В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1. 'Дробовой шум ламп. Спектральную плотность флуктуаций лнодного тока лампы в ряде случаев можно представить формулой 5,(!) = 2г/, Г'г"'(2л)та), (3.16,4) ~де г =- 1,6.10 — "к — заряд электрона; /, — средний анодный ток; Г' — коэффициент депрессии нз-за пространственного заряда; г'т — коэффициент частотной депрессии; та — время пролета электронов в лампе. 109 Исходя из часто применяемой методики измерения флуктуаций (путем сравнения с дробовым шумом «насыщенного» диода), целесообразно спектральную плотность записать иначе: 5, (!) = 2гт', г в (2п !то), (3 16.6) где 1, — эквивалентный ток насыщенного диода.
Можно показать, что коэффициентчастотной депресснидробовых флуктуаций при наличии в лампе пространственного заряда определяется приближенной формулой Гв(0) = 360 ~2+ — -0« + (0' — 2) соз 0 — 20 яп 01, (3.16.6) где 0 = отто = — 2п(то — угол пролета электронов в лампе (рис. 3,13). Из формул (3.16.5) и (3.16.6) путем разложения созб и з1пб в ряды можно найти значение дисперсии флуктуаций анодного тока лампы: ~ ~ д) д~ ='бт ~ Рв(отто)дот =2г!сто '- (3.16.7) о 'о Если лампа работает прн частотах от, для которых угол пролета электронов в лампе мал, т. е. 0 = отто «1.' 1, то Тв(0) = ! и при та- ких углах пролета спектральГг1а Г ная плотность шума равномерна:. 8, (1) = 2«1„(1тго = 2ет',).
(3.16.8) Огсюда следует, что флукдо туации анодного тока лампы можно рассматривать как белый дг шум лишь при частотах, для которых угол пролета электронов а лампе много меньше едиа т л. тг -'~ эт гтт ннцы. 2. Тепловой шум. Известно, Рис, ЗЛЗ. Зависимость коэффициен- ЧТО СПЕКТрадьнан ПпотнОСТь ната частотной депрессии от угла про- Пряжсиия ТЕПЛОВОГО Шуыа ОМИ- лета электронов. ческого сопротивления Й опре- деляется формулой Найквиста: 5и(1) = 41сТгг, (Мо = 41сТтт), (3.16,9) где й = 1,38 !О-'о длс/град — постоянная Больцмана; Т вЂ” температура сопротивления в градусах Кельвнна (при Т = 290, постоянная яТ = 4 10-" ет~гц). Из форм1 лы видно, что спектральная плотность теплового шума постоянна н, казалось бы, тепловой шум является идеальным примером белою шума.
Однако следует иметь в виду, что формула ( . 6.9) справедлива лишь при не очень высоких частотах. Оиа по- (3.16.9) лучается из точной квантовой формулы а) ~~ -"-'- 8и (!) = 4Ь Ттгтэ — ~ еаг — 1) (3.16.10) где й = 6,63.10-" дж.сек — постоянная Планка, при йгуьТ (~1. Прн нориальной комнатной температуре даже на миллиметро вых волнах неравенство 1тРЙТ ~< ! практически выполняется. Поэтому в радиотехнике оправдано применение приближенной формулы (3!6.9). Однако при вычислении дисперсии теплового шума необходимо пользоваться точной формулой (3.16.10) пи = 4ИВ ) — 1,е" — 1) нлтс = .) ~т( о (3,16.11) о Укажем, что функция корреляции случайного процесса з(1) = п(1)Ассов(тоо1+ ф), (3.16.12) получающегося в результате перемножения белого шума п(Г) и ~армонического колебания со случайной и равномерно распределенной начальной фазой ф, на основании формулы (3.13.!О) равна й, (т) =- 4 Л'о -4о б (т).
(3.16.13) ' "ектральная платность процесса з(1) согласно (3,10,10) буд ав в~мерной удет рано (Г) = — УоАюо. (3.16.14) , 1У. ПРОЦЕССЫ, МАЛО ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ ОТ ИОРМАЛЫ4Ы)г РЯДЫ ЭДЖВОРТА И ЛА1ЕРРА Во многих пРактических задачах приходится иметь дело с гям и вероятности Р'т(с), по виду не очень сильно отличаю и- плотни я От норкальной (2.8.3). Характерные особенности таких функпп В'т(я) состоят в следующем (рис. 3.14): 414 где п)т(В) — нормальная вероятности плотность )7 с Рис. ЗЛЛ. Плотность вероятности. 1 Г (с — лт)з 1, Сс)) ($) = —..— ЕхР ~ —— а у2-.
~ 2аз (3.17.2) Н, (г) — одномерные полиномы Чебышева — Эрмнта Н () ( 1)аеа' ~ е 2, п=-О, 1, 2, ... (3.17.3) Так как полиномы Чебышева — Эрмита ортогональны с весом 1 ехр( — — зз), то 2 ОО ' а' ( п11'2л при лс=л, О пи +и Поэтому коэффициенты ()в, называемые квазимоментамн, определяются формулой ол ~ )Р,(рН (~ ~) с(~ =о" 7 НО~ —,)~. (3.17.4) Разложение функции 1О),Я) в ряд по ортогональным полиномам Чебышева — Эрмнта базируется на следующей теореме: пусть Ф'тД) — произвольная функция с интегрируемым квадратом ~,(Рт(~)~2 %~ 1) они являются одновершинными (т.
