статистически независимы, то корреляционная функция суммарного колебания у1(1) равна сумме автокорреляционных функций слагаемых (рис.
3.11): й., (т) == Ф, (т) + /ел (т). (3.13.5) 94 и гг1 Рис. ЗА1. Автокорраляционная функция суммы гар- моничасчаго сигнала и шума. Спектральная плотность случайного сигнала з(1) по формуле (3.10.1) ранна л(а) = — „Аоо ~ сока,те 1 'о!т = — Аоо ) (е!'". + е — ! в ) е — ! '11т =- 1 4 = — 'Ао [6 (а — а )+ 6(а+ ао)1, где последнее равенство написано согласно формуле (П.9).
Вспомнив определение одностороннего спектра (3.10.9) и учтя (П.11), окончательно получим 8()) =,' Ао 6(1 — (о). (3А3.6) Такой результат вполне логичен. Спектральная плотность сига!да (3.13.!) представляется в виде дискретной линии, расположен~куй на осн частот в точке! = )о, высота этой линии равна квадрату ффективного значения. Предположим теперь, что имеется случайный сигнал з(1) = ~ А,з(п(а„у+ ф„), я=! (3.13. 7) котором случайны лишь фазы фа, причем фа и ф при й+ т нем онсимы н равномерно распределены на интервале 2п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