е. имеют единственный ма ксимум); 2) по обе стороны от вершины они имеют ветви, достаточно быстро приближающиеся к нулю при возрастании абсолютного значения аргумента. Одномерные плотности вероятности такого типа удобно аппроксимировать при помощи полиномов Чебышева — Эрмита или полиномов Лагерра. 1. Ряд Эджворта 123, 29 — 311. Указанные плотности вероятности можно представить в виде следующего ряда: Тогда СО зт !2 е,)т) —,н)Л „'.'„"н.)т)/ От=-а. — ОО О=О Лрактичсски функцию Я~а($) нужно знать с некоторой конечной точностью.
Поэтому вместо %'т(Ц) можно взять конечную сумму членов ряда, причем число слагаемых М будет зависеть от требуемой точиости н с-г выбора величин лз и о'. В болыпинстве практически интсресных случаев наилучшее приближение при заданном !)т будет тогда, когда и и ав выбраны равными среднему значению лт и дисперсии оз случайного процесса $(1), и разложение производится 11 — и)'т по чолиномам Н,1Х а йудем считать, что тгс н о' выбраны указанным образом. Тогда нетрудно уседнться, что Ь,=1, Ь,=О, Ьз=о. (3. 17.5) Действительно, по формуле (3.17.3) найдем Нз(г) = 1, Н (г) = г, Нз(г) ===. г — 1, ~ (3, 17.6) Н, (г) = г' — Зг, Н, (г) = г' — бг'+ 3.
) Воспользовавшись теперь формулой (3.17.4) для и == О, 1, 2, убеждаекся в выгтолненин равенств (3.17.5). Если в формуле (3.17.1) ограничиться конечным числом членов, го нолучим ряд Эджворта: )т)(74 ° „—.'.."О.()-;-")~. )4.)77) =з Здесь первый член соответствует нормальной плотности вероятности. Поэгому для нормальной плотности вероятности все квазнмокенты при л )~ 3 равны нулю (8,=0). Первые два коэффициента ряда Ьз/Оз и ()4/оь, характеризующие отклонение плотности вероятности от нормальной, в литературе получили название коэффициентов асимметрии и эксцесса соответственно (см. стр. 72): У) = = . = Ув = — = — — 3=- †.
(3.17.8) ь Рт з ) Р4 ав аа 3/2 ' О4 44 2 ' за Здсюь х,, х,, ха — кумулянты (см. формулу (3.4.8)1, а рз и )44— одномерные центральные моменты третьего и четвертого порядков, определенные формулой (2.5.13): )аз= ~ Я вЂ” тп)'Ю'т ($)Л, )44 =-- ~ Я вЂ” т)4Р')Я) с($ (3 17,9) аав. 242 Как указывает само название, коэффициент асимметрии является количественно характер й т ристикой асимметрии плотности вероятности относительно ее среднего значения. В любом симметричном распределении и, в с частности, нормальном, все центральные моменты нечетног о порядка равны нулю. На рис. 3.15 приведены две кривые плотности вероятности.
Первая из них имеет спад справа от среднего значения и в выражении рз кубы положительных отклонений превысят кубы отрицательных, так что коэффициент ут удет ф будет положителен. В таких случаях говорят, что плотность вероятности сти обладает положительной асимметрие". т«) () Для приметения такой аппроксимации нужно тем или иным способом вычи(лить среднее значение т, дисперсию ав, третий и четвертый цен-ральные моменты случайной функции с(г).
Следует отметить, что прн такой аппроксимации может незначительно нару(паться свойство положительной определенности для плотности вероятности) аппроксимирующая кривая при больших значениях $~ может принимать отрицательные значения, недопустимые для плотности вероятности. Это является следствием того, что формула (3.17.10) имеет приближенный характер. Полипом.( ь1ебышева — Эрмита просто выражаются через производные от интеграла вероятности (2.8.8); б)(и е )(г) ( !)(») г1) (а) Ои (е) (3.1 7.11) Если прв помощи этой формулы в (3.17.10) перейти от полиномов Чебышева — Эрмита к производным от интеграла вероятности, го получим привычную форму одномерного ряда Эджворта () и)! т, Рис.
ЗЛ5. Две асимметричные плот- ности вероятности. Рис, 3.1Ь. Плотности вероятности с различными значениями эксцесса. коэффициент у) отриц т ицателен, то говорят об отрицательной асимметрии. В этом случае длинн линная часть кривой расположена слева от среднего значения. ьк ивойоколо К фф ен эксцесса характеризует сглаженность кри о и коэфс еднего значения.
ия. Для нормальной плотности вероятност фнциент эксцесса у, ра равен нулю. Положительное значение уз укана то, что к ивая плотности вероятности в окрестности максимума имеет более высоку)о и более острую р у, . р ве шнн чем но мальная плотность веро но ятности. Обратно, отрицательное значение ув казывает на лее низки" бо й к более плоский характер вершины по у сравнению с нормальной к о . " кривой. В первом случае говорят о полоом, а во втором — об отрицательном эксцессе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
